八年級數(shù)學下冊 實際問題與反比例函數(shù)2教案 人教新課標版 教案

1、172 實際問題與反比例函數(shù) 教學目標 1知識與技能 學會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，進一步理解反比例函數(shù)關(guān)系式的構(gòu)造，掌握用反比例函數(shù)的方法解決實際問題 2過程與方法 感受實際問題的探索方法，培養(yǎng)化歸的數(shù)學思想和分析問題的能力 3情感、態(tài)度與價值觀 體驗函數(shù)思想在解決實際問題中的應用，養(yǎng)成用數(shù)學的良好習慣 教學重點難點 重點：用反比例函數(shù)解決實際問題 難點：構(gòu)建反比例函數(shù)的數(shù)學模型 課時安排 2課時 教與學互動設(shè)計第1課時 （一）創(chuàng)設(shè)情境，導入新課 一位司機駕駛汽車從甲地去乙地，他以80千米時的平均速度用6小時到達目的地 （1）當他按原路勻速反回時，汽車的速度v與時間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？ （2

2、）若該司機必須在4個小時內(nèi)回到甲地，則返程的速度不能低于多少？ （二）合作交流，解讀探究 探究 （1）原路返回，說明路程不變，則80×6=480千米，因而速度v和時間t滿足：vt=480或v=的反比例函數(shù)關(guān)系式 （2）若要在4小時內(nèi)回到甲地（原路），則速度顯然不能低于=120（千米/時） 歸納 常見的與實際相關(guān)的反比例 （1）面積一定時，矩形的長與寬成反比例； （2）面積一定時，三角形的一邊長與這邊上的高成反比例； （3）體積一定時，柱（錐）體的底面積與高成反比例； （4）工作總量一定時，工作效率與工作時間成反比例； （5）總價一定時，單價與商品的件數(shù)成反比例； （6）溶質(zhì)一定時，溶

3、液的濃度與質(zhì)量成反比例 （三）應用遷移，鞏固提高 例1近視眼鏡的度數(shù)y（度）與焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m （1）試求眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求1 000度近視眼鏡鏡片的焦距 【分析】 把實際問題轉(zhuǎn)化為求反比例函數(shù)的解析式的問題 解：（1）設(shè)y=，把x=0.25，y=400代入，得400=， 所以，k=400×0.25=100，即所求的函數(shù)關(guān)系式為y= （2）當y=1 000時，1000=，解得=0.1m 例2如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系圖象 （1）請你根據(jù)

4、圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）寫出此函數(shù)的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量應該是多少？（4）如果每小時排水量是5 000m3，那么水池中的水將要多少小時排完？ 【分析】 當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例 解：（1）因為當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例，所以根據(jù)圖象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量為：4 000×12=48 000（m3） （2）因為此函數(shù)為反比例函數(shù)，所以解析式為：V=； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量為：V=8000（m3）； （4）如果每小時排水量是5 000m3，

5、那么要排完水池中的水所需時間為：t= =8000（m3） 備選例題 （2005年中考·四川）制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱到達60后，再進行操作設(shè)該材料溫度為y（），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時，溫度y與時間x完成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關(guān)系（如圖所示）已知該材料在操作加工前的溫度為15，加熱5分鐘后溫度達到60 （1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)工藝要求，當材料的溫度低于15時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？ 【答案】 （1）將材料加熱時的關(guān)系式為：y=9x+

6、15（0x5），停止加熱進行操作時的關(guān)系式為y=（x>5）；（2）20分鐘 （四）總結(jié)反思，拓展升華 1學會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，充分體現(xiàn)數(shù)學知識來源于實際生活又服務于實際生活這一原理 2能用函數(shù)的觀點分析、解決實際問題，讓實際問題中的量的關(guān)系在數(shù)學模型中相互聯(lián)系，并得到解決 （五）課堂跟蹤反饋 夯實基礎(chǔ) 1A、B兩城市相距720千米，一列火車從A城去B城 （1）火車的速度v（千米/時）和行駛的時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系是 v= （2）若到達目的地后，按原路勻速原回，并要求在3小時內(nèi)回到A城，則返回的速度不能低于 240千米/小時 2有一面積為60的梯形，其上底長是下底長的，若下底長

7、為x，高為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系是 y= 3（2005年中考·長沙）已知矩形的面積為10，則它的長y與寬x之間的關(guān)系用圖象大致可表示為 （A） 4下列各問題中，兩個變量之間的關(guān)系不是反比例函數(shù)的是（C） A小明完成100m賽跑時，時間t（s）與他跑步的平均速度v（m/s）之間的關(guān)系 B菱形的面積為48cm2，它的兩條對角線的長為y（cm）與x（cm）的關(guān)系 C一個玻璃容器的體積為30L時，所盛液體的質(zhì)量m與所盛液體的體積V之間的關(guān)系 D壓力為600N時，壓強p與受力面積S之間的關(guān)系 提升能力5面積為2的ABC，一邊長為x，這邊上的高為y，則y與x的變化規(guī)律用圖象表示大致是（C） 開放

8、探究 6為了預防流行性感冒，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒已知，藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖所示）現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題： （1）藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為： y=x ，自變量的取值范圍是： 0<x<8 ；藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為： y= ； （2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過 30 分鐘后，學生才能回到教室；（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量

9、不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？【答案】 有效，因為燃燒時第4分鐘含藥量開始高于3毫克，當?shù)降?6分鐘含藥量開始低于3毫克，這樣含藥量不低于3毫克的時間共有16-4=12分鐘，故有效第2課時 （一）創(chuàng)設(shè)情境，導入新課 公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿定律”：若兩物體與支點的距離反比于其重量，則杠桿平衡也可這樣描述：阻力×阻力臂動力×動力臂 為此，他留下一句名言：給我一個支點，我可以撬動地球！ （二）合作交流，解讀探究 問題：小偉想用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別是1200N和

10、0.5m （1）動力F和動力臂L有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當動力臂為1.5m時，撬動石頭至少要多大的力？ （2）若想使動力F不超過第（1）題中所用力的一半，則動力臂至少要加長多少？ 【分析】 （1）由杠桿定律有FL=1200×0.5，即F=，當L=1.5時，F(xiàn)=400 （2）由（1）及題意，當F=×400=200時，L=3（m）， 要加長3-1.5=1.5（m） 思考 你能由此題，利用反比例函數(shù)知識解釋：為什么使用撬棍時，動力臂越長越省力？ 聯(lián)想 物理課本上的電學知識告訴我們：用電器的輸出功率P（瓦）兩端的電壓U（伏）、用電器的電阻R（歐姆）有這樣的關(guān)系PR= u2 ，也可寫為P=

11、 （三）應用遷移，鞏固提高 例1在某一電路中，電源電壓U保持不變，電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示 （1）寫出I與R之間的函數(shù)解析式；（2）結(jié)合圖象回答：當電路中的電流不超過12A時，電路中電阻R的取值范圍是什么？ 【分析】 由物理學知識我們知道：當電壓一定時，電流強度與電阻成反比例關(guān)系 解：（1）設(shè)，根據(jù)題目條件知， 當I=6時，R=6，所以， 所以K=36，所以I與R的關(guān)系式為：I= （2）電流不超過3A，即I=12，所以R3（） 注意 因為R>0，所以由12，可得R 例2某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（千帕）是氣球體積V（m3）的反比例

12、函數(shù)，其圖象如圖所示（千帕是一種壓強單位） （1）寫出這個函數(shù)的解析式； （2）當氣球體積為0.8m3時，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？（3）當氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕時，氣球?qū)⒈?，為了完全起見，氣球的體積應不小于多少？ 【分析】 在此題中，求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵 解：設(shè)函數(shù)的解析式為P=，把點A（1.5，64）的坐標代入，得k=96，所以所求的解析式為P=； （2）V=0.8m3時，P=120（千帕）； （3）由題意P144（千帕），所以144，所以V=（m3）即氣體的體積應不小于m3 備選例題 1（2005年中考變式·荊州）在某一電路中，電流I、電壓U、電阻R三者之間滿足關(guān)系I= （

13、1）當哪個量一定時，另兩個量成反比例函數(shù)關(guān)系？（2）若I和R之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖，試猜想這一電路的電壓是_伏2（2005年中考·揚州）已知力F對一個物體作的功是15焦，則力F與此物體在力在方向上移動的距離S之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是（ ） 【答案】 1（1）當電壓U一定時，電流I與電阻R成反比例函數(shù)關(guān)系，（2）10；2B （四）總結(jié)反思，拓展升華 1把實際問題中的數(shù)量關(guān)系，通過分析、轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系 2利用構(gòu)建好的數(shù)學模型、函數(shù)的思想解決這類問題 3注意學科之間知識的滲透 （五）課堂跟蹤反饋 夯實基礎(chǔ) 1在一定的范圍內(nèi)，某種物品的需求量與供應量成反比例現(xiàn)已知當需求量為5

14、00噸時，市場供應量為10 000噸，試求當市場供應量為16 000噸時的需求量是 312.5噸 2某電廠有5 000噸電煤 （1）這些電煤能夠使用的天數(shù)x（天）與該廠平均每天用煤噸數(shù)y（噸）之間的函數(shù)關(guān)系是 y= ； （2）若平均每天用煤200噸，這批電煤能用是 25 天； （3）若該電廠前10天每天用200噸，后因各地用電緊張，每天用煤300噸，這批電煤共可用是 20 天 提升能力 3一種電器的使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）成反比例，其關(guān)系如圖所示 （1）求使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式是 n= ；（2）當t=5小時時，電器的使用壽命是 96（月

15、） 4某人用50N的恒定壓力用氣筒給車胎打氣 （1）打氣所產(chǎn)生的壓強P（帕）與受力面積S（米2）之間的函數(shù)關(guān)系是： P= （2）若受力面積是100cm2，則產(chǎn)生的壓強是 5 000P ； （3）你能根據(jù)這一知識解釋：為什么刀刃越鋒利，刀具就越好用嗎？為什么坦克的輪子上安裝又寬又長的履帶呢？ 【答案】 接觸面積越小，壓強越大，故刀具越好用，反之可解釋坦克裝履帶現(xiàn)象 開放探究 5一封閉電路中，當電壓是6V時，回答下列問題： （1）寫出電路中的電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系式是 I= （2）畫出該函數(shù)的圖象 【答案】 略 （3）如果一個用電器的電阻是5，其最大允許通過的電流為1A，那么只把這

16、個用電器接在這個封閉電路中，會不會燒壞？試通過計算說明理由 【答案】 可能燒壞 6如圖所示是某個函數(shù)圖象的一部分，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）這個函數(shù)圖象所反映的兩個變量之間是怎樣的函數(shù)關(guān)系？ 【答案】 反比例函數(shù) （2）請你根據(jù)所給出的圖象，舉出一個合乎情理且符合圖象所給出的情形的實際例子 【答案】 如：電壓一定時電流強度與電阻；路程一定時，速度與時間之間等 （3）寫出你所舉的例子中兩個變量的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍 【答案】 注意自變量的范圍在16之間 （4）說出圖象中A點在你所舉例子中的實際意義 【答案】 根據(jù)所舉的例子，當自變量為2時，函數(shù)值為3即可 資料鏈接數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點

17、在古希臘，人們十分重視幾何學的研究，開始是測量土地的需要幾何學這個名詞在希臘文中就是“量地”的意思，后來發(fā)展成一門獨立學科，被譽為“理智的財富”當時一個人如果不懂得幾何學，就不能認為是有學問的人哲學家柏拉圖甚至說：“上帝也常常以幾何學家自居”但是當時的希臘對代數(shù)學的研究卻很忽視然后我們中國，還有阿拉伯和印度則與此相反，代數(shù)學有了高度發(fā)展，幾何學卻不很重視以上兩種偏向都影響了數(shù)學的進步到了17世紀，法國杰出的數(shù)學家笛卡兒分析了它們各自的缺陷后說：“我想應當去尋求另外一種包含這兩門科學的好處而沒有它們特點的方法”他真的找到了這種方法，就是代數(shù)學和幾何學的統(tǒng)一解析幾何學，把形和數(shù)聯(lián)系了起來笛卡兒發(fā)現(xiàn)

18、，代數(shù)方法和幾何方法可以通過坐標系聯(lián)系起來他的基本思想是：平面上點的坐標觀念和把帶兩個變數(shù)的任意代數(shù)方法看成平面上的一條曲線的觀念 沒有坐標系就沒有解析幾何，而坐標系的原始概念在古代航海、測量以至下棋中就產(chǎn)生了另外，笛卡兒的坐標系統(tǒng)和方法當時并不是很完備的，后人又不斷予以發(fā)展，才形成了今天的解析幾何學當然必須承認，笛卡兒所開創(chuàng)的解析幾何方法，為解析幾何學的建立和發(fā)展作出了巨大貢獻 解析幾何方法建立后，它立即發(fā)揮了巨大的作用，主要是使變量進入了數(shù)學，引起了數(shù)學的深刻革命可以這樣說，沒有解析幾何方法，微分法和積分法的建立是不可想象的，而這三門學科的發(fā)展，最后改變了整個數(shù)學的面貌 恩格斯指出，數(shù)學中

19、的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立即產(chǎn)生 笛卡兒，毫無疑問是世界上最偉大的數(shù)學家之一課 題反比例函數(shù)課時序數(shù)3備課時間2006/2/7授課時間主備人教學目標1.綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解決有關(guān)問題； 2.借助一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象解決某些簡單的實際問題教學重點1.進一步探求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，感受用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法；2.通過培養(yǎng)學生看圖（象）、識圖（象）、讀圖（象）能力、體會用“數(shù)、形”結(jié)合思想解答函數(shù)題教學難點教 學 過 程一、創(chuàng)設(shè)情境已知正比例函數(shù)yax和反比例函數(shù)的圖象相交于點(1,2)，求兩函數(shù)解析式分析 根據(jù)題意可作出圖象點(1,2)在正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上，把點(1,2)代入正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式中，求出a和b解 因為點(1,2)在正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上，把x1，y2分別代入yax和中，得2a，b2所以正比例函數(shù)解析式為y2x反比例函數(shù)解析式為二、探究歸納 綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解題，一般先根據(jù)題意畫出圖象，借助圖象和題目中提供的信息解題 三、實踐應用例1 已知直線yxb經(jīng)過點A(3,0)，并與雙曲線的交點為B(2，m)和C