電磁場與電磁波答案

1、習題與解答第二章靜電場2-1已他分布在半徑為a的半圓周上的電荷線密度px = posiii, 0 /31線電荷密度為Pn的線段在P點產(chǎn)生的電場丘1,因 對稱性只有y分最，大小為E1 = Ely=(COS30COS150) =同理，線電荷密度為013的線段產(chǎn)生的電場E2.E3,犬小為E2=E3=- = -2/rrol 4/rwol由圖町見，丘三與丘3疊加后也只有y分量,4oV3 /61E：y= E3y =cos60 = -4rol8rol所以正三角形中心點處的電場為Ey=Eiy+E2y+E3y=- = 2 亦ol 8 亦 ol 8 花ol 4/rgol2-4有兩根長度均為d相互平行的均勻帶電直線

2、，分別帶等量異號的電荷士q,它們相隔距 離為d,試求此帶電系統(tǒng)中心處的電場。解：如圖24所示，由于對稱性，兩根線上對稱位豐的兩対線元，在中心O處產(chǎn)生的電場, 其X分量相抵消為零，只有y分量。卜面一根線在0點產(chǎn)生的電場，依據(jù)庫倫叫罟可得Eyi = (cos 0 一 cos Oi)4開而 0 = q/dQ = 45,血= 135=d/2, 所以(血/2+血/2)=衛(wèi)U 4才加/22ocT上而一根線在O點處產(chǎn)生的電場與上式相同。 故兩根線在O點產(chǎn)生的電場為圖2-4壯ocT2-5兩個無限長的r = a和二b (ba)的同軸圓柱表面分別帶有面電荷密度6和cn。計算各處的E；欲使r b處E = 0,則6和

3、6應(yīng)具有什么關(guān)系？解：利用高斯定理丿sro求解r a : Ei - 0a r b: 2rlE3 =2aln + 2blcr2soa 6 + ebro令E3 =86+嘰0rro6 b2-6 B知同軸圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a.外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b。若填充介質(zhì)的相對介電 常數(shù)珀=2。試求在外導(dǎo)體尺寸不變的情況卜，為了獲得蟻高耐壓，內(nèi)、外導(dǎo)體半徑之比。解：已知若同軸線單位長度內(nèi)的電荷量為q】，則同軸線內(nèi)電場強度E = -er o為了使2rr同軸線獲得最高耐壓，應(yīng)在保持內(nèi)，外導(dǎo)體之間的電位差U不變的情況卜，使同軸線內(nèi)最 人的電場強度達到最小值，即應(yīng)使內(nèi)導(dǎo)體表面r = a處的電場強度達到域小值。因為同軸線

4、 單位長度內(nèi)的電容為則同軸線內(nèi)導(dǎo)體衣Iffl r = a處電場強度為a ln(-)令b不變，以比值2為變量，對上式求極限，獲知當比值-=e時，E（a）取得最小值，即aa同軸線獲得最高耐壓。2-7同心球電容器由半徑為a的導(dǎo)體球和與它同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成，殼的內(nèi)半徑為b,球 與殼間的一半（沿徑向分開）充滿介電系數(shù)為&的均勻介質(zhì)，另一半充滿介電系數(shù)為也的 均勻介質(zhì)，試求該球形電容器的電容。解：在q與c兩種介質(zhì)的分界面上有Eit = Eat = Er由于場分布具有對稱性，可利用高斯定律得iEi2r 2 + 廬2帀 2= q內(nèi)外導(dǎo)體間的電斥為故電容為C_ q _ 2;rab(Q+c)U b-a2-8己知內(nèi)

5、半徑為a.外半徑為b的均勻介質(zhì)球殼的介電常數(shù)為，若在球心放置一個電荷 量為q的點電荷，試求：各區(qū)域中的電場強度；介質(zhì)殼內(nèi)、外表而上的束縛電荷。 解：先求各區(qū)域中的電場強度。根據(jù)介質(zhì)中高斯定理$dS =纟=4咒D 二 q = D = &r丿 s在0 via區(qū)域中，電場強度為在ar b區(qū)域內(nèi)，電場強度為再求介質(zhì)殼內(nèi)外表面上的束縛電荷。由于P = (-o)E則介質(zhì)殼內(nèi)表面上束縛電荷而密度為0 = eneP = -erP = -(-0)74才曲外表面上束縛電荷面密度為“PHA晉2-9半徑為a的薄導(dǎo)體球殼在其內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜。球內(nèi)充滿總電荷最為Q的電 荷，球殼上又充了電荷量Q。已知內(nèi)部的電場為E

6、 = er(r/a)設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。試求: 球內(nèi)電荷分布：球殼的外表面電荷分布；球殼的電位：球心的電位。解：利用高斯定律的微分形式町求出球內(nèi)電荷分布，即電荷體密度。p=0VE = f0 Z舟(JeJ = Co 2舟(tW)=1 clr* ci aaj*JJ由上面已求出的球內(nèi)電荷分布.訶以得到球內(nèi)總電荷屋Q為Q = jpdV =6弩4百込= 4a2J0 aa 6 故得球外表面等效電荷面密度為2Q _ _ 川”百 _ 2o4穴盯 4孔球殼電位佻。8 2Q 由=_2_ a 4(/ra22嚴4/r q3 -2/r球心電位(Po 02-10己知同軸電纜內(nèi).外導(dǎo)體半徑分別為a和b,其間填充兩層介質(zhì)，介質(zhì)

7、分界面半徑為內(nèi)、外導(dǎo)體間加電壓為V,求各層介質(zhì)中的電場強度E：算出齊層介質(zhì)中的最人場強:欲使兩層介質(zhì)中的繪人場強柑等，兩層介質(zhì)滿足什么條件？解：設(shè)同軸電纜單位長帶電荷門，根據(jù)高斯定理求出耳=丄一衛(wèi)=一一2 刃T*2/7T6內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為=J Edr + f E2di = (In +In ).2U Link + aIq片=z；e =r(In + In )r(In+ In)5 ar0x a e2 r0各層介質(zhì)最人場強出現(xiàn)在r = a,r = 5處E = Ez a爾丄融+上)g皿曲丄曲勺 a 2 r0飛 a 5 r0故_ro2-11兩同軸圓柱之間，OV&V%部分填充介質(zhì)電常數(shù)為F的介質(zhì)，如圖2

8、-11所示，求單 位長度電容。解：根據(jù)邊界條件，任兩種介質(zhì)的分界面處，H設(shè)同軸線單位長度帯電門，町以用高斯圧理解即f 方岳二(耳龐+(方2岳丿S、=中。+比(2龍-剛=WES + 0E(2 一 0)y = p、則E = 7色廠同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間電壓U =（Edr =叢十 sO+ 8(ln -6) a$&+ 耳(2/r_0)r圖 2-12圖 2-11所以單位長度的電容為3鈔氣紂嚴2-12設(shè)同軸圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 外導(dǎo)體半徑為b.其內(nèi)一半填充介電常數(shù)為&的介質(zhì)，另一半填充介質(zhì)的介電常數(shù)為2,如圖2-12所示。當外加電壓為U時，試求：電容器中的電場強度：各邊界上的電荷密度；電容及儲能。解：設(shè)

9、內(nèi)導(dǎo)體的外表面上單位長度的電荷最為q。外導(dǎo)體的內(nèi)表面上單位長度的電荷最為 -q。取內(nèi)、外導(dǎo)體之間一個同軸的單位長度圓柱面為高斯面，由高斯定理魚方屈二今 （a 廠vb）求得 1（D1+D2）= q己知Di = ciEi,Da =在兩種介質(zhì)的分界面上電場強度的切向分量必須連續(xù)，即Ei = E?，求得qEi = E2 = E =-兀 r（c+ ）內(nèi)外導(dǎo)體Z間的電勢差為U = pE.dr =9ln（-）Ja兀（G+c）a即單位長度內(nèi)的電荷量為q= (&+2)U In(-) a故同軸電容器中的電場強度為匕=務(wù)r in(-)a 由于電場強度在兩種介質(zhì)的分界面上無法相分呈，故此邊界上的電荷密度為零。 內(nèi)導(dǎo)體

10、的外表面上的電荷面密度為- rJJ- eVPsL E = ；/?s2= C比E = a ln()a ln()aabln()a外導(dǎo)體的內(nèi)衣面上的電荷面密度為-；Qsbln(-) a 單位長度的電容為電容器中的儲能密度為22 In(-)2-13 e知平板電容器的極板尺寸為axb, |Hj距為d,兩板間插入介質(zhì)塊的介電常數(shù)為 如圖2-13所示。試求：當接上電壓U時，插入介質(zhì)塊所受的力；電源斷開后，再插入 介質(zhì)時，介質(zhì)塊的受力。解：此時為常電位系統(tǒng).因此介質(zhì)塊受到的電場力為dx |(p=常散式中.X為沿介質(zhì)塊寬邊b的位移。介質(zhì)塊插入后，引起電容量改變。設(shè)插入深度X.則電 容器的電容量為罟+空評冷訥+(

11、一金電容器的電場能最町表示為訊冷 CU 芳db + do)x那么介質(zhì)塊受到的X方向的電場力 為0=命數(shù)(一0)式中.X為沿介質(zhì)塊寬邊b的位移。介質(zhì)塊插入后，極板電荷最不變.只有電容量改變。此 時電容器的電場能量可表示為2 C 2a站+(-勺驅(qū)因此介質(zhì)塊受到的x方向的電場力為2d站+(o)x2-14計算在電場E = yax+Xay中把帶電最為-2C的電荷從(2丄-1)移到(8,2,-1)時電 場所做的功：沿曲x=2y2：沿連接該兩點的直線。解：W= f edl =qEcfl= 14q曲線的方程為x=2y，將y作為參數(shù)，則dx=4ydyW=q把 q=_2“C 代入，得W = _2xl4 = _28

12、g)在z = -1平面上，點(2,1)利點(8,2)的直線方程為d = d、即x-6y+4 = 0 X- Xj x_ 齊x=6y-4、dx=6dyW = qjE cfl = q| ydx+ xdy=q(18-4) = 14q = -14x2 = -28(/zJ)2-15把-電量為q,半徑為a的導(dǎo)體球切成兩半，求兩半球之間的電場力。 解：導(dǎo)體球儲存在空氣中的靜電能量為MA =- E*Ddr = -or（ 尸初廠出=2240r-8oa根拯虛位移法，求均勻帶電球殼在單位面積上受到的靜電斥力（設(shè)想在靜電力作用下，球面 稍膨脹）4a14才十24a28oa方向為法向方向丘,即ii = ax sin Ceo

13、s(p+ ay sin Osin(p+ a2 cos 0取力的z分量對上半球殼表面的枳分為把乜= n,dS = a2sindd代入，得 4亦0茁F = a2F = 2 ncosa2sinOdOdcpz Jo Jo 32如4護q2|4sin20 “=a22龍卜d&z320a-J。 2q“ cos2 | 2320a24-1每立方米銅中人約有8.5X1029個自由電子。若銅線截面枳為10cm2,通過電流1500A。求（a）電 子平均漂移速度：（b）電流密度。解 （a）電子飄移速度v 丄=竺= OOfOxloY） “ ixiof/sp Ne 810很1“10（b）電流密度J = I/S = 1500/

14、（IOxIO-4） = 1.5xlO6A/nF4-2在電場作用下，真空中電子運動的平均速度是3XlCm/s。若電流密度為10A/cn?,求電子運動方 向假想垂直單位面枳上的電子數(shù)。解 N = J/ V 1 Ox i 0 /3 510 /i：d9 1=02 43 寬度為30cm的傳輸帶上電荷均勻分布，以速度20m/s勻速運動.形成的電流所對應(yīng)的電流強度 為50q計算傳輸帶上的面電荷密度。SJs I/L 50x10/30x107心-解 P,=833 x 10 C/nrv v2044（略）4-5孤立導(dǎo)體內(nèi)有多余電荷，已知經(jīng)電荷包圍而流出的電流i = -2e_50tA，求（a）馳豫時間：（b）初始電荷

15、；（c）在1=氏時間內(nèi)，通過包鬧面的總電荷；（d）電流衰減到初始值10%所需要的時間。解（a） r = 1/50 = 0.02s（b）t時間內(nèi)穿過導(dǎo)體表面的電荷量為Q = o.2e_5Otdt = 0.004（1 - e切）C則初始電荷為Qj = 0.004C（c）t=2x=0.04s時，穿過包圉面的總電荷為Qr =0.00346C（d）解方程e = 0.1,得所需時間t = 0.0461s 4-6設(shè)同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b,填充介質(zhì)的電導(dǎo)率為6根據(jù)恒定電流場方程, 計算單位長度內(nèi)同軸線的漏電導(dǎo)。解 設(shè)r=a時，（p=U： r=b時，9=0。建立圓柱坐標系，則電位應(yīng)滿足的拉普

16、拉斯方程為求得同軸線中的電位p及電場強度E分別為1 oU2/roUJ = gE單位長度內(nèi)通過內(nèi)半徑的圓柱面流進同軸線的電流為那么，單位長度內(nèi)同軸線的漏電導(dǎo)為G =17104-7設(shè)雙導(dǎo)線的半徑為a,軸線間距為D.導(dǎo)線間的媒質(zhì)電導(dǎo)率為6根據(jù)恒定電流場方程，計算單位 長度內(nèi)雙導(dǎo)線之間的漏電導(dǎo)。解設(shè)雙導(dǎo)線的兩根導(dǎo)線上線電荷密度分別為+P和P，利用疊加原理和高斯定律町求得兩導(dǎo)線Z間垂 直連線上任一點的電場強度大小為E =lnex D-r丿那么兩導(dǎo)線之間的電位差為/D-a0D aU = I .dr = 2-ln(-)Ja7t a單位長度內(nèi)兩導(dǎo)線之間的電流人小為1“旳嚴叫盈則單位長度內(nèi)兩導(dǎo)線Z間的漏電導(dǎo)為I

17、a）的同心導(dǎo)電球殼之間填充了非均勻材料，其電導(dǎo)率0時，電阻是多少？解(a)利用 dR= bi a (巴+ k)4加 rok1 . abk+bm In 4/an abk + amI=Vq/R =4zaiiV0.abk+bm Inabk + am讓丄瞬 伽 2in abk+bm fabk + ammVp$ abk+bm z . o.In(mr +kr -)abk + am(b)內(nèi)殼外表面anV0anVgIn就+蚯伽+冷虧_M(ma+L) abk + am外殼內(nèi)表面(c)P$b =(瓦外-0)(-兀)=-M(mb+kb3)anV0aiiVg內(nèi)4古軟 叫)詁弐=(二+;屮伽+)十(d) Q內(nèi)上列匚出巴

18、也HM(ma+ka3) M(m+ka)Q外*曲近M(mb+W)-4anV0bM(m + kb)(e)(f)InR= lim mhoabk+bm abk + am4/anm ooln(abk+bm) 一 ln(abk + am)=lim ；moo4 TUIbaI* abk+bm abk + am = b- a mT844/rabk410媒質(zhì)1的電導(dǎo)率為lOOS/m,相對電容率為96 其中的電流密度為50A/m2,和分界面法線的夾角 為30。如果媒質(zhì)2的電導(dǎo)率為1 OS/m,相對電容率為4,其中電流密度是多少？它和分界面法線的夾 角是多少？分界面上的面電荷密度是多少？解 (a)電流密度J2n =

19、Jln = 50cos30=43.3A/nr打 sin3050 sin 30100=0.25V/mJ% = 6Ey = 2.5 A/nrJ2 = (J2n3 + J2t2)1/2 = 43.37 A/ill2(b)電流密度與分界面法線的夾角$ = ai ctan(J2t / J2n) = arctan(25/433) = 3.3(c) 分界面上的面電荷密度是A=Ml-)=43-)x8-854xl0_13=1165xl0_Ic/m2411己知圓柱形電容器的長度為L,內(nèi)、外電極半徑分別為a及b,填充的介質(zhì)分為兩層，分界面半徑 為c。在arc區(qū)域中，填充介質(zhì)的參數(shù)為1、6；在*心區(qū)域中，介質(zhì)參數(shù)為G

20、、6。若接上電動 勢為e的電源。試求：各區(qū)域中的電流密度：內(nèi)外導(dǎo)體表面上的電荷密度；兩種介質(zhì)分界面上的 自由電荷密度。解建立圓柱坐標系，則電位應(yīng)滿足的拉普拉斯方程為%=卻（鑰=。設(shè)媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的電位分別為卩1和池，那么（）= c3+c4根據(jù)邊界條件，得知rc(a) = e,笑(b) = 0, (c)=%(c), q嬰CT得出Inc 1laj+ In6ic丿Inb 6-+ Jc丿 In5C2 = e + InC4 = e + InInalnbbc R3=45cm. R】 = 30cm,厚度為2mm。電極間電壓U=30V,電極的電導(dǎo)率o6，求：弧片內(nèi)的電位分布（設(shè)x軸上的電極為零電位）：總流I和

21、弧片電阻：在分界面匕和丘是否 突變？分界面上的電荷密度卩。解J線沿e方向，且垂直于電極，也垂直于等位線，因此v僅與有關(guān)。令6區(qū)和6區(qū)的電位分別 為硼、92,則V3=4- = 0 （R i K,）廠0礦42毀=。（R S廠0礦4邊界條件為%（0） = 0,聊（彳）=uZr略)=( 5 零”“ = b境解以上方程，得5(0) = 90+0 , %(0) = G0+C4利用邊界條件,得30U一C4 =0,C = 5.95,蘭(l+q/6)-(1 + 6.5/1.2)44C3 =魚q = 32.26,Cr =U -Cj = 20.656 2幻(0) = 5.950+20.65 V (- -)故42#(

22、0) = 32.260 V(0 )4 由E = P(p=-%“ 且丿的法線分量在分界面上連續(xù)，即丿= a2E2 =半務(wù),=-竿e#故電流I = pdS = f 竿 dr = Cgdln 善=6.5 xIO? x 5.95 x 2 x W3 In = 3317 xlO5A30電陰R =匕=巴=9.56 xlO-5 QI 3.317 xlO5 因為電流密度沿分界面法線方向連續(xù)，因此，丿連續(xù)。由于7突變，所以E突變，從而D突變。 分界面上的電荷密度ps =0(E.-E1) = r0 (邑一 9) = 2631gr rr413面積為lm，的兩塊平行金屬板間填充三種導(dǎo)電媒質(zhì)，耳度分別為0 5mm、0 2

23、mm、0 3mm,電導(dǎo)率 分別為1 OkS/m、500S/m、0 2MS/m。兩板間的有效電阻是多少？若兩板間的電位差為lOmV,計算每個 區(qū)域鐘的亍和丘，三種媒質(zhì)中消耗的功率各是多少?總消耗功率是多少？解：三層導(dǎo)電媒質(zhì)是串聯(lián)的，其總電阻為R = R +R +兔 +=丄(蟲+魚+魚)CTj A R=aCa 4加亢對于埋地的導(dǎo)體半球，表面積減小了一半，故電阻加倍，即R= 6.36xl06 Q2加ra7 y-06 g(0 x a題錯誤!未找到引用源。圖若一張矩形導(dǎo)電紙的電導(dǎo)率為6面枳為aXb,四周電位如題錯誤!未找到引用源。圖所示。試求： 導(dǎo)電紙中電位分布：導(dǎo)電紙中電流密度。 解建立直角坐標系，根

24、據(jù)給定的邊界條件，得做0,y) = 0做=(0y其中n=0 1 2 3 -晉，其中g(shù),2, 3, 代入上式.得co戀y) Mx+兀+若辭唄尹)+ Egh(晉仲。煜y)由邊界條件(p(0.y) = o , w(a,y) = %,得心 + 瑞 + Ainh(學 a)+ B： cosh (學 a) cos(學 y) =% n司bbb邱+ B；cos芒 y)=0n=lD由此求得常數(shù)：B；=0,其中 n=0, 1, 2t 3,= A = 其中 n=l 2t 39 a那么導(dǎo)電紙中的電位分布為 由 = -70二-塑求得導(dǎo)中紙中電流密度為aJ(x,y) = a = -exa5-1真空中邊長為a的止三角形導(dǎo)線回

25、路，電流為I,求回路中心的磁場。解由于其對稱性，故回路中心的磁場垂直于三角形平面。一條邊的電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為Bj =(cos q + cos & )4開1=(cos30+ cos 30 ) = I4心)2乃2V3故合成磁場為耳比5-2求題5二圖中P點的磁感應(yīng)強度。 解g=uo_rIdl_xR R =2社+(0 05_y帀 y4兀 J r3y半圓產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度題5-2圖逛4” J22 +(0.05-y)-3/2= 25x10“上下兩邊產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B3 =B4 =2x104左邊產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度，3=|0 05dx(-0Q=628xi0_4 J0 053總的磁感應(yīng)強度3 總=1.03x10

26、-站5-3在氫原子中，電子繞半徑為5 3X1041m的圓軌道運動，速度為2200m/s,求圓軌道圓心處的磁場。 解吩詩窖塔齊勢&54當半徑為a的均勻帶電圓盤的電荷面密度為p汕若圓盤繞英軸線以角速度3旋轉(zhuǎn)，試求軸線上任 一點磁感應(yīng)強度。解 將圓盤分割成很務(wù)寬度為dr的同心載流圓環(huán)dL它在z處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為cl = esW2dL2(r2 + lr)3/2因為di歎s d所以宀J；冊2 2zl/a2 + z25-5己知電流環(huán)半徑為a.電流為I,電流壞位于z=0平面.如題55圖所示。試求P (0, 0, h)處的磁感應(yīng)強度。解由畢薩定律得_ & 嚴 x R4/r J】R3rf于 1? = -aq

27、+ hezf d/ = ad火羊故“jla嚴ad火nhd姐4;r h (a2 + h2)3/2 + (a2 + h)3所以56己知N邊正多邊形的外接圓半徑為a,當通過的電流為I時，試證多邊形中心的磁感應(yīng)強度為3解 如圖所示，我流線圈每邊在中心O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為B = e(cos & 一 cos ft)即一噸冷)卜證噸)4打Tcos(27如XI 4;r a cos()LN則N邊形在中心處產(chǎn)生的磁場為B = NBl = % 警1 tail(善)2/ra N當NTS時，輒曹如）7譽5-7 一個半徑為b、長度為L的圓柱體，由極細的導(dǎo)線密繞N匝。若導(dǎo)線中電流為I。求在圓柱體軸線 上任一點的磁感應(yīng)強度

28、。在圓柱中心的磁感應(yīng)強度是姜少？并求出在圓柱軸線末端的B的表達式。解 已知半徑為b,電流為I的磁偶極子在中心軸上h高處的磁感應(yīng)強度為2(b2 + h2)3/2將dz “寬度內(nèi)的電流看成是線電流，代入上式得(學)dzdB = o2(lr + (z-z)則.通過枳分得/店 NI 右dz， _ *b，NI2J4(b2 + (z-zf)3/2 z a Jy (b2 + nF 嚴dzfdm2 21.*ret*ii(2)bsec2 O(0 _/4)NI氣*2 b3sec 伊 2 21 arctan(-x_)b-z2z)2 + b2中心處駕11 1b27 r2+b21(N、1 nI , Rt = R t =

29、 ez /02 2w當l、b時.R =oNI 158 電量為50nC的點電荷，在磁場B = 1.2ezT中運動，經(jīng)過點（3. 4, 5 ）時速度為500ex+2000eyin/s,求電荷在該點所受的磁場力。解 F = qvxB = 5x“（50收 +2 0d）vQx題5-9圖F2 = J Icfl x B = I J- ad舛 x Bez =Bia epd0r=2BIaexA=-Bia | （cos 亦y 一 sin 姐）d0o= 2xl.25xl20xlax =50ex合力為F總=250ex510 根長度為12m,質(zhì)量為500g的金屬棒，用一対有彈性的引線懸掛在0 9T的磁場屮.如題5J0

30、圖所示。求克服懸掛引線張力所需的電流值。電流應(yīng)為什么方向？解 mg - F =0F =BH方向朝左0 500x9 809x1 2= 4.537 A511每邊長為10cm的1200匝的正方形線圈.載有25A的電流。計算它在12T磁場內(nèi)，由？ = 0。至卩 = 180旋轉(zhuǎn)所需做的功此處卩為磁偶極子與磁場的夾和.解磁偶極矩為m=NIAi2 =1200x25x(10xl02)2其受到的轉(zhuǎn)矩為亍= mxB = NIABEn更 即 T=NIAB中=720 J5-12十磁血為25An?的磁針位于磁感應(yīng)強度為B = 2T的均勻磁場中試求磁針所嗖:的最人轉(zhuǎn)矩。 解最大轉(zhuǎn)矩為心=niB = 25 x 2 = 50

31、Nm 513真空中邊長為a的正方形導(dǎo)線回路，電流為I,求回路中心的欠量磁位。解由十其對稱性合成4 = 0】 5J4兩根平行直導(dǎo)線，每根長10m,我燈人小相等方向和反的10A電流。導(dǎo)線距離為2m，如題5J4強度。 條邊的坐 空間任一10 A圖所示。試計算在點P （3. 4, 0）處的欠量磁位和磁感應(yīng) 解 設(shè)兩根導(dǎo)線位于yoz平面，并且關(guān)于z軸對稱。左面一 標為（0,-1, z），右面的坐標為（0, 1, z“）,則位于 點（X, 7, Z）的的矢量磁位為10 A一5 m-5 m題5-14圖A _如5_丄4才人 x2 + (y + l)3 + (z-z,)2=in(z，一 z +4穴少f4龍 J5

32、 /x2 + (y-l)2 + (z-z,)27x2 + (y + l)2 + (z-z)2) ? + ln(z -z+ (y-1)3 + (z-z)2)54-51114才-5 _ z+ yjic + (y + 1)2 + (z + 5)2 5_ z+ 7x2 + (y + l)2 + (z-5)2 ?+ 1115 - z + 女+ (_1尸+心_5尸i_5 _ z+ Jx + (y _1)_ + (z+ 5)H 一5 z+ (y + 1)2 十(z + 5)25 - z 十十(y-l)十(z 5) 115-Z+扶 + & + 1) + 心-5) ,、-5_ z+ Jx2 + (y-1)2 +

33、 (z+5)2則 A(3.4,0) = ez4.5 xlOWb/mJ-5- z+ +(y+l) +心+5)】)/? +(y+l)i +(n+5(5_ z +(y+l)】 +(z_ 5)，+(y+l)】 +(Z_ 5)J5-z+ 少 +(y-iy +(z- 5)2)少 +(y-l)2 +(z- 5)2 (-5- z* Jx2 +(y-1)3 +(z+ 5丫)少 +(y-1/ +(z+ 5)J-5-Z+(y+l) +(z+5)+(y+l) +(z+5) (5 _ z +(y+l)3 +(z-5)r)j+(y+(z_ ,J5-z+ JN+G-iy+(z-5)少+(廠1)2+(紗(亠 z+ +(y)?

34、 +(2+5)% +(y 1)】+(z+5)】;WiJ B(3,4,5)=ex6.270xl07 +ey1.393xlO7WB/m 515己知無限長導(dǎo)體圓柱半徑為a.通過的電流為I.且電流均勻分布，試求柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強度。解 建立圓柱坐杯系，另圓柱軸線為z軸。那么根據(jù)真空中的安培壞路定律可知,2（1）在圓柱內(nèi)線枳分包闌的部分電流為1】=巴二1,且出二勺jd0，則B 出=弘11 = B 2/ = “ 竺rl = B =4.即 B = e2 才 iT2/TJT（2）在刪柱外，線枳分包闈的電流為I，則 B 61 = 1 = B =陷叢11勺2r 5-16在真空中，一個非常長、半徑為10cm的圓柱體

35、，其電流密度為亍=200e-5rezA/m3o試計算在空 間任一點的磁感應(yīng)強度。解利用安培壞路定律，首先半徑為r的圓積分路徑所包闈的電流為 =jJ dS = 200e_05r -21-SOOCr + ZJe-051 = 800（r + 2）l-e-5r 所以在心皿時，迪（匕2）（1二巴： 17TVr當 r0.1 時,Ij = 800（0.14-2）（1 - e-005） =2x40.97則&廠也5.14E2兀tr517己知無限長導(dǎo)體圓柱半徑為a其內(nèi)部有一圓柱形空腔.半徑為b,導(dǎo)體圓柱的軸線與圓柱形空腔的軸線相距為c,如題517圖所示。若導(dǎo)體中均勻分布的電流密度為J =Joez,試求空腔中的磁感

36、應(yīng)題5-17圖其與 p 占 生的 磁感強度。解 設(shè)空腔內(nèi)任一點P，其與0點距離矢最為幾 。點的距離矢最為則利用疊加原理，空腔中 的磁感應(yīng)強度等于電流密度為J的人實心圓柱產(chǎn) 磁感應(yīng)強度和電流密度為J的小實心圓柱產(chǎn)生的 應(yīng)強度之和。大圓柱電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B6l = /Q-7rr2 二 =型此 二乙B 型 =如12 2 V 2 7同理小圓林電流產(chǎn)牛的磁感應(yīng)弛度為 =卑X 警（一“）故合成磁場為色圖=B + B =警 J x (i /)=警 J X %簡化為total5-18 B知真空中位于y=0的平面內(nèi)有面電流亍s = Vso,試求空間任一點的磁感應(yīng)強度。解 根據(jù)電流分布特性，可知當y0時，B為

37、x方向：當y02 也 y B = 1 2T：當H增加到1500A/m時，B增加到1.5T。試求對應(yīng)的 磁化強度的變化值。解 利用B = /(H + M),則根據(jù)條件得出兩方程 j.2 =/4)(3OO+ MJ 得1.5 = /Zq(1500 +M2) AM = M? - M = 237532 A/ill 5-21-鐵磁性壞，內(nèi)半徑為30cm,外半徑為40cm,截面為矩形，高為5cm,相對磁導(dǎo)率為500,均勻 繞線1000匝，通以1A的電流。分別計算磁芯中的址人和般小磁感應(yīng)強度，以及穿過磁芯截面的磁通 屋。解由于其分布對稱，故可利用安培環(huán)路定律解題。以磁環(huán)同心圓為積分路徑。H 2r = 1000

38、 =H =2r半徑最小處B最大曙“3333T半徑最大處E最小仏唏“25T總的磁通量rf04 0 1=2於訂hdriOOW盹5-22在z0的區(qū)域1為真空，其磁感應(yīng)強度為4山耳+ 唱+063二20的區(qū)域2的相對磁 導(dǎo)率為100。若z=0的分界面上無自由電流，試求：區(qū)域2的磁感應(yīng)強度；每個區(qū)域的磁化強度 和分界面上的磁化電流密度。解根據(jù)邊界條件= 062x = “AjHa = ZAzrZAjHix =2y =九舛比=ZrZA)Hly = 80故區(qū)域2中的磁感應(yīng)強度B2 = ex150 + ey80 + ez0.6mTH2(ex1.5 + j0.8 + e20.006 ) = exl 193 + ey

39、637 + e24.774 A/mH. = (el.5 + ev0.8 + e 0.6) = e 1193 + e 637 + e 477 A/ ill*/ xyz / xyz區(qū)域1中的磁化強度M,=- AZ】=0“D區(qū)域2中的磁化強度皆詈磚小82曲+“+73曲“分界面上電流密度丿；=M2 xe2 = -ey1.182xlO5 + ex6.3xlO4 A/m 5-23 z=0的兩種媒質(zhì)的分界面上有面電流亍s 2e腳m?！啊５拿劫|(zhì)？的相對磁導(dǎo)率為？00,其中 磁場強度碼=40ex+50ey+12ezkA/mo zQ的媒質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為iooo,試求媒質(zhì)1中磁場強 度。BJ = 0解 利用邊界條件

40、 n 1： ，假設(shè)媒質(zhì)1中的磁場強度為H=qHx + WyHy + qHz，其enX(HlH2)= Js磁感應(yīng)強度妁=仏灼(5比+乞比+冬孔)，這里4 =解方程組得到H = ex28 + ey50 + ez2.4kA/ in 5-24題5J4圖示為一串連磁路其磁性材料的相対磁導(dǎo)率為2000。圖上尺寸均以cm為單位.磁路厚 度均為2。若對1000匝線圈通以0 2A的電流，求磁路中的磁通量。解采用磁阻法上同理36x10-%2000x4/1x10-7x2x2x107 58099G36 x IO?7.119366Qi%t 2000 x4 xlO x6x2xl0=6 彎=278521Q1舛 2000 x 4龍 x 107 x 4 x 2 x IO456x10=56x10-.4 = 278521Q1%2000 x 4才 xl07 x 4 x 2 X104題5-24圖b2aI441 j1000 1帀:6ddn總磁阻為