對實數(shù)基本定理的認(rèn)識

1、對實數(shù)基本定理的認(rèn)識 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 白海蛟最初,在引入實數(shù)時,傳統(tǒng)的方法一個是戴德金（Dedekind）用分劃定義實數(shù),另一個是康托（Cantor）用有理數(shù)的基本序列之等價類來定義.分劃 定義:若把一個有序的數(shù)系S分成A,B兩類,滿足.A,B均非空;.S中的任意數(shù)或在A中,或在B中;.A中任一數(shù)均小于B中任一數(shù);則A,B為數(shù)系S的一個分劃,記為AB. 戴德金實數(shù)連續(xù)性定理 實數(shù)系R按戴氏連續(xù)性準(zhǔn)則是連續(xù)的,即對R的任一分劃AB,都存在唯一實數(shù)r,它大于或等于下類A的每一個實數(shù),小于或等于上類B的每一個實數(shù).基本序列 定義 數(shù)系S中,如果有數(shù)列滿足下列性質(zhì):,使得只要,有,則稱為S的基本序列,

2、或柯西列.在數(shù)系S中,兩個基本序列是等價的,如果,將相互等價的基本序列作為一類,稱為等價類.顯然,每一個有理數(shù),對應(yīng)了一個等價類,可以說這個等價類唯一的刻畫了這一有理數(shù).類似地,可以認(rèn)為每一個有理數(shù)的基本序列的等價類對應(yīng)了一個實數(shù). 當(dāng)對應(yīng)的不再是有理數(shù)時,它就對應(yīng)了一個新數(shù),即為無理數(shù).實質(zhì)就是讓每一個有理數(shù)的基本序列有極限,當(dāng)極限值不為有理數(shù),就定義了一個無理數(shù).顯然,戴德金分劃法較之康托的方法,更為直觀.關(guān)于實數(shù)系R,我們得到了7 個等價命題: 戴德金實數(shù)連續(xù)性定理; （確性定理）非空的有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界; （單調(diào)收斂定理）任何單調(diào)有界的數(shù)集必有極限; （區(qū)間套定理）設(shè)是

3、一個區(qū)間套,則必存在唯一的實數(shù)r,使得包含r在所有的區(qū)間里,即; （有限覆蓋定理）實數(shù)閉區(qū)間a,b的任一個覆蓋E,必存在有限的子覆蓋; （緊致性定理）有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列; （柯西收斂原理）實數(shù)系R中,數(shù)列有極限存在的充分必要條件是:,當(dāng)時,有.其中,刻畫了實數(shù)系的連續(xù)性,刻畫了實數(shù)閉區(qū)間的緊性,刻畫了實數(shù)系的完備性.以上七個命題在實數(shù)系R是等價的.需要說明的是,實數(shù)系R的得到,是以有理數(shù)系Q為材料,構(gòu)造出的一個新數(shù)的有序域.它滿足阿基米德性,同時使確性定理成立,并以有理數(shù)系作為其一個子集,實數(shù)系R仍構(gòu)成阿基米德有序域.但上述7個命題,在復(fù)數(shù)域C,有理數(shù)域Q 并不是全部成立的.以下證明7個命

4、題的等價性.:設(shè)為一遞增且有上界M的數(shù)列.用反證法.借助柯西收斂原理,可以證明:若無極限,則可以找到一個子列以為其廣義極限,從而與有上界相矛盾.現(xiàn)構(gòu)造這樣的.首先,對單調(diào)數(shù)列而言,柯西條件可改述為:“”因為它同時保證了對一切,恒有.由于假定不收斂,故有上述柯西條件的否定陳述,必存在某個,對,使得.依次取 使; 使; 使;把這k個不等式相加,得到.由此易知,當(dāng)時,可使,矛盾.故單調(diào)有界數(shù)列必有極限.引理 任意一個數(shù)列必存在單調(diào)子數(shù)列.現(xiàn)證 若不存在遞增子序列,則必存在嚴(yán)格遞減子序列.若中存在（不一定嚴(yán)格）遞增子序列,則問題已明.若中無遞增子序列,那么,使得,恒有.同樣在中也無遞增子序列.于是又,

5、使得,恒有.如此無限進(jìn)行下去,便可得到一嚴(yán)格遞減的子序列.證畢.:由引理知,有界數(shù)列必有有界單調(diào)子序列.又由單調(diào)收斂原理可知,該有界單調(diào)子數(shù)列必有極限,即該子數(shù)列是收斂的.故有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列.:用反證法.假設(shè)某一閉區(qū)間a,b的某個開覆蓋E無有限子覆蓋.將a,b二等分,則至少有一個子區(qū)間,不能用E的有限子集覆蓋,將此半?yún)^(qū)間記為.然后將再二等分.重復(fù)上述步驟,依次進(jìn)行下去,便得到一區(qū)間套:,(當(dāng)).每一個皆不能用E的有限子集覆蓋.取數(shù)列,顯然.用緊致性定理，可知收斂.不妨,則.,使.當(dāng)n取足夠大時,則可覆蓋,與區(qū)間套的構(gòu)造相矛盾.故閉區(qū)間a,b的開覆蓋必有有限子覆蓋.: 用反證法.如若不然,

6、設(shè)存在區(qū)間套,有,記開區(qū)間,即.此時E= 構(gòu)成了的一個覆蓋.由有限覆蓋定理,存在N,使得.故 當(dāng)n>N時, 是空集,這是不可能的,矛盾.故有,即存在r,使得r的唯一性證明由區(qū)間套定理性質(zhì)本身可推得.若存在 ,.由,則時,有.故區(qū)間套定理得證.:設(shè)M為實數(shù)域上數(shù)集E的上界,即,有.來證.任取一,將二等分.若右半?yún)^(qū)間含有E中的點,則記右半?yún)^(qū)間為,否則就記左半?yún)^(qū)間為.然后將再次二等分.用上述選記.如此進(jìn)行下去,我們便得到一個區(qū)間套, (當(dāng)).由區(qū)間套定理,可知唯一公共點 （n=1,2,3,）可以證明就是E的上確界.由區(qū)間套的構(gòu)造可知,有時,故就是E的上確界,故非空有上界的數(shù)集必有上確界.非空有

7、下界數(shù)集必有下確界的情況可類似證明.:設(shè)給定R的一個分劃AB,由于B中每個數(shù)都是A的上界,由確界定理,A有上確界r.顯然,而,由于b是A的上界,r是上確界.故arb.實數(shù)基本定理證完.:設(shè)X是有上界的非空實數(shù)集.記B為X的全體上界組成的集合.A=RB.則AB構(gòu)成R的一個分劃.事實上,不空,不漏顯然.只需證明“不亂”. ,由a不是X的上界,知有使,而故a<b .由實數(shù)基本定理,分劃AB確定唯一實數(shù)r,使,有,需證r=supX.先證r是X的上界.反證.若不然,則有使,此時且a>r.這是不可能的.故r是X的上界,而由任意表明了r是X的最小上界.下確界情況可類似證明.確界定理證完.:設(shè)是單調(diào)上升有上界的是數(shù)列.由確界定理知r=sup存在,且有,且,且 因此當(dāng)n>N時,即,這就證明了.故單調(diào)有界有極限.:柯西收斂原理的必要性 已知收斂,即使只要n>N,有故只要n>N,m>N,有必要性得證.現(xiàn)證充分性:先證有界性.對,當(dāng)n>N,m>N,有取定,只要n>N,有從而令M=max則下證有極限存在,由有界知,（緊致性定理推得）因此,使當(dāng)k>K時,有另,當(dāng)時,.取,則只要n>N,取,則.從而 ,充分性得證.從而柯西收斂定理得證.為此,7個命題的等