勾股定理的運用

1、勾股定理的運用在直角三角形中，我們用勾和股分別表示兩條直角邊，用弦來表示斜邊，則可得： 兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。通過勾股定理數(shù)學思想可解決許多數(shù)學問題。其中的關鍵就是找準直角邊與斜邊以及它們之間的關系。例1、今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問水深葭長各幾何。（選自九章算術勾股章第六題）分析：如圖1所示，在RtABC中，AC=b，AB=c，BC=a，b為池深，c為葭長，且葭出水1尺，即：c=（b1）尺，由題意知：a為五尺。根據(jù)勾股定理，可得：b2+52=（b1）2從中可以求出b 解：在在RtABC中，ACB=90º則有：AC2+BC2=AB2（勾股定理

2、）設 AC=b，可得 b2+52=（b1）2化簡，得2b 24=0 解得 b=12AB=b+1=13答：水深12尺，葭長13尺例2、一輛裝滿貨物的卡車，2、75米高，1、6米寬，要開進廠形狀如圖2所示的某工廠，問這輛卡車能否通過廠門？為什么？ 分析：卡車能否通過廠門，只要看卡車在廠門正中間時其高度是否小于PR，其中Q在離廠門中點0、8米處且PQAB，與地面交于R解：如圖，O為中點，Q位于中點0、8米處作PQAB，交弧于點P，與地面交于R在RtOPQ中，PQ= 即：PQ= =0、6（米）PR=0、62、3=2、92、75有0、15米的余量，則 ：卡車能通過例3、上旦附中組織640名學生去無錫太湖

3、夏令營，其中男生347名，當日，舉行完入營儀式，學校為了讓學生體會大自然的氣息，故決定搭建簡易圓錐形帳篷在野外露宿，經(jīng)測量，該圓錐形帳篷收起時傘面的長度有4米，撐開后帳篷高2米且每頂帳篷限住5人，學校規(guī)定：男女生不得同住一個帳篷?，F(xiàn)校方覓得一長為90米，寬為70米的空地。問：這塊空地是否合適作為營地。 請闡明理由。分析：這塊空地是否合適作為營地，只要計算得出能在此搭建的帳篷是否滿足所需要的帳篷數(shù)量。為此，只需計算出帳篷撐好后的底面直徑。解：根據(jù)題意，作出圖3如圖，AC=BC=4米AOBC于點O，且AO=2米BC為帳篷撐好后的地面直徑。在RtAOB中，OB 3、4米AC=BC，AOBCBC= 2

4、 OB=2×3、4= 6、8米90÷6、8= 13（頂）1.6（米） 70÷6、8= 10（頂）2（米）在空地上可搭建帳篷：13×10=130(頂) 347÷5=69(頂)2（人） 則 男生需要帳篷：691=70（頂） （640 347）÷5=58（頂）3（人） 則 女生需要帳篷：581=59（頂）共所需帳篷：5970=129（頂）129 < 130 這塊空地合適作為營地。 例4、基隆位于臺灣島東北角。某天早上八點發(fā)現(xiàn)其正東方向320千米的洋面上形成臺風。經(jīng)測算，臺風中心以25千米/ 時的速度向西北方向運動，在半徑為240千米的

5、范圍內將受影響。試問基隆是否會遭受此臺風的影響？若受影響，將維持幾小時？ 分析：此題可建構方位圖，通過勾股定理的方法解決問題解：在點O（八點時的臺風）建立方位圖，A點表示基隆。由題意得，OA=320千米，作APOP于點A，POA=45度，聯(lián)結BA與BA，如圖4因為AP2OP2OA2，2AP2= OA2，得OA=， ，所以A點將遭受臺風影響。設臺風到B處開始影響A點，到B處結束對A點的影響，即：AB=AB=240，所以，所以基隆會遭受此臺風的影響，臺風影響將持續(xù)6.4小時。反思：靈活運用勾股定理可以解決生活中許多實際問題。在解決實際問題時，先根據(jù)題意作出準確圖形，再通過對勾股定理的理解以及其公式

6、的變形，詳加分析后便可輕松解出題目。故此，應牢記下以下各組勾股數(shù)據(jù)：3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 思維流程：分析題意建立勾股定理數(shù)模 正確解答 檢驗結果 練習1、 如圖5所示，池塘中離岸邊D點1、5米的C處直力長著一朵紅蓮，出水部分BC的長是0、5米，把紅蓮拉到岸邊，恰好與D點重合。求水深及紅蓮高。2、 一輛裝滿貨物的卡車，高2、5米，寬1、6米，要開進形狀如圖6所示的雙車道隧道。已知隧道是由半圓和矩形組成，車輛在隧道內行駛不準進入逆向車道。具體數(shù)據(jù)如圖6所示。問：這輛卡車能否通過隧道？為什么？ 3、小王攜帶一圓錐形帳篷，測得其傘面長度長41分米，撐開后帳篷高40分米，求其撐好后的底面半徑。又，小王覓得一長為3米，寬為2米的空地。問：他能否在此搭建帳篷。答案：1、設AC= x米 則：x2+(1、5)2=（x+0、5）2 x=2米 AB=2、5米 2、如圖7，RtOPQ中 PQ=1、2+1=2、22、5 所以，卡車不能通過隧道。3、 由題意得圖8，如圖，AC=41分米，AD=40分米，則 所以，帳篷撐好后的底面