相似三角形經(jīng)典題(含答案).

1、相似三角形經(jīng)典習(xí)題例 1從下面這些三角形中，選出相似的三角形例 2已知：如圖，ABCD 中， AE : EB1: 2，求AEF 與CDF 的周長(zhǎng)的比，如果S AEF6cm2 ，求 S CDF 例 3如圖，已知ABD ACE ，求證：ABC ADE 例 4 下列命題中哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？（ 1）所有的直角三角形都相似（ 2）所有的等腰三角形都相似（ 3）所有的等腰直角三角形都相似（ 4）所有的等邊三角形都相似例 5如圖， D 點(diǎn)是ABC 的邊 AC 上的一點(diǎn)， 過(guò) D 點(diǎn)畫線段 DE ，使點(diǎn) E 在ABC 的邊上， 并且點(diǎn) D、點(diǎn) E 和ABC的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與ABC 相似盡可能

2、多地畫出滿足條件的圖形，并說(shuō)明線段DE 的畫法例 6如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30 米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約 12 個(gè)分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長(zhǎng)約60 厘米，求電線桿的高例 7如圖，小明為了測(cè)量一高樓MN 的高，在離N 點(diǎn) 20m 的 A 處放了一個(gè)平面鏡，小明沿NA 后退到 C 點(diǎn)，正好從鏡中看到樓頂M 點(diǎn)，若 AC1.5m，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下樓房的高度（精確到0.1m）例 8格點(diǎn)圖中的兩個(gè)三角形是否是相似三角形，說(shuō)明理由例 9根據(jù)下列各組條件，判定ABC 和A B C 是否相似，并說(shuō)明理由：（1） AB

3、3.5cm, BC2.5cm, CA4cm,A B24.5cm, B C 17.5cm,C A 28cm （2） A35, B104 ,C 44,A 35（3） AB3, BC2.6,B48 ,AB1.5, B C1.3,B 48例 10如圖，下列每個(gè)圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來(lái)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明識(shí)別的根據(jù)例 11 已知：如圖，在ABC 中，ABAC ,A36 , BD 是角平分線，試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說(shuō)明AD 2DCAC 例 12已知ABC 的三邊長(zhǎng)分別為5、 12、13，與其相似的A B C 的最大邊長(zhǎng)為26，求A B C 的面積 S例 13在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，

4、老師讓同學(xué)們到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高度，然后回來(lái)交流各自的測(cè)量方法小芳的測(cè)量方法是：拿一根高3.5 米的竹竿直立在離旗桿27 米的 C 處（如圖），然后沿BC 方向走到D 處，這時(shí)目測(cè)旗桿頂部A 與竹竿頂部 E 恰好在同一直線上，又測(cè)得C、D 兩點(diǎn)的距離為3 米，小芳的目高為1.5 米，這樣便可知道旗桿的高你認(rèn)為這種測(cè)量方法是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由例 14如圖，為了估算河的寬度， 我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B 和 C，使 ABBC ，然后再選點(diǎn) E，使 EC BC ，確定 BC 與 AE 的交點(diǎn)為 D，測(cè)得 BD 120 米， DC 60 米， EC 50 米，你能求出兩

5、岸之間 AB 的大致距離嗎？例 15 如圖，為了求出海島上的山峰AB 的高度，在D 和 F 處樹立標(biāo)桿DC 和 FE ，標(biāo)桿的高都是（ 1 步等于 5 尺），并且 AB、CD 和 EF 在同一平面內(nèi)，從標(biāo)桿 DC 退后 123 步的 G 處，可看到山峰一直線上，從標(biāo)桿 FE 退后 127 步的 H 處，可看到山峰 A 和標(biāo)桿頂端 E 在一直線上求山峰的高度的水平距離 BD 各是多少？（古代問(wèn)題）3 丈，相隔 1000 步 A 和標(biāo)桿頂端 C 在 AB 及它和標(biāo)桿 CD例 16如圖，已知ABC 的邊 AB 2 3 ， AC 2， BC 邊上的高 AD 3 （ 1）求 BC 的長(zhǎng)；（ 2）如果有一

6、個(gè)正方形的邊在AB 上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AC ，BC 上，求這個(gè)正方形的面積相似三角形經(jīng)典習(xí)題答案例 1解、相似，、相似，、相似例 2解ABCD 是平行四邊形， AB / CD , ABCD ， AEF CDF ，又 AE : EB 1: 2， AE : CD 1:3， AEF 與CDF 的周長(zhǎng)的比是1： 3又SAEF(1)2,S AEF6(cm2 ) ， S CDF54(cm2 ) S CDF3例3分析由于ABD ACE ，則BADCAE ，因此BACDAE ，如果再進(jìn)一步證明問(wèn)題得證證明 ABD ACE ，BADCAE 又BACBADDAC ，DAEDACCAE ，BACDAE ABD

7、ACE ， ABAC ADAEABAC在ABC 和ADE 中， BACADE ,ABC ADEAD，AE例 4分析 （ 1）不正確，因?yàn)樵谥苯侨切沃?，兩個(gè)銳角的大小不確定，因此直角三角形的形狀不同（ 2）也不正確，等腰三角形的頂角大小不確定，因此等腰三角形的形狀也不同（3）正確設(shè)有等腰直角三角形ABC和 ABC ，其中 CC 90，則AA45,BB45 ，BACA，則ADAE設(shè)ABC 的三邊為 a、b、c，A B C 的邊為 a 、 b 、 c ，則 ab, c2a, ab , c2a ， ab , ca ， ABC A B C abca（4）也正確，如ABC 與A B C 都是等邊三角形，

8、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊都成比例，因此ABC A B C 答：（ 1）、（ 2）不正確（ 3）、（ 4）正確例 5解：畫法略例 6分析本題所敘述的內(nèi)容可以畫出如下圖那樣的幾何圖形，即DF60 厘米0.6 米， GF 12厘米0.12 米，CE30 米，求 BC由于 ADF AEC, DFAF ，又 ACF ABC ， DFGF ，從而可以求出BC 的長(zhǎng)ECACECBC解AEEC,DF / EC ，ADFAEC ,DAFEAC ，ADF AEC DFAF ECAC又 GFEC, BCEC ， GF / BC,AFGACB,AGFABC ， AGFABC ， AFGF ，DFGF ACBCECBC又 D

9、F60 厘米0.6米， GF 12厘米0.12 米， EC30 米， BC 6 米即電線桿的高為6 米例 7分析根據(jù)物理學(xué)定律：光線的入射角等于反射角，這樣，BCA 與 MNA 的相似關(guān)系就明確了解因?yàn)锽CCA, MN AN , BACMAN ，所以BCA MNA 所以 MN :BCAN : AC ，即 MN :1.620 :1.5 所以 MN 1.620 1.521.3（ m）說(shuō)明這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)很巧妙，省卻了使用儀器測(cè)量的麻煩例 8分析這兩個(gè)圖如果不是畫在格點(diǎn)中，那是無(wú)法判斷的實(shí)際上格點(diǎn)無(wú)形中給圖形增添了條件長(zhǎng)度和角度解在格點(diǎn)中 DEEF, ABBC ，所以EB90

10、，又 EF1, DE2, BC2, AB4 所以 DEEF1 所以DEF ABC ABBC2說(shuō)明遇到格點(diǎn)的題目一定要充分發(fā)現(xiàn)其中的各種條件，勿使遺漏例 9解（ 1）因?yàn)?AB3.5cm1, BC2.5cm1, CA4cm1 ，所以ABC ABC；A B 24.5cm7 B C17.5cm7C A28cm7（ 2）因?yàn)镃180AB41 ，兩個(gè)三角形中只有AA ，另外兩個(gè)角都不相等，所以ABC 與ABC 不相似；（3）因?yàn)锽B, ABBC2，所以 ABC相似于 ABC A BB C1例 10解 （ 1） ADE ABC兩角相等；（2） ADE ACB兩角相等；（3）CDE CAB兩角相等；（4）

11、EAB ECD兩邊成比例夾角相等；（5）ABD ACB 兩邊成比例夾角相等；（ 6）ABD ACB兩邊成比例夾角相等例 11分析有一個(gè)角是 65°的等腰三角形，它的底角是72°，而 BD 是底角的平分線，CBD36，則可推出ABC BCD ，進(jìn)而由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例推出線段之間的比例關(guān)系證明A36 ,ABAC ，ABCC72 又BD 平分ABC ，ABDCBD36 ADBDBC ，且ABC BCD ， BC : ABCD :BC， BC2AB CD ， AD2AC CD說(shuō)明 （ 1）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，這是判斷兩個(gè)三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等

12、的角的位置，可以確定哪些邊是對(duì)應(yīng)邊（ 2）要說(shuō)明線段的乘積式abcd ，或平方式 a2bc ，一般都是證明比例式，ad ，或 ba ，再根據(jù)cbac比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式例 12分析由ABC 的三邊長(zhǎng)可以判斷出ABC 為直角三角形，又因?yàn)锳BC ABC ，所以ABC 也是直角三角形，那么由A B C 的最大邊長(zhǎng)為26，可以求出相似比，從而求出A B C 的兩條直角邊長(zhǎng)，再求得ABC 的面積解設(shè)ABC 的三邊依次為，BC5, AC12, AB13，則AB 2BC 2AC2，C90 又ABC ABC ，CC90BCACAB131 ，B CA CA B262又 BC5, AC12， BC1

13、0,AC24 S1 A CB C12410120 22例 13分析 判斷方法是否可行，應(yīng)考慮利用這種方法加之我們現(xiàn)有的知識(shí)能否求出旗桿的高按這種測(cè)量方法，過(guò)F作 FGAB 于 G，交 CE 于 H，可知AGF EHF ，且 GF 、HF 、EH 可求，這樣可求得AG，故旗桿 AB 可求解這種測(cè)量方法可行理由如下：設(shè)旗桿高 ABx 過(guò) F 作 FGAB 于 G，交 CE 于 H （如圖）所以AGF EHF 因?yàn)?FD1.5,GF27330, HF3 ，所以 EH3.51.52, AGx1.5由AGF EHF ，得 AGGF ，即 x1.530 ，所以 x1.520 ，解得 x21.5（米）EHH

14、F23所以旗桿的高為21.5 米說(shuō)明在具體測(cè)量時(shí)，方法要現(xiàn)實(shí)、切實(shí)可行例 14. 解：ADBEDC ,ABCECD90 ， ABD ECD，ABBD ,ABBD EC120 50100 （米），答：兩岸間AB 大致相距100 米ECCDCD60例 15.答案： AB 1506 米， BD 30750 步，（注意： KCDG AK ,KEFHAK ）CDFE例 16.分析： 要求 BC 的長(zhǎng)，需畫圖來(lái)解，因 AB 、AC 都大于高 AD，那么有兩種情況存在，即點(diǎn)D在BC上或點(diǎn) D在BC 的延長(zhǎng)線上，所以求BC 的長(zhǎng)時(shí)要分兩種情況討論求正方形的面積，關(guān)鍵是求正方形的邊長(zhǎng)解：（ 1）如上圖，由AD BC，由勾股定理得BD 3， DC 1，所以 BC BD DC 3 1 4如下圖，同理可求BD 3，DC 1，所以 BC BD CD 312（ 2）如下圖， 由題目中的圖知BC 4，且 AB2AC2 (2 3)2 22 16 ，BC2 16 ， AB2 AC 2 BC 2 所以 ABC 是直角三角形由 AEGF 是正方形，設(shè)GF