信號(hào)檢測(cè)也估計(jì)第三章

1、檢測(cè)、估計(jì)與調(diào)制理論檢測(cè)、估計(jì)與調(diào)制理論Detection, Estimation, and Modulation Theory(3)肖海林復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)0 101001()()()()HfmHCp x HP Hp x HP HC100HHNeyman-Pearson準(zhǔn)則準(zhǔn)則Neyman-Pearson準(zhǔn)則準(zhǔn)則1100()()FDPP D Hp x Hdx0011()()MDPP D Hp x H dx虛警與漏報(bào)虛警與漏報(bào)321012300.20.40.60.81alert x 00.5()miss x 10.5()p x 00.5()p x 10.5()xNeymanPearson準(zhǔn)則準(zhǔn)則n約束：

2、FPn在上述約束下，最大化PD或最小化PM。Neyman-Pearson準(zhǔn)則推導(dǎo)準(zhǔn)則推導(dǎo)1n構(gòu)建函數(shù)：MFQPP0100()1()QP D HP D H0101|DQp x Hp x Hdx0010|1|DDQp x Hdxp x H dxNeyman-Pearson準(zhǔn)則推導(dǎo)準(zhǔn)則推導(dǎo)21010|0HHp x Hp x H即要使Q最小,1010|( )|HHp x Hxp x H1010|HHp x Hp x H即1 時(shí)Neyman-Pearson準(zhǔn)則準(zhǔn)則Neyman-Pearson準(zhǔn)則成為最大似然準(zhǔn)則準(zhǔn)則成為最大似然準(zhǔn)則Neyman-Pearson準(zhǔn)則推導(dǎo)準(zhǔn)則推導(dǎo)3FP10|FDPp x H

3、dx0|FPp x HdxNeyman-Pearson準(zhǔn)則準(zhǔn)則例例110HH222222012121|21|2xxp x Hep x He假設(shè)，似然函數(shù)： 12011122400|HxxHp x Hxeep x H似然比：10012ln2HHx 取對(duì)數(shù)并整理：1100|FDPP DHp x Hdx222241122xxedxedx方程的解 就是要求的門限：2Q0.1Neyman-Pearson準(zhǔn)則準(zhǔn)則例例1（續(xù)）（續(xù)）2Q0.110.12222Qerfc2(2 0.1)erfcinv1.8124Neyman-Pearson準(zhǔn)則準(zhǔn)則例例1（續(xù)）（續(xù)）Neyman-Pearson準(zhǔn)則準(zhǔn)則例例1（續(xù)

4、）（續(xù)）x21012300.10.20.1pxh0 x( )pxh1 x( )總結(jié)總結(jié)n以上各類準(zhǔn)則，歸根結(jié)底都是以上各類準(zhǔn)則，歸根結(jié)底都是“似然比檢驗(yàn)似然比檢驗(yàn)”。( ) zz門限0判決10( |)( ),( |)p z Hzp z H“似然比”貝葉斯貝葉斯(Bayes)判決判決信息源變換、編碼、調(diào)制信道信號(hào)源+ +噪聲信號(hào)處理設(shè)備終端123:,mSs sss123:,nXx xxxM元假設(shè)檢驗(yàn)元假設(shè)檢驗(yàn)123123,:,:,mmmSs sssmHHHH種可能看成 假定123:,1mmmP HP HP HP H看成 假定 種可能中有且必有一種假定成立M元假設(shè)檢驗(yàn)元假設(shè)檢驗(yàn)(續(xù)續(xù))n在簡(jiǎn)單M元

5、假設(shè)檢驗(yàn)中，有M個(gè)輸出，每個(gè)對(duì)應(yīng)M個(gè)假設(shè)中的一個(gè)。n必須在M個(gè)假設(shè)中作出判斷，選擇其中一個(gè)作為判決，因此假設(shè)與判決的組合共有M2個(gè)。nBayes準(zhǔn)則對(duì)每種可能的組合賦予一個(gè)代價(jià)，并假定一些先驗(yàn)概率P (H1) ，P (H2) P (HM) ，并對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行最小化。nNeyman-Pearson準(zhǔn)則也可以如此類推。貝葉斯貝葉斯(Bayes)判決判決nnnnnnnnCCCCCCCCCsssddd2122212121112121Bayes準(zhǔn)則（準(zhǔn)則（M元）元）10()()RP HP H01()mC P D H10()fC P D H11() ()mmijijjijRC P D HP H32101230

6、0.20.40.60.81alert x 00.5()miss x 10.5()p x 00.5()p x 10.5()x復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1100()()DP D Hp x Hdx0011()()DP D Hp x H dx復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)Bayes準(zhǔn)則（準(zhǔn)則（M元）元）iD,11( |)immji jjijDRP HCp x HdxiDM元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)SourceSourceD D1 1D D2 2D D0 0p p(x|Hm)(x|Hm)p p(x|H1)(x|H1)p p(x|H2)(x|H2)D DM MM元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(續(xù)續(xù))1mijjj iD

7、DD11,00( |)immji jjijDRP HCp x Hdx,111( |)( |)iimmmi iiiji jjiijDDj iC P Hp x H dxP HCp x HdxM元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(續(xù)續(xù))( |)1iiDp x H dx 有,111( |)immmi iiji jj jjiijDj iRC P HP HCCp x Hdx ,1( |)miji jj jjjj iIxP HCCp x HM元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(續(xù)續(xù))( |)0jp x H0jP H 0iIx ,0i jj jCCM元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(

8、續(xù)續(xù)) 123,miIxIxIxIxIx選中最小的為 iHx 就是選取的判決1( |):( )( |)iip x Hxp x H定義似然比1( ):( )( |)iiI xJ xp x H定義函數(shù),1( )( )miji jj jijj iJ xP HCCx,11( |)( )( |)mji jj jjjj iiP HCCp x HJ xp x HM元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(續(xù)續(xù)) iixH就是選取使J最小的M元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(續(xù)續(xù))123123121323213( ),( ) and ( ),if ( ) ( ) and ( ),Hif ( ) (

9、 ) and ( ),Hif ( ) ( ) and ( ),HI x IxIxI xIxIxIxI RIxIxIRI x規(guī)則：判決為判決為判決為n以M=3為例。有：M元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(續(xù)續(xù))n可定義似然比： 211321|,|px Hxp x Hp R Hxp R HnM元假設(shè)總是導(dǎo)致一個(gè)(最多) M-1維的判決空間。M元元Bayes檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)檢驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(續(xù)續(xù)) 321332123121112221212113321323133321311123212132333213121232221 (1) (2) (3)H orHH orHH orHH orHH or

10、HH orHP HCCRP HCCP HCCxP HCCRP HCCP HCCxP HCCRP HCCP HCCxH3H2H12R1R(2)(1)(3)判決空間最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則nCii=0,nCij=1, i != jn代入前面的公式，有：風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)與平均錯(cuò)誤概率Pe相等，因此被叫做最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則。1( )( |)mijjjI xP Hp x H最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則(續(xù)續(xù))nC00=C11=C22=0,nCij=1, i != jn代入前面的公式，有： 321332123121112323212132121 (1) (2) (3)H orHH orHH orHH o

11、rHH orHH orHP HxP HP HxP HxP HP HxP HxP HP Hx最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則(續(xù)續(xù))H3H2H12R1RP1/P2P1/P3判決空間n最小總錯(cuò)誤概率有：1( )( |)mijjjI xP Hp x H1jP Hm令11,( )( |)mijjj iI xp x Hm有11( )( |)( |)mijijI xp x Hp x Hm最大似然準(zhǔn)則最大似然準(zhǔn)則11( )( |)( |)mijijI xp x Hp x HmiH 成立最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則n用類似2元假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)的方法可以得到M元的最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則nP (H0|X)、 Pr (H1

12、|X)和Pr (H2|X)例例nH1：電壓1nH2：電壓2nH3：電壓3nH4：電壓4n加性高斯噪聲N(0,sigma2)n代價(jià)Cij=1, i != j; Cii=0n先驗(yàn)概率均相等nn次采樣121234,.,|nx xxp x Hp x Hp x Hp x H2是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的且方差為的高斯隨機(jī)變量。因此：似然函數(shù)似然函數(shù)2212212212211222324212121212niiniiniiniixnxnxnxneeee似然比似然比 222111222111221121111232221123211125222223431122334|,|nnniiiiiinnniiiiiinniiiixxxxxxxxp x Hxeepx Hp x Hxeep x Hp x Hxep x H2112721231n