信號(hào)與系統(tǒng)課件

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-1 1 1頁頁頁電子教案第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-2 2 2頁頁頁電子教案第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析經(jīng)典法經(jīng)典法: :前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與 ( (t t) )有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決 h h( (t t) )；卷積積分法卷積積分法: : 任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通

2、過沖激響應(yīng)來求。沖激響應(yīng)來求。( (新方法新方法) )信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-3 3 3頁頁頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)微分方程的經(jīng)典解：微分方程的經(jīng)典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) +

3、yp(t)(特解特解）信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-4 4 4頁頁頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)u特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。 P41表表2-1、2-2u 齊次解齊次解yh(t)是齊次微分方程的解。是齊次微分方程的解。 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 yh(t)的函數(shù)形式的函數(shù)形式由特征方程的由特征方程的特征根特征根確定。確定。 其特征方程為其特征方程為0111aaannn信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-

4、5 5 5頁頁頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-6 6 6頁頁頁電子教案例例1 1 已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程初始條件初始條件y(0)=1, y(0)=2, y(0)=1, y(0)=2, 輸入信號(hào)輸入信號(hào)f(t)=ef(t)=e-t-t u(t) u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)y(t)。0),()(8)( 6)(ttftytyty0862 ss4221ss，tt

5、heCeCty4221)(特征根為特征根為齊次解齊次解yh(t)解解 (1)求齊次方程求齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齊次解的齊次解yh(t)特征方程為特征方程為2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-7 7 7頁頁頁電子教案2) 求非齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)解得 C1=5/2，C2= 11/6由輸入f (t)的形式，設(shè)方程的特解為yp(t)=Pe-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)P=1/3。3) 求方程的全解tttpheeCeCtytyty3

6、1)()()(4221131)0(21CCy23142)0( 21CCy0,3161125)(42teeetyttt其中其中 待定常數(shù)待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。由初始條件確定。2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-8 8 8頁頁頁電子教案討論討論1) 若初始條件不變，輸入信號(hào) f(t) = sin t u(t)，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t) =？2) 若輸入信號(hào)不變，初始條件y(0)=0, y(0)=1, 則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)=？信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-9

7、9 9頁頁頁電子教案經(jīng)典法不足之處經(jīng)典法不足之處l若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。 l若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。 l若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 l這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。的物理概念。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-101010頁頁頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+初始值初始值(y(j

8、)(0-) 與與y(j)(0+)p 若若f(t)是在是在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci 時(shí)用時(shí)用 t = 0+時(shí)刻的時(shí)刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。p 而而y(j)(0+)包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng)包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng) 的歷史信息。的歷史信息。p 在在t=0-時(shí)，激勵(lì)尚未接入，時(shí)，激勵(lì)尚未接入，y(j)(0-)反映反映系統(tǒng)的歷史系統(tǒng)的歷史 情況情況而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為初始狀態(tài)初始狀態(tài)。p 求解微分方程，需從已知的求解微分方程，需從已知的初始狀態(tài)初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)

9、法設(shè)法 求得求得初始值初始值y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1) 。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-111111頁頁頁電子教案例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：將輸入將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用利用系數(shù)匹配法系數(shù)匹配法分析：上式對(duì)于分析：上式對(duì)于t=

10、0-也成立，在也成立，在0-t 0 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-171717頁頁頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)（2）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t) 滿足滿足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等號(hào)右端含有由于上式等號(hào)右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，從而，從而yf(t)躍變，即躍變，即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0連續(xù)，即連續(xù)，即yf(0+) = yf(0-) = 0，積分得，積

11、分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+2 0000d)(62d)(ttttyf因此，因此，yf(0+)= 2 yf(0-)=2 對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6不難求得其齊次解為不難求得其齊次解為Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解為常數(shù)，其特解為常數(shù)3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-181818頁頁頁電子教案2.2 2.2 沖

12、激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù)由單位沖激函數(shù)(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱稱為為單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T0,(t) System初態(tài)初態(tài)=0h(t)tt0)(t信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-191919頁頁頁電子教案2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)若若n n階微分方程的等號(hào)右端只含激勵(lì)階微分方程的等號(hào)右端只含激勵(lì)f(t)f(t)，即若，即若y(n)+an-1y(n-1

13、)+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t)則當(dāng)則當(dāng)f(t)= (t)時(shí)，其時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程滿足方程h(n)+an-1h(n-1)+a1h(1)(t)+a0h(t)= (t)h(j)(0-)=0,j=0,1,2,n-1可推得各可推得各0+初始值為初始值為h(j)(0+)=0 j=0,1,2,n-2h(n-1)(0+)=1信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-202020頁頁頁電子教案2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 若描述若描述LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(

14、t)=bmf(m)(t)+ bm-1f(m-1)(t)+ +b0f(t) 求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可分兩步進(jìn)行可分兩步進(jìn)行:n 選新變量選新變量y1(t),令其滿足方程令其滿足方程y1(n)(t)+an-1y1(n-1)(t)+a1y1(1)(t)+a0y1(t)=f(t)求出其沖激響應(yīng)求出其沖激響應(yīng)h1(t);n 根據(jù)根據(jù)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分特性系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分特性,可得可得下式的下式的LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=bmh1(m)(t)+ bm-1h1(m-1)(t)+ +b0h1(t) (2.2-11)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南

15、理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-212121頁頁頁電子教案2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-222222頁頁頁電子教案求沖激響應(yīng)的幾種方法求沖激響應(yīng)的幾種方法方法方法1：沖激函數(shù)匹配法求出：沖激函數(shù)匹配法求出 躍變值，定系數(shù)躍變值，定系數(shù)A。方法方法2：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法，定系數(shù)奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法，定系數(shù)A。 方法方法3: 齊次解法求沖激響應(yīng)。齊次解法求沖激響應(yīng)。 0000信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-232323頁頁頁電子教案總結(jié)總結(jié)沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng)的求

16、解求解至關(guān)重要。至關(guān)重要。沖激響應(yīng)的定義沖激響應(yīng)的定義零狀態(tài)；零狀態(tài)；單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)說明：沖激響應(yīng)說明：在時(shí)域，對(duì)于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況在時(shí)域，對(duì)于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵(lì)下加同樣的激勵(lì) ，看響應(yīng)，看響應(yīng) ， 不同，說明其不同，說明其系統(tǒng)特性不同，系統(tǒng)特性不同，沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性?？梢院饬肯到y(tǒng)的特性。用用變換域變換域( (拉氏變換拉氏變換) )方法求方法求沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡捷方便，但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確。捷方便，但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確。)(t)(th

17、)(th信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-242424頁頁頁電子教案2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng) 由單位階躍函數(shù)由單位階躍函數(shù)(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單位單位階階躍躍響應(yīng)響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，記為，簡稱階躍響應(yīng)，記為g(t)。g(t)=T0, (t) 若若n n階微分方程的等號(hào)右端只含激勵(lì)階微分方程的等號(hào)右端只含激勵(lì)f(t)f(t)，即若，即若y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t)則當(dāng)則當(dāng)f(t)= (t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

18、g(n)+an-1g(n-1)+a1g(1)(t)+a0g(t)= (t) g(j)(0-)=0,j=0,1,2,n-1 由于等號(hào)由于等號(hào)右端只含右端只含(t) ,故除故除g(n)(t)外外,g(t)及其直到及其直到n-1階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)階導(dǎo)數(shù)均連續(xù),即有即有 g(j)(0+)= g(j)(0-)= 0 j=0,1,2,n-1信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-252525頁頁頁電子教案2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)ttgthxxhtgtd)(d)(,d)()(由于由于(t) 與與(t) 為微積分關(guān)系，故為微積分關(guān)系，故 例例 描述某系統(tǒng)的微分

19、方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+3y(t)+2y(t)= -f(t) + 2f(t)求其求其階躍階躍響應(yīng)響應(yīng)g(t)。 解解 先選變量先選變量gx(t),它滿足方程它滿足方程 gx”(t)+3gx(t)+2gx (t)= (t) gx(0-) =gx(0-)=0則系統(tǒng)的則系統(tǒng)的階躍階躍響應(yīng)響應(yīng)g(t) g(t)= -gx(t)+(t)+ 2gx(t) (參考教材參考教材P56)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-262626頁頁頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分2.3 2.3 卷積積分卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積

20、積分1 . .信號(hào)的時(shí)域分解信號(hào)的時(shí)域分解(1) (1) 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)問問 f1(t) = ? p(t)直觀看出直觀看出)(A)(1tptf信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-272727頁頁頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分(2)任意信號(hào)分解任意信號(hào)分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”號(hào)脈沖高度號(hào)脈沖高度f(0) ,寬度為，寬度為，為為：f(0) p(t)“1”號(hào)脈沖高度號(hào)脈沖高度f() ,寬度為寬度為，為：為： f() p(t - - )“- -1”號(hào)脈沖高度

21、號(hào)脈沖高度f(- -) 、寬度為，、寬度為，為為： f ( - - ) p(t + + )kktpkftf)()()(d)()()()(lim0tftftfto(1)(t)topn(t)n1n12n信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-282828頁頁頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分2 . .任意任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)零狀態(tài)yf(t)f (t)根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義：(t) h(t) 由時(shí)不變性：由時(shí)不變性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齊次性：由齊次性：f () h(t

22、 - -)由疊加性：由疊加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷積積分卷積積分信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-292929頁頁頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分 -kktkftf)()(lim)(0-kkthkfty)()(lim)(0)()(d)()()(thtfthfty)()(ttf信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-303030頁頁頁電子教案三.卷積公式的物理解釋dthftytf)()()(10111.三個(gè)與時(shí)間有關(guān)的物理量01t1t:表示系統(tǒng)的記憶時(shí)間，系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)

23、間，系統(tǒng)帶寬的倒數(shù).t1:表示觀察響應(yīng)的時(shí)刻.rc)(t)(tvc)()()(ttvdttdvrccctrcercth11)(t0tth0)(tth0)(表示信號(hào)的激勵(lì)時(shí)間:01td1t現(xiàn)在01t過去將來2t0)(tf信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-313131頁頁頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分3 . .卷積積分的定義卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和和f2(t)，則定義積分則定義積分 dtfftf)()()(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記

24、為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設(shè)的變量：積分是在虛設(shè)的變量下進(jìn)行的，下進(jìn)行的，為積分變量，為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為為參變量。結(jié)果仍為t 的函數(shù)。的函數(shù)。 )(*)(d)()()(thtfthftyf信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-323232頁頁頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt當(dāng)當(dāng)t t時(shí)，時(shí)，(t -) = 0ttttftyd)eee6

25、(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-333333頁頁頁電子教案)()()()(2222 tftffft平移翻轉(zhuǎn)1）將f1(t)和f2(t)中的自變量由t改為，成為函數(shù)的自變量；卷積的計(jì)算步驟計(jì)算步驟：2）把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)、平移；3）將f1 () 與f2 ( t)相乘；對(duì)乘積后的圖形積分。二、卷積的圖解法二、卷積的圖解法dtfftftf)()()(*)(21212.3 2.3 卷積積分卷積積分信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-34343

26、4頁頁頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分例f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用圖形卷積 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時(shí)時(shí) , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 時(shí)時(shí), f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2時(shí)時(shí)4121d21)(1ttyttf 3t 時(shí)時(shí)f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函數(shù)形式復(fù)雜函數(shù)形式復(fù)雜

27、換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 時(shí)時(shí)432141d21)(221tttytf0h( )f (t - )2013信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-353535頁頁頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分圖解法圖解法一般比較繁瑣，但一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。還是比較方便的。確定積確定積分的上下限是關(guān)鍵。分的上下限是關(guān)鍵。例例：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已知如圖所示，已

28、知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）換元）換元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積為（面積為0）信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-363636頁頁頁電子教案例：計(jì)算例：計(jì)算f1(t)和和f2(t)的卷積積分。的卷積積分。 1211120100tttftft 其其

29、他他其其他他積分區(qū)間：積分區(qū)間：1. t 1:2. 1 t 0:3. 0 t 1:4. 1 t 2:5. t2:f (t)=0f (t)=(t+1)2f (t)=1f (t)=2tt 2f (t)=02.3 2.3 卷積積分卷積積分信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-373737頁頁頁電子教案例例 f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e002.3 2.3 卷積積分卷積積分信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣

30、學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-383838頁頁頁電子教案一一代數(shù)性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)1交換律2分配律3結(jié)合律)()()()(1221tftftftf)()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 系統(tǒng)并聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)并聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)級(jí)聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)級(jí)聯(lián)運(yùn)算2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-393939頁頁頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)二、奇異函數(shù)的卷積特性二、奇異函數(shù)的卷積特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t)

31、 證：證：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 證：證：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-404040頁頁頁電子教案例例：計(jì)算下列卷積積分：計(jì)算下列卷積積分: (t+3) *(t-5) 解解： 由由(t) *(t) = t(t)，可得，可得(t+3) *(t-5)= (t) *(t) * (t +3 5) =t(t) *

32、(t -2）=（t-2）(t-2) )t (f)t ()t (f)t (f)t ()t (f12.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì))()()()()(tfttfnn)()()(0)(0)(ttftttfnn信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-414141頁頁頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121證：上式證：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t)

33、 = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff證：上式證：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-424242頁頁頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)

34、* f2(t) 解解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 顯然是錯(cuò)誤的顯然是錯(cuò)誤的。例例2：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)

35、=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-434343頁頁頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)解解： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷積的時(shí)移特性四、卷積的時(shí)移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，則則 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t)t201利用時(shí)移特性，有利用時(shí)移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2)f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)河南理工大學(xué)電氣學(xué)院信息工程系第第第2-2-2-444444頁頁頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)例例：f1(t), f2(t)如