2016年高考山東理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）【2016年山東，理1，5分】若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)為單位，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，故選B【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力（2）【2016年山東，理2，5分】已知集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由題意，所以，故選C【點(diǎn)評】本題考查并集及其運(yùn)算，考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題（3）【2016年山東，理3，

2、5分】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（ ）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140【答案】D【解析】由圖可知組距為2.5，每周的自習(xí)時(shí)間少于22.5小時(shí)的頻率為， 所以，每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是人，故選D 【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是頻率分布直方圖，難度不大，屬于基礎(chǔ)題目（4）【2016年山東，理4，5分】若變量，滿足，則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】由是點(diǎn)到原點(diǎn)距離

3、的平方，故只需求出三直線的交點(diǎn)，所以是最優(yōu)解，的最大值是10，故選C【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題（5）【2016年山東，理5，5分】有一個(gè)半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由三視圖可知，半球的體積為，四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為， 故選C【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀 是解答的關(guān)鍵（6）【2016年山東，理6，5分】已知直線分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，則“直線和直線相交”是“平面和平面相交”

4、的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由直線和直線相交，可知平面有公共點(diǎn)，所以平面和平面相交又如果平面和平面相交，直線和直線不一定相交，故選A【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是充要條件，空間直線與平面的位置關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題（7）【2016年山東，理7，5分】函數(shù)的最小正周期是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由，所以，最小正周期是，故選B 【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是和差角及二倍角公式，三角函數(shù)的周期，難度中檔（8）【2016年山東，理8，5分】已知非零向量滿足 ，若則實(shí)數(shù)的值為（ ）（A）4 （B）

5、 （C） （D）【答案】B【解析】因?yàn)?，由，有，即，故選B【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題（9）【2016年山東，理9，5分】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則（ ）（A） （B） （C）0 （D）2【答案】D【解析】由，知當(dāng)時(shí)，的周期為1，所以又當(dāng)時(shí)，所以于是，故選D【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，考查函數(shù)的周期性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題（10）【2016年山東，理10，5分】若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì)下列函數(shù)具有性質(zhì)的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A【

6、解析】因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象上任何一點(diǎn)的切線的斜率都是正數(shù)；函數(shù)的圖象上任何一點(diǎn)的切線的斜率都是非負(fù)數(shù)都不可能在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，即不具有性質(zhì)，故選A【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2016年山東，理11，5分】執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的的值分別為0和9，則輸出的值為 【答案】3【解析】時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，成立；所以，故填 3. 【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬程序法進(jìn)行解答（12）【

7、2016年山東，理12，5分】若的展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù) 【答案】【解析】由，得，所以應(yīng)填【點(diǎn)評】考查了利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)，屬常規(guī)題型（13）【2016年山東，理13，5分】已知雙曲線，若矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的離心率為 【答案】2【解析】由題意，所以，于是點(diǎn)在雙曲線上，代入方程，得， 在由得的離心率為【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用方程的思想，正確設(shè)出的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題（14）【2016年山東，理14，5分】在上隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為 【答案】【解析】首先的取值空間的長度為2，

8、由直線與圓相交，得事件發(fā)生時(shí)的取值空間為，其長度為，所以所求概率為【點(diǎn)評】本題主要考查了幾何概型的概率，以及直線與圓相交的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵弄清概率類型，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題（15）【2016年山東，理15，5分】在已知函數(shù)，其中，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍是 【答案】【解析】因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以時(shí)單調(diào)遞增，只要大于的最小值時(shí)，關(guān)于的方程在時(shí)有一根；又在，時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使方程在時(shí)有兩個(gè)根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填【點(diǎn)評】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析得到是難點(diǎn)，屬于中檔題 三、解答題：本大題共6題，共75分（1

9、6）【2016年山東，理16，12分】在中，角的對邊分別為，已知（1）證明：；（2）求的最小值解：（1）由得，由正弦定理，得 （2）由所以的最小值為【點(diǎn)評】考查切化弦公式，兩角和的正弦公式，三角形的內(nèi)角和為，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正余弦定理，不等式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)（17）【2016年山東，理17，12分】在如圖所示的圓臺中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，是圓臺的一條母線（1）已知分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）已知，求二面角的余弦值解：（1）連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，在上底面?nèi)，不在上底面內(nèi)，所以上底面，所以平面；又因?yàn)?，平面，平面，所以平面；所以平面平面?由平面，所以平面（2

10、）連結(jié)，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，于是有，可得平面中的向量，于是得平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，則二面角的余弦值為【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用（18）【2016年山東，理18，12分】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，當(dāng)時(shí)，又對也成立，所以又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由，于是，兩邊同乘以，得，兩式相減，得【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，著重考查等差數(shù)列

11、的通項(xiàng)與錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題（19）【2016年山東，理19，12分】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊(duì)”得0分已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：（1）“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率；（2）“星隊(duì)”兩輪得分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（1）“至少猜對3個(gè)成語”包括“恰好猜對3個(gè)成語”和“猜對4個(gè)成語”設(shè)“至少猜對3個(gè)成語”為事件；“恰好

12、猜對3個(gè)成語”和“猜對4個(gè)成語”分別為事件，則；所以（2）“星隊(duì)”兩輪得分之和的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，于是；的分布列為：012346的數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬中檔題（20）【2016年山東，理20，13分】已知（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明對于任意的成立解：（1）求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或，單調(diào)遞增，、單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，或，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，于是，令，于是，的最小值為；又，設(shè)，因?yàn)?，所以必有，使得，且時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；又，所以的最小值為所以即對于任意的成立【點(diǎn)評】本題考查利用

13、導(dǎo)數(shù)加以函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題（21）【2016年山東，理21，14分】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn) （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn)（i）求證：點(diǎn)在定直線上；（ii）直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）由離心率是，有，又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，于是，所以橢圓的方程為（2）（i）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，因此切線的方程為，設(shè)，將代