2016年高考山東理科數學試題及答案(word解析版)

1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）數學（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2016年山東，理1，5分】若復數滿足，其中為虛數為單位，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】設，則，所以，故選B【點評】本題考查復數的代數形式混合運算，考查計算能力（2）【2016年山東，理2，5分】已知集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由題意，所以，故選C【點評】本題考查并集及其運算，考查了指數函數的值域，考查一元二次不等式的解法，是基礎題（3）【2016年山東，理3，

2、5分】某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是，樣本數據分組為，根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（ ）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140【答案】D【解析】由圖可知組距為2.5，每周的自習時間少于22.5小時的頻率為， 所以，每周自習時間不少于22.5小時的人數是人，故選D 【點評】本題考查的知識點是頻率分布直方圖，難度不大，屬于基礎題目（4）【2016年山東，理4，5分】若變量，滿足，則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】由是點到原點距離

3、的平方，故只需求出三直線的交點，所以是最優(yōu)解，的最大值是10，故選C【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題（5）【2016年山東，理5，5分】有一個半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由三視圖可知，半球的體積為，四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為， 故選C【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據已知的三視圖，判斷幾何體的形狀 是解答的關鍵（6）【2016年山東，理6，5分】已知直線分別在兩個不同的平面，內，則“直線和直線相交”是“平面和平面相交”

4、的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由直線和直線相交，可知平面有公共點，所以平面和平面相交又如果平面和平面相交，直線和直線不一定相交，故選A【點評】本題考查的知識點是充要條件，空間直線與平面的位置關系，難度不大，屬于基礎題（7）【2016年山東，理7，5分】函數的最小正周期是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由，所以，最小正周期是，故選B 【點評】本題考查的知識點是和差角及二倍角公式，三角函數的周期，難度中檔（8）【2016年山東，理8，5分】已知非零向量滿足 ，若則實數的值為（ ）（A）4 （B）

5、 （C） （D）【答案】B【解析】因為，由，有，即，故選B【點評】本題考查的知識點是平面向量數量積的運算，向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎題（9）【2016年山東，理9，5分】已知函數的定義域為，當時，；當時，；當時，則（ ）（A） （B） （C）0 （D）2【答案】D【解析】由，知當時，的周期為1，所以又當時，所以于是，故選D【點評】本題考查函數值的計算，考查函數的周期性，考查學生的計算能力，屬于中檔題（10）【2016年山東，理10，5分】若函數的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質下列函數具有性質的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A【

6、解析】因為函數，的圖象上任何一點的切線的斜率都是正數；函數的圖象上任何一點的切線的斜率都是非負數都不可能在這兩點處的切線互相垂直，即不具有性質，故選A【點評】本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點切線方程，轉化思想，難度中檔第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2016年山東，理11，5分】執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的的值分別為0和9，則輸出的值為 【答案】3【解析】時，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時，執(zhí)行循環(huán)體后，成立；所以，故填 3. 【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)次數不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進行解答（12）【

7、2016年山東，理12，5分】若的展開式中的系數是，則實數 【答案】【解析】由，得，所以應填【點評】考查了利用二項式定理的性質求二項式展開式的系數，屬常規(guī)題型（13）【2016年山東，理13，5分】已知雙曲線，若矩形的四個頂點在上，的中點為的兩個焦點，且，則的離心率為 【答案】2【解析】由題意，所以，于是點在雙曲線上，代入方程，得， 在由得的離心率為【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用方程的思想，正確設出的坐標是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題（14）【2016年山東，理14，5分】在上隨機的取一個數，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為 【答案】【解析】首先的取值空間的長度為2，

8、由直線與圓相交，得事件發(fā)生時的取值空間為，其長度為，所以所求概率為【點評】本題主要考查了幾何概型的概率，以及直線與圓相交的性質，解題的關鍵弄清概率類型，同時考查了計算能力，屬于基礎題（15）【2016年山東，理15，5分】在已知函數，其中，若存在實數，使得關于的方程有三個不同的根，則的取值范圍是 【答案】【解析】因為的對稱軸為，所以時單調遞增，只要大于的最小值時，關于的方程在時有一根；又在，時，存在實數，使方程在時有兩個根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填【點評】本題考查根的存在性及根的個數判斷，數形結合思想的運用是關鍵，分析得到是難點，屬于中檔題 三、解答題：本大題共6題，共75分（1

9、6）【2016年山東，理16，12分】在中，角的對邊分別為，已知（1）證明：；（2）求的最小值解：（1）由得，由正弦定理，得 （2）由所以的最小值為【點評】考查切化弦公式，兩角和的正弦公式，三角形的內角和為，以及三角函數的誘導公式，正余弦定理，不等式的應用，不等式的性質（17）【2016年山東，理17，12分】在如圖所示的圓臺中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，是圓臺的一條母線（1）已知分別為的中點，求證：平面；（2）已知，求二面角的余弦值解：（1）連結，取的中點，連結，因為，在上底面內，不在上底面內，所以上底面，所以平面；又因為，平面，平面，所以平面；所以平面平面， 由平面，所以平面（2

10、）連結，以為原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，于是有，可得平面中的向量，于是得平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，設二面角為，則二面角的余弦值為【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用（18）【2016年山東，理18，12分】已知數列的前項和，是等差數列，且（1）求數列的通項公式；（2）令求數列的前項和解：（1）因為數列的前項和，所以，當時，又對也成立，所以又因為是等差數列，設公差為，則當時，；當時，解得，所以數列的通項公式為（2）由，于是，兩邊同乘以，得，兩式相減，得【點評】本題考查數列的通項與求和，著重考查等差數列

11、的通項與錯位相減法的運用，考查分析與運算能力，屬于中檔題（19）【2016年山東，理19，12分】甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響假設“星隊”參加兩輪活動，求：（1）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（2）“星隊”兩輪得分之和的分布列和數學期望解：（1）“至少猜對3個成語”包括“恰好猜對3個成語”和“猜對4個成語”設“至少猜對3個成語”為事件；“恰好

12、猜對3個成語”和“猜對4個成語”分別為事件，則；所以（2）“星隊”兩輪得分之和的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，于是；的分布列為：012346的數學期望【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，屬中檔題（20）【2016年山東，理20，13分】已知（1）討論的單調性；（2）當時，證明對于任意的成立解：（1）求導數，當時，單調遞增，單調遞減當時，當時，或，單調遞增，、單調遞減； 當時， ，單調遞增，當時，或，單調遞增，單調遞減（2）當時，于是，令，于是，的最小值為；又，設，因為，所以必有，使得，且時，單調遞增；時，單調遞減；又，所以的最小值為所以即對于任意的成立【點評】本題考查利用

13、導數加以函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，是壓軸題（21）【2016年山東，理21，14分】平面直角坐標系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點是的一個頂點 （1）求橢圓的方程；（2）設是上的動點，且位于第一象限，在點處的切線與交于不同的兩點，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點（i）求證：點在定直線上；（ii）直線與軸交于點，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標解：（1）由離心率是，有，又拋物線的焦點坐標為，所以，于是，所以橢圓的方程為（2）（i）設點坐標為，由得，所以在點處的切線的斜率為，因此切線的方程為，設，將代