初等數(shù)論知識點總結(jié)

1、精品文檔初等數(shù)論總結(jié)姓名xxx學(xué)號xxxxxxxx院系xxxxxxxxxxxxxxx專業(yè)xxxxxxxxxxxxxxx.精品文檔個人感想初等數(shù)論是一門古老的學(xué)科， 它對于數(shù)的性質(zhì)以及方程整數(shù)的解做了深入的研究，是對中等數(shù)學(xué)數(shù)的理論的繼續(xù)和提高。有時候上課聽老師講解一些例題，覺得比較簡單， 結(jié)果便是懂非懂地草草了之，但是過段時間做老師留下的一些相似的課后練習(xí)時，又毫無頭緒，無從下手。這就是上課的時候沒做到全神貫注地去聽，所以課下的時間尤為重要， 一定做好復(fù)習(xí)鞏固的工作。老師講課的方法也十分好， 每次上課都會花二十分鐘到半個小時來對上節(jié)課的知識幫助我們進行回顧，我想很多同學(xué)都喜歡并適合這種教學(xué)方式

2、。知識點總結(jié)第一章整數(shù)的可除性1.定義：設(shè) a, b 是給定的數(shù)， b0 ，若存在整數(shù) c ，使得 abc 則稱 b 整除 a ，記作 b | a ，并稱 b 是 a 的一個約數(shù)，稱 a 是 b 的一個倍數(shù)，如果不存在上述c ，則稱 b 不能整除 a2 性質(zhì)：(1) 若 b | c 且 c | a ，則 b | a ( 傳遞性質(zhì) ) ；(2) 若 b | a 且 b | c ，則 b | (a c) 即為某一整數(shù)倍數(shù)的整數(shù)之集關(guān)于加、減運算封閉。若反復(fù)運用這一性質(zhì)， 易知 b | a 及 b | c ，則對于任意的整數(shù)u, v 有 b | (aucv) 。n更一般，若 a1 , a2 , an

3、 都是 b 的倍數(shù)，則 b|(a1 a2an )?；蛑?a | bi ，則 a |ci bii1其中 ciZ,i1,2,n；(3) 若 b | a ，則或者 a0 ，或者 | a | | b | ，因此若 b | a 且 a | b ，則 ab ；(4) a, b 互質(zhì)，若 a | c,b | c ，則 ab | c ；(5) p 是質(zhì)數(shù)，若 p | a1 a2an ，則 p 能整除 a1 , a2 ,an 中的某一個；特別地，若.精品文檔p 是質(zhì)數(shù)，若 p | a n ，則 p | a ；(6)(帶余數(shù)除法 ) 設(shè) a, b 為整數(shù)， b0 ，則存在整數(shù) q 和 r ，使得 abq r ，其

4、中 0r b ，并且 q 和 r 由上述條件唯一確定；整數(shù)q 被稱為 a 被 b 除得的 ( 不完全 ) 商，數(shù) r 稱為 a 被 b 除得的余數(shù)。注意： r 共有 b 種可能的取值： 0,1 ， b 1 。若 r 0 ，即為 a 被 b 整除的情形；易知，帶余除法中的商實際上為a （不超過 a 的最大整數(shù)），而帶余除法的核bb心是關(guān)于余數(shù) r 的不等式： 0rb 。證明 b | a 的基本手法是將a 分解為 b 與一個整數(shù)之積，在較為初級的問題中， 這種數(shù)的分解常通過在一些代數(shù)式的分解中取特殊值而產(chǎn)生若 n 是正整數(shù)，則 xny n( xy)( x n 1xn 2 yxy n 2y n 1

5、) ；若 n 是正奇數(shù)，則 xnyn(xy)(xn 1xn 2 yxyn 2yn 1 ) ；（在上式中用 y代 y ）nm(7) 如果在等式aibk 中取去某一項外，其余各項均為c 的倍數(shù)，則這一項也i 1k 1是 c 的倍數(shù)；(8) n 個連續(xù)整數(shù)中，有且只有一個是 n 的倍數(shù)；(9) 任何 n 個連續(xù)的整數(shù)之積一定是 n! 的倍數(shù)，特別地，三個連續(xù)的正整數(shù)之積能被 6 整除；第二章不定方程1.定義：二元一次不定方程的一般形式是ax +by = c，其中 a,b,c 是整數(shù)2. 定理：(1) 不定方程有整數(shù)解的充要條件為(a,b) | c.(2) 設(shè)是方程的一組解，則不定方程有無窮解，其一切

6、解可表示成xx 0b1tt0, 1, 2,yy 0a1t.精品文檔其中 a1a, b1b( a, b )( a, b)3. 不定方程的解法：（ 1）觀察法：當(dāng) a,b 的絕對值較小時可直接觀察不定方程的一組特解，然后用 xx0b1t得到其所有解yy 0a1t（ 2）公式法：當(dāng) a,b 的絕對值較小時，可用公式P01, P1q1, Pkqk Pk 1Pk 2 得到特解 x 0 ( 1)n 1 Qn , y 0( 1)n Pn ，然Q00, Q11, , Qkqk Qk 1Pk 2后用公式寫出一切解。qi 為 a,b 作輾轉(zhuǎn)相除時不完全商（ 3）整數(shù)分離法：當(dāng) a,b 中系數(shù)不同時，用絕對值較小的

7、系數(shù)后的變量表示另一個變量，通過變量替換得到一個新的不定方程。 如此反復(fù)，直到一個參數(shù)的系數(shù)為 1，而得到不定方程的解。（ 4） 化為同余方程 axc(mod | b |)4.多元一次不定方程（ 1）定義：形如 a1x 1a2x 2an x nc( n2) 的不定方程多元一次不定方程1122nn(2)有解的充要條件是（ 2 ） 定 理 ： a xa xa xc n（ 3）解法：設(shè)( a1, a2 )d2 , ( d 2 , a3 )d 3 ,( d n 1 , an ) d n ，則a1x 1a2 x 2an x nc( n2) 等價于方程組a1x1a2 x2d 2t 2 ,d 2t 2a3

8、x 3d 3t 3,先解最后一個方程的解，得 t n 1 , x n 然后把其代入倒數(shù)第二d n 1t n 1an xnc個方程求得一切解，如此向上重復(fù)進行，求得所有方程的解5勾股數(shù)定義：一般地稱x2 +y2=z2 的正整數(shù)解為勾股數(shù)定理：在條件 x>0， y>0，z>0，（x，y）=1， 2x 的條件下 x2+y2=z2 的通解公式為 x=2ab ，y=a2-b 2 ，z2=a2 +b2， a>b>0 , (a ,b)=1 ，a ,b 一奇一偶.精品文檔第三章同余1. 定義：下列同余述是等價的(1)a b(modm ；)(2)存在整數(shù) q，使得 a = bqm；

9、(3)存在整數(shù) q1，q2，使得 a= q1m r ，b = q2 mr ，0 r < m2. 性質(zhì)：(1)(自反性 )aa(modm ；abm)bam(2)(對稱性 )(mod(mod);(3)(傳遞性 )ab，bc(modmac(modm。)m，則(4)設(shè)a，b，c， d 是整數(shù)，并且 ab(modm ，cd)(mod )( )acbd (mod m)( )acbdmai ，bi （(mod )都是整數(shù)，并且 xym，aibi(5)設(shè)0in）以及 x， y(modi(mod )m ，0n，則)na x inb y i(mod m).iiii003.設(shè) m 是一個給定的正整數(shù)， K r

10、r0,1,L, m1表示所有形如qmr q0, 1,2,L的整數(shù)組成的集合，則稱KL, K m 1為模 m 的剩余類0, K1,（ 1）設(shè) m 0, K 0 , K1 ,L , K m 1 是模 m 的剩余類，則（）每一整數(shù)必包含于某一個類里，而且只能包含于一個類里；（）兩個整數(shù)x, y 屬于同一類的充分必要條件是xy mod m .4. 在模 m 的剩余類 K 0 , K1,L , K m 1 中，各取一數(shù) ajC j , j0,1,L , m1，此 m 個數(shù) a0 , a1,L , am 1 稱為模 m 的一個完全剩余系（ m 個整數(shù)作成模 m 的一個完全剩余系的充分必要條件是這 m 個整

11、數(shù)兩兩對模 m 不同余）（ 1）設(shè) m 是一個正整數(shù)，a,b都為整數(shù)，a, m1，若 x 通過模 m 的一個完全剩余系，則 axb 也通過模 m 的一個完全剩余系（2）設(shè) m1 0,m2 0, m1 , m21 ，而 x1 , x2分別通過模 m1 , m2 的一個完全剩余系，則m2 x1m1x2 通過模 m1m2 的一個完全剩余系5. 歐拉函數(shù)： (m)是 1, 2, , m 中與 m 互質(zhì)的個數(shù)，稱為歐拉函數(shù)（ 1）歐拉函數(shù)值的計算公式： 若 mp 12 p n, 則 (m)m (1111p2n)(1p2)p1.精品文檔1111(1 pn )，如 30 2·3·5，則

12、(30)30(12)(13)(15) 8.（ ）若 p 為素數(shù)，則( p) p 1,k)pk 1( p1), 若 p 為合數(shù)，則 ( p) p 2,2( p（ 3）不超過 n 且與 n 互質(zhì)的所有正整數(shù)的和為 1 n (n) 2（ 4） 若 (a, b)1(ab )(a) (b), 若 a b( a)(b)（ 5） 設(shè) d 為 n 的正約數(shù)，則不大于 n 且與 n 有最大公因數(shù)d 的正整數(shù)個數(shù)為( n ) ，d同時( d)( n )nd nd nd6.歐拉定理：若am ，則 a ( m)m( ,)11(mod )a，p ，則 ap-17.費馬定理：若 p 是素數(shù)，則 apap若另上條件(1(m

13、od(mod )1p)第四章同余方程1. 定義：設(shè) f ( x ) an x na1xa0 ，aiZ , m Z，則 f ( x )0(mod m) 叫做模 m的同余方程。若 an0(mod m) ，則稱 n 為同余方程的次數(shù)。若fc)m ，則 xcm 稱為同余式的解；模m 的一個完全剩余系中(0(mod )(mod)滿足同余方程的個數(shù)稱為滿足同余方程的解數(shù)注：對模 m互相同余的解是同一個解2. 一次同余方程的一般形式為axb(mod m)， a/ 0(mod m) ，有解的充要條件是 (a,m)|b, 若有解則有 d=(a,m) 個關(guān)于模 m的解 3. 一次同余方程 axb(mod m) 的

14、解法（ 1）化為不定方程 ax+my=b( m)1（ 2）利用歐拉定理，若 (a,m)=1, 則有 axb(mod m), 兩邊同乘 a則有a ( m) xba( m) 1ma( m)1(modm，因此xba( m) 1m(mod) ，因為)(mod)（ 3）用形式分?jǐn)?shù)當(dāng)（ a，m）=1 時，若 ab1(modm)，則記 b1稱為形式分?jǐn)?shù)，根據(jù)定a(modm)義和記號， acc a1 (mod m) 有性質(zhì).精品文檔(a)ccmt1(mod m), t 1 , t 2Zaamt2(b)（ ， ） ，且 a da , cdc，則 c1cdm=111a1(mod m) 利用形式分?jǐn)?shù)的性質(zhì)a把分母變

15、成 1，從而求出一次同余式的解4. 一次同余方程組的解法定義 : 如下 (*) 稱為一次同余方程組xb1(mod m1 )xb2(mod m2 )（ * ）xbk(mod mk )有解判定定理：同余方程組（* ）有解的充要條件是 ( mi , mj ) | bibj ,ij5. 孫子定理：設(shè) m1 , m2 ,mk ，兩兩互素，則同余式 (*)組的解為xM1 M1,b1 M2M2,b2Mk Mk, bk(mod mi )m mm12mk注：若給出的同余方程組不是標(biāo)準(zhǔn)形式， 必須注意化為標(biāo)準(zhǔn)形式， 同時我們得到的有解的判別定理及求解方法都是在這一標(biāo)準(zhǔn)形式得到的6. 高次同余方程（ 1）定義：次數(shù)

16、大于1 的同余方程稱為高次同余方程f ( x )0(mod m) ， f ( x )an x na1xa0對一般模的高次同余方程我們要通過“小?！焙汀敖荡巍钡姆椒▉淼玫揭话隳５母叽瓮喾匠痰慕猓?2）小模：即把一般模高次同等方程轉(zhuǎn)化為一系列模兩兩互素的高次同余方程組注：因為 mp1p 2p k ，所以f(x)0(mod) 等價于同余方程組12kmf ( x )0(mod pii ),i1,2k ，即原方程可化為解 f ( x )0(mod p ) ，而若x 是 f ( x )0(mod p) 的解，所以理論上只要解素數(shù)模 f ( x )0(mod p) 同余方程即可（ ）降次：設(shè)p是素數(shù)， f

17、 ( x )ax na xa，是整系數(shù)多項式， 設(shè)x是3n101f ( x )0(mod p1 ) 的一個解，則有 f,0(mod p)則存在整數(shù) t使得 xx 1p1f ( x ) 0(mod p) 的( x 1 )t 是1.精品文檔解2,0(mod p ) ，則 x1，1，f ( x 1 ) 0(mod p) 且 f ( x 1 )x 1 p t ，當(dāng) t=02，P-1 時，都是 f ( x )0(mod p ) 的解7. 素數(shù)模同余方程 f ( x )0(mod p)（* ）定理：同余方程（ * ）或者有 P 個解，或者與一個次數(shù)不超過 p-1 次的素數(shù)模同余方程等價（注意：同余方程（

18、* ）的解數(shù)不超過它的次數(shù)）（ ） 是素數(shù)，對任意的x 有x p 11 ( x 1)( x 2)( x ( p 1)(mod p)1 p（ 2） p 是素數(shù)，則有 ( p1)! 10(mod p) （威爾遜定理）（ 3） np, 同余方程（ * ）有 n 個解的充要條件是存在q（x）和 r （x），使得x pxf ( x )q( x ) pr ( x ) ，r(x) 的次數(shù)小于 n第五章二次同余式和平方剩余1. 歐拉判別條件定義：m>0,(a,m)=1,若對于整數(shù)a，x 2a(mod m) 有解，則稱a是模的平方m乘余 ;否則，稱 a 是模 m的平方非乘余2.歐拉判別定理： p>2,(a,p)=1,則有p1(1)a 是模 p 的平方乘余的充要條件是 a 2p11(mod p )(2)a是模 P 的平方非乘余充要條件是 a 21(mod p)(3)a是模 p 的平方乘余 , 則 x 2a(mod p) 有兩個解3. 在模 P 的簡化系中，平方剩余和平方非剩余余各為p 1 個，且 p1 個平方22乘余分別與 1,22 , ( p 1)2 之一同余，而且僅與一數(shù)一同余24. 勒讓德符號： p 是一個給定的奇素數(shù)，對于整數(shù)a 定義勒讓德符號.精品文檔