四.隨機(jī)過(guò)程功率譜密度

1、2022-2-121隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度引言 在許多領(lǐng)域的理論與實(shí)際應(yīng)用中，廣泛應(yīng)用到傅立葉變換這一工具。一方面由于確定性信號(hào)的頻譜、線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)等具有鮮明的物理意義。另一方面，在時(shí)域上計(jì)算確定性信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)必須采用大量的卷積運(yùn)算，轉(zhuǎn)換到頻域上分析時(shí)，可以變換成簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而使運(yùn)算量大為減少，因而傅立葉變換是確定性信號(hào)分析的重要工具。 在隨機(jī)信號(hào)分析領(lǐng)域能否應(yīng)用傅立葉變換，隨機(jī)信號(hào)是否存在某種譜特征？回答是可以，不過(guò)在隨機(jī)信號(hào)情況下，必須進(jìn)行某種處理以后，才能應(yīng)用傅立葉分析這一工具。因?yàn)橐话汶S機(jī)信號(hào)的樣本函數(shù)不滿足傅立葉變換的絕對(duì)可積條件，即( )x t d

2、t 通常用信號(hào)在其定義域內(nèi)的總量來(lái)表示信號(hào)的大小，稱為信號(hào)的規(guī)范量。 一階規(guī)范量，若?？煞e，即滿足則一階規(guī)范量定義為否則定義為6.1確定信號(hào)的大小、能量和功率確定信號(hào)的大小、能量和功率( )x t dt 1( )( )x tx t dt11( )lim( )2TTTx tx t dtT確定信號(hào)的大小、能量和功率確定信號(hào)的大小、能量和功率 二階規(guī)范量，若?？煞e定義為否則定義為22( )( )x tx tdt221( )lim( )2TTTx tx tdtT向量范數(shù)向量范數(shù)定義1., xRnn中任意一個(gè)向量維向量空間對(duì)于對(duì)應(yīng)，且滿足與若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)xRx ;00,0)()1(xxRxxn且正定

3、性;,)()2(RRxxxn，齊次性.,)()3(nRyxyxyx，三角不等式.的范數(shù)為向量則稱xxTnnnxxxxCR),(,)(21設(shè)中在向量空間的范數(shù)有常用的向量 x2x2122221)(nxxx范數(shù)21xnxxx21范數(shù)1xinix1max范數(shù)pxppnppxxx121)(1,pp范數(shù)2x和1x顯然時(shí)的特例和在是21ppxp 設(shè)信號(hào)s(t)為非周期實(shí)函數(shù)，且滿足： 1) ，即s(t)絕對(duì)可積； 2) s(t)在內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)。 那么，s(t)的傅立葉變換存在，為 又稱為頻譜密度，也簡(jiǎn)稱為頻譜。 信號(hào)s(t)可以用頻譜表示為確定信號(hào)的頻譜和能量譜確定信號(hào)的頻譜和能量譜(

4、 )s t dt ( )( )j tSs t edt1( )( )2j ts tSed 信號(hào)s(t)的總能量為 根據(jù)帕塞瓦爾定理：對(duì)能量有限信號(hào)，時(shí)域內(nèi)信號(hào)的能量等于頻域內(nèi)信號(hào)的能量。即 其中 稱為s(t)的能量譜密度（能譜密度）。 有限能量信號(hào)： 是能量譜密度存在的條件221( )( )2Est dtSd2( )Es t dt2( )S2( )s t dt 樣本函數(shù)x(t)不滿足絕對(duì)可積的條件，但功率是有限的因此，可以研究隨機(jī)過(guò)程的功率譜。 樣本函數(shù)x(t)的截取函數(shù)21lim( )2TTTPx tdtT ( ) ( )0 Tx ttTx t其他隨機(jī)信號(hào)的功率截取函數(shù)的傅立葉變換截取函數(shù)應(yīng)滿

5、足帕塞瓦定理兩邊同除以2T可得1( ,)( ) ( )( ,)2j tj tXTTXXTx t edtx tXTed221( )( ,)2TXTx tdtXTd2211( )( ,)22 *2TXTx t dtXTdTT取集合平均可得隨機(jī)過(guò)程的平均功率功率譜密度2211( )( ,)22 *2TXTEx t dtEXTdTT22( ,)11lim( )lim222TXTTTEXTE xtdtdTT211lim( )( )22TXTTPE x tdtSdT21( )lim( ) 2XTTSE XT兩個(gè)結(jié)論1、隨機(jī)過(guò)程的平均功率可以通過(guò)對(duì)過(guò)程的均方值求時(shí)間平均得到。若隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)2、若隨機(jī)過(guò)程

6、廣義平穩(wěn)2( )PA E x t22( )( )PA E x tE x t1( )2XPSd21( )( )2XE x tSd 1、功率譜密度為非負(fù)的，即2、功率譜密度是的實(shí)函數(shù)。3、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是的偶函數(shù)，即( )0XS( )()XXSS2( ,)( )lim2XXTEXTST功率譜密度的性質(zhì)截取函數(shù) 為t的實(shí)函數(shù)，根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)于是4、功率譜密度可積，即( )Tx t*( ,)( ,)XXXTXT2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT( )XSd 2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT功率譜密度的表達(dá)式為其中功率譜密度可表示為2( ,)( )lim2

7、XXTEXTST( ,)( ) j tXTXTxt edt2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT1212121lim( ) ( )2TTj tj tTTTE x t x teedt dtT 1211221lim( )( )2TTj tj tTTTEx t edtx t edtT( )XS功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)由得121212( )( )( ,) , ,XE X t X tRt tTt tT21()12121( )lim( ,)2TTjttXXTTTSRt t edt dtT 1( )lim( ,)2T tTjXXT tTTSRt tdt edT 1( )lim( ,)2( ,)TjXX

8、TTjXSRt tdt edTA Rt ted對(duì)于廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程則 維納辛欽定理1( ,)( )2jXXA Rt tSed( ,)( )( ,)( )( )XXXXXRt tRA Rt tA RR( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSed雙邊帶功率譜密度：雙邊帶功率譜密度：功率譜密度分布在整個(gè)頻率軸上，稱為雙邊帶功率譜密度。單邊帶功率譜密度：?jiǎn)芜厧Чβ首V密度：功率譜密度只定義在零和正的頻率軸上，成為單邊帶功率譜密度。單邊帶功率譜密度與雙邊帶功率譜密度之間的關(guān)系為：在以后，如不加說(shuō)明，都指雙邊帶功率譜密度。0 00 )(2S)(GXX平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的對(duì)應(yīng)關(guān)系

9、：) t (XXR ( )(SXdt) t (dXtd) t (Xdnntj0e ) t (X22)(dRdXnXnndRd22)() 1(0jX)e(R)(taX)(2XRa)(2XS)(2XnS)(0S)(2XSa例例 已知零均值平穩(wěn)過(guò)程已知零均值平穩(wěn)過(guò)程X(t)的的 2426( ),( ).54XXXSRD t求與222242222222221466()54(1)(4)1466624|2,|84313XSABAB 解：| |2| |X222|0|2|0|28( ),R ( )214()(0)= 2 0=1 XXXXSeeD tRmee22| |2aaeta互譜密度互譜密度 定義兩個(gè)截取函

10、數(shù) 為 二者滿足絕對(duì)可積的條件，則( ) , ( )TTx tyt( ) ( )0 Tx ttTx t其他( ) ( )0 Ty ttTyt其他( ) ( ,)( ) ( ,)TXTYx tXTytXT聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度 定義兩隨機(jī)過(guò)程的互功率為 應(yīng)用帕塞瓦定理1( )( )( )2TXYTTTPTxt yt dtT1( ) ( )2TTx t y t dtT1( )( ) ( )2TXYTPTx t y t dtT*( ,)( ,)122XYXTXTdT 下面求平均功率 ，得平均功率互功率譜密度定義為*( ,)( ,)1( )( )22XYXYXYE XTXTA PTE PTdTT

11、*( ,)( ,)1lim( )lim22XYXYXYTTE XTXTPA PTdT*1lim( ,)( ,)2XYXYTSE XTXTT（ ）1、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)有 2、若X(t),Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，有 ( ,)jXYXYSA Rt ted-（ ）=互譜密度與互相關(guān)函數(shù)( )XYXYSR（ ） 性質(zhì)1： 性質(zhì)2：互譜密度的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。 互功率譜密度性質(zhì)互功率譜密度性質(zhì)*( )()( )()XYYXYXXYSSSSRe( )Re()Re( )Re()Im( )Im()Im( )Im()XYYXYXXYXYYXYXXYSSSSSSSS 互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)3：若X(

12、t),Y(t)互相正交，互譜密度為零 性質(zhì)4：若X(t),Y(t)是互不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，且數(shù)學(xué)期望不為零，則有性質(zhì)5：互功率譜密度性質(zhì)互功率譜密度性質(zhì)( )( )2( )XYYXXYSSm m 2( )( )( )XYXYSSS互譜密度的性質(zhì)周期圖法 本質(zhì)是從各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程功率譜定義得到的估計(jì)量，對(duì)于長(zhǎng)度為N的隨機(jī)序列X(n) 式中式中 是X(n)的N點(diǎn)DFT。 6.6 功率譜估值功率譜估值21( )( )XNSXN( )NX功率譜估值Blackman-Tukey 本質(zhì)是基于維納辛欽定理對(duì)于有限數(shù)據(jù)，譜密度估值為( )( )sj kTXXkSRk e( )( )sNj kTXXkNSRk e

13、功率譜估值算法改進(jìn) 無(wú)論周期圖法還是BT法，均為漸進(jìn)無(wú)偏，但不是一致估計(jì)量即真實(shí)譜越大的地方，也就是通常我們感興即真實(shí)譜越大的地方，也就是通常我們感興趣的地方，譜估計(jì)量方差越大，越不可靠。趣的地方，譜估計(jì)量方差越大，越不可靠。 改進(jìn)算法有改進(jìn)算法有平均法、平滑法等平均法、平滑法等2lim Var( )( )XXNSS功率譜估值 類似相關(guān)函數(shù)，在時(shí)域的高階統(tǒng)計(jì)量稱為高階累量(Cumultants)，類似于功率譜密度，在頻域高階統(tǒng)計(jì)量稱為高階譜(Polyspectra)。 對(duì)于零均值實(shí)隨機(jī)變量X1 X2 X3 X4，其對(duì)應(yīng)的二階、三階和四階累量為 若均值不為零，則用 替換 。12121231231

14、2341234123413241423Cum(,)Cum(,)Cum(,) XXE X XXXXE X X XXXXXE X X X XE X XE X XE X XE X XE X XE X XiiiXXXmiX高階統(tǒng)計(jì)量與高階譜 目前高階統(tǒng)計(jì)量用得最多的是三、四階累量。三階累積量在概率密度函數(shù)對(duì)稱的情況下為零。由于高斯變量有以下重要公式： 可知高斯過(guò)程的四階累量為零，它提供了研究隨機(jī)過(guò)程與高斯過(guò)程差異的一個(gè)度量。1234123413241423 E X X X XE X XE X XE X XE X XE X XE X X 高斯過(guò)程定義：如果對(duì)于任意時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程的任意n維隨機(jī)變量服從高斯

15、分布，則X(t)就是高斯過(guò)程。高斯過(guò)程的n維概率密度函數(shù)為： 式中m,x為n維向量 C為協(xié)方差矩陣 6.7高斯過(guò)程與白噪聲高斯過(guò)程與白噪聲1()()212121 221(,; ,)(2 )Tx mCx mnnnf x xx t tteC1n1n( )( )TTmm tm txxx1111( , )( ,)( , )( ,)XXnXnXnnCt tCt tCCt tCt t高斯過(guò)程與白噪聲高斯過(guò)程與白噪聲 廣義平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程定義：若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值和方差都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只取決于時(shí)間間隔，則稱此正態(tài)過(guò)程為廣義平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程。 性質(zhì)1：寬平穩(wěn)高斯過(guò)程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。 性質(zhì)2

16、：若平穩(wěn)高斯過(guò)程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻是不相關(guān)的，那么也一定是互相獨(dú)立的 性質(zhì)3：平穩(wěn)高斯過(guò)程與確定時(shí)間信號(hào)之和仍是高斯過(guò)程。 高斯過(guò)程性質(zhì)高斯過(guò)程性質(zhì) 性質(zhì)4：若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程在T上是均方可積的，則也是正態(tài)過(guò)程。 性質(zhì)5：若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程在T上是均方可微的，則其導(dǎo)數(shù)也是正態(tài)過(guò)程。高斯過(guò)程性質(zhì)高斯過(guò)程性質(zhì)( )( )( ,)( )( ) ( , )( ,)tabaY tXda tTY tXht da tT（1）從噪聲與電子系統(tǒng)的關(guān)系來(lái)看：v內(nèi)部噪聲：系統(tǒng)本身的元器件及電路產(chǎn)生的。v外部噪聲：包括電子系統(tǒng)之外的所有噪聲。（2）根據(jù)噪聲的分布：v高斯噪聲：具有高斯分布的噪聲。v均勻噪聲：具有均勻分布的噪聲

17、。（3）從功率譜的角度來(lái)看：v白噪聲：如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的功率譜為常數(shù)，無(wú)論是什么分布，都稱它為白噪聲。v色噪聲：功率譜中各種頻率分量的大小不同。噪聲的分類 噪聲的分類 一個(gè)均值為零，功率譜密度在整個(gè)頻率軸上為非零常數(shù)，即 的平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)(t)，稱為白噪聲過(guò)程，簡(jiǎn)稱為白噪聲。理想白噪聲 0( )2NNS 白噪聲過(guò)程白噪聲過(guò)程 利用傅立葉反變換可求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：白噪聲的相關(guān)系數(shù) 若平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)(t)在有限頻帶上的功率譜密度為常數(shù)，在頻帶之外為零，則稱N(t)為理想帶限白噪聲。理想白噪聲 0( )( )2NNR 020( )1(0)( )2( )0(0)(0)2NNNNCrN 帶限白噪聲帶限白噪聲 若白噪聲的功率譜在 內(nèi)不為零，而在其外為零，且分布均勻，其表達(dá)式為 稱這類白噪聲為低通白噪聲。 自相