第22章《相似形》復(fù)習(xí)

1、第第22章章 相似形綜合復(fù)習(xí)相似形綜合復(fù)習(xí)平行線分線段平行線分線段 成比例定理成比例定理線段的比線段的比成比例線段成比例線段比例的基本性質(zhì)比例的基本性質(zhì)推推 論論 相似三角形相似三角形相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)位似圖形位似圖形1.比例線段比例線段如果四條線段如果四條線段a,b,c,d,且且 ，則，則a、b、c、d四條線段四條線段成比例；反之成比例；反之a(chǎn)、b、c、d四條線段成比例，則有四條線段成比例，則有 。注意順序注意順序，若，若 ，則是，則是a、c、b、d四條線段成比例。四條線段成比例。):dcbadcba （或):dcbadcba （或):dbcad

2、bca （或如果如果 ，則，則a、b、c、d叫做組成比例的項，叫做組成比例的項，b、c叫做比叫做比例內(nèi)項，例內(nèi)項，a、d叫做比例外項，叫做比例外項，d叫做叫做a、b、c的第四比例項的第四比例項.):dcbadcba （或若作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段若作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段.即即 ，那么線段那么線段b叫做線段叫做線段a、c的比例中項的比例中項.):2acbcbbacbba或是（或（一）比例線段（一）比例線段1.1.下列各組線段的長度成比例的是（下列各組線段的長度成比例的是（ ）2, 3, 4, 1 B. 1.5, 2.5, 6.5, 4.5 2, 3, 4, 1 B. 1.5, 2.

3、5, 6.5, 4.5 C. 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D. 1, 2, 2, 4 C. 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D. 1, 2, 2, 4 3. 3. 已知：線段已知：線段a=2a=2，b= b= 4 ，c= c= 3 ， 求求 a a、 c c 、 b b的第四比例項；的第四比例項；請?zhí)砑右粭l線段請?zhí)砑右粭l線段x x，使這四條線段是成比例線段，使這四條線段是成比例線段, ,求求x.x.2._82._82的的比比例例中中項項是是與與線線段段的的比比例例中中項項是是與與cmcm2.比例的性質(zhì)：比例的性質(zhì)：(1)基本性質(zhì)：如果基本性質(zhì)：如果 ，那么，那么 反之也成立，即

4、反之也成立，即:如果如果 ，那么，那么 ):dcbadcba （或)0,(dbbcad)0,(dbbcad):dcbadcba （或dcbaddcbba(2)合分比性質(zhì)合分比性質(zhì):如果如果 ，那么，那么 (3)等比性質(zhì)等比性質(zhì):如果如果 = =k（b+d+n0）, 那么那么 =kdcbanmbandbmca.4.4.填空填空: :32bbabaaba（2）已知）已知 , 則則 ； .5. 若若 ,則則 . )0(753acba（1）已知）已知 4a-3b=0 , 則則 ；baabccba2323.黃金分割黃金分割:線線段段黃黃金金分分割割。把把這這條條）的的比比例例中中項項，就就叫叫做做）與與

5、較較短短線線段段（原原線線段段（）是是中中較較長長線線段段（）分分成成兩兩條條線線段段，使使其其把把一一條條線線段段（BCABACABACB618. 0215較較長長線線段段較較短短線線段段線線段段本本身身較較長長線線段段（黃黃金金比比）618. 0215ACBCABAC(),_.CABACAB=-=是線段的黃金分割點(diǎn)，較長線段251 則6.4.4.平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例L1ABCDEL2L3L2ABCDEL1L37.如圖，如圖，ABCD,AB=9,EC

6、=4,AC=6,求求CD的長的長A AD DE EB BC C1.相似三角形的定義：相似三角形的定義：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做相似三角形的相似比。 練習(xí)：練習(xí)：ABCABCABC,ABC,如果如果BC=3,BC=1.5,BC=3,BC=1.5,那么那么ABCABC與與 ABCABC的相似比為的相似比為_._.（二）相似三角形（二）相似三角形3.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法平行法平行法:判定定理判定定理1, 2, 3.

7、（AA, SAS, SSS）直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定.(HL)4.相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)1.對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。2 .對應(yīng)高線比，對應(yīng)中線比，對應(yīng)高線比，對應(yīng)中線比，對應(yīng)角平分線比對應(yīng)角平分線比等于等于相似比相似比。3.周長比等于周長比等于相似比相似比，面積比等于，面積比等于相似比的平方相似比的平方。ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)ACBDADEBCADEBCABCDEBCADE點(diǎn)E移到與C點(diǎn)重合ACB為直角為直角CDAB相似三角形基本圖形的回顧：相似三角形基本圖形的回顧：ABCD1.1.如果兩個相似圖形的每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都交于一點(diǎn)如果兩個相似圖形的

8、每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都交于一點(diǎn), , 那那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形么這樣的兩個圖形叫做位似圖形, , 這個交點(diǎn)叫做位似中心這個交點(diǎn)叫做位似中心, , 這這時兩個相似圖形的相似比又叫做它們的位似比時兩個相似圖形的相似比又叫做它們的位似比. .2.2.位似圖形有以下性質(zhì)：位似圖形有以下性質(zhì)： 位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比. 位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上3.3.位似圖形中不經(jīng)過位似中的對應(yīng)線段平行或在同一直線上位似圖形中不經(jīng)過位似中的對應(yīng)線段平行或在同一直線上. .

9、（三）位似圖形（三）位似圖形ABCABCOCCBBAAO1 1、 如圖如圖, ,已知已知:DEBC,EF AB,:DEBC,EF AB,則圖中共有則圖中共有_對三角形相似對三角形相似. .2 2、 如圖如圖, ,已知已知: :ABCABC中中, ACB=90, ACB=900 0 ,CD AB ,CD AB于于D,DEBCD,DEBC于于E,E,則圖中共有則圖中共有_個三角形和個三角形和ABCABC相似相似. .ABCDEF圖圖(1)EABCD圖圖(2)._3213組組數(shù)數(shù)為為，則則圖圖中中相相似似三三角角形形的的、如如圖圖，4 4、ABCABC中，中，AC=6AC=6，BC=4BC=4，CA

10、=9CA=9，ABCABCABCABC，ABCABC最短為最短為1212，則它的最長邊的長度為，則它的最長邊的長度為( ) ( ) A.16 B.18 C.27 D.24 A.16 B.18 C.27 D.24 A AD DB BE EC C13 32 2圖圖(3)6 6、如圖，正方形、如圖，正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為8 8，E E是是ABAB的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)M M，N N分別分別在在BCBC，CDCD上，且上，且CM=2CM=2，則當(dāng)，則當(dāng)CN=_CN=_時，時，CMNCMN與與ADEADE相似。相似。EABCDMN7 7、在平面直角坐標(biāo)系，、在平面直角坐標(biāo)系，B B（1 1

11、，0 0）, A, A（3 3，3 3）, C, C（3 3，0 0）, ,點(diǎn)點(diǎn)P P在在y y軸的正半軸上運(yùn)動，若以軸的正半軸上運(yùn)動，若以O(shè) O，B B，P P為頂點(diǎn)的三角形與為頂點(diǎn)的三角形與ABCABC相似，則點(diǎn)相似，則點(diǎn)P P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_._.yABCxOP5 5、如圖、如圖, , ABCABC中中,AB=5,AC=4,E,AB=5,AC=4,E是是ABAB上一點(diǎn)上一點(diǎn),AE=2,AE=2,在在ACAC上上取一點(diǎn)取一點(diǎn)F,F,使使A A、E E、F F為頂點(diǎn)的三角形與為頂點(diǎn)的三角形與ABCABC相似相似, ,那么那么AF=_AF=_E EA AB BC C.A AP PB BC C

12、8 8、若、若ACPACPABCABC，AP=4AP=4，BP=5BP=5，則，則ACAC=_=_，ACPACP與與ABCABC的相似比是的相似比是_，周長之比是，周長之比是_，面積之比是，面積之比是_。ABCDEF1010、四邊形、四邊形ABCDABCD中，中， ADBCADBC，ACAC、BDBD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O O，若，若AODAOD的的面積為面積為4cm4cm2 2, , BOCBOC的面積為的面積為9cm9cm2 2, , 則四邊形則四邊形ABCDABCD的面積的面積_cm_cm2 2ABCDO9 9、在平行四邊形、在平行四邊形ABCDABCD中中, ., .若若S SAEFAEF=4

13、cm=4cm2 2, ,則則S SCDF CDF = = cmcm2 232CDAE1111、如圖，、如圖，ABCABC與與ABCABC是位似圖形，且頂點(diǎn)都在是位似圖形，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則位似中心的坐標(biāo)是格點(diǎn)上，則位似中心的坐標(biāo)是 ，位似比是，位似比是 . . 1212、在方格紙中、在方格紙中, ,每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn), ,以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形三角形叫做格點(diǎn)三角形. .在如圖在如圖4 44 4的格紙中的格紙中, , ABCABC是一個是一個格點(diǎn)三角形格點(diǎn)三角形(1)(1)在右圖中在右圖中, ,請你畫一個格點(diǎn)三角形請你畫一個格點(diǎn)三角形, ,使

14、使它與它與ABCABC相似相似( (相似比不為相似比不為1)1)(2)(2)在右圖中在右圖中, ,請你再畫一個格點(diǎn)三角請你再畫一個格點(diǎn)三角形形, ,使它與使它與ABCABC相似相似( (相似比不為相似比不為1),1),但與圖但與圖1 1中所畫的三角形大小不一樣中所畫的三角形大小不一樣. .13.13.如圖如圖, ,在在ABCABC和和DEFDEF中中, A=D=70, A=D=700 0, B=50, B=500 0, E=30, E=300 0, ,畫畫直線直線a,a,把把ABCABC分成兩個三角形分成兩個三角形, ,畫畫直線直線b b , ,把把DEFDEF分成兩個分成兩個三角形三角形,

15、,使使ABCABC分成的兩個三角形和分成的兩個三角形和DEFDEF分成的兩個三角形分分成的兩個三角形分別相似別相似.(.(要求標(biāo)注數(shù)據(jù)要求標(biāo)注數(shù)據(jù)) )300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200OP1P2D1D2c1c2b1b2桌面桌面1414、如圖、如圖, ,在水平桌面上的兩個在水平桌面上的兩個“E”,E”,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P1 1,P,P2 2,O,O在一條直線上在一條直線上時時, ,在點(diǎn)在點(diǎn)O O處用處用號號“E”E”測得的視力與用測得的視力與用號號“E”E”測得的視力測得的視力相同相同. .圖中圖中b b1 1,b,b2 2,c

16、,c1 1,c,c2 2應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系? ?若若b b1 1=3.2cm,b=3.2cm,b2 2=2cm, =2cm, 號號“E”E”測試的距離測試的距離c c1 1=8m,=8m,要使測得的要使測得的視力相同視力相同, , 號號“E”E”測試的距離測試的距離c c2 2應(yīng)為多少應(yīng)為多少? ?例例1 1、如圖，、如圖，CDCD是是RtRtABCABC斜邊上的高，斜邊上的高，E E為為ACAC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，EDED交交CBCB的延長線于的延長線于F F。求證：。求證：BDCF=CDDFBDCF=CDDFC CE EA AD DF FB B例例2 2、如圖、如圖,DEBC,E

17、FAB,DEBC,EFAB,且且S SADEADE=25,S=25,SCEFCEF=36.=36.求求ABCABC的面積的面積. .A AB BC CD DE EF F25253636例例3 3、ABCABC為銳角三角形，為銳角三角形，BDBD、CECE為高為高 . . 求證：求證： ADE ADE ABC ABC 例例4 4、如圖、如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)C,DC,D在線段在線段ABAB上上, , PCDPCD是等邊三角形是等邊三角形. .(1)(1)當(dāng)當(dāng)AC,CD,DBAC,CD,DB滿足什么關(guān)系時滿足什么關(guān)系時, , ACPACPPDB.PDB.(2)(2)當(dāng)當(dāng)ACPACPPDBPDB時時, ,求

18、求APBAPB的度數(shù)的度數(shù). .ABCDP D D E E F F A A B BC C G G例例5 5、如圖、如圖, , 在在ABCABC中中,ACB= 90,ACB= 900 0，四邊形，四邊形BEDCBEDC為正方形為正方形, AE, AE交交BCBC于于F, FGACF, FGAC交交ABAB于于G. G. 求證求證: FC=FG. : FC=FG. 例例6 6、過、過ABCDABCD的一個頂點(diǎn)的一個頂點(diǎn)A A作一直線分別交對角線作一直線分別交對角線BDBD、邊邊BCBC、邊、邊DCDC的延長線于的延長線于E E、F F、G. G. 求證：求證：EAEA2 2 = EFEG .= E

19、FEG .ABCDEFG例例7 7、皮皮欲測樓房高度，他借助一長、皮皮欲測樓房高度，他借助一長5m5m的標(biāo)竿，當(dāng)樓房頂部、標(biāo)的標(biāo)竿，當(dāng)樓房頂部、標(biāo)竿頂端與他的眼睛在一條直線竿頂端與他的眼睛在一條直線 上時，其他人測出上時，其他人測出AB=4m,AC=12mAB=4m,AC=12m。已知皮皮眼睛離地面已知皮皮眼睛離地面1.6m.1.6m.請你幫他算出樓房的高度。請你幫他算出樓房的高度。A AB BC CD DEF F D QABCP1 1、如圖、如圖, ,邊長為邊長為4 4的正方形的正方形ABCDABCD中中,P,P是邊是邊BCBC上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),QPAP,QPAP交交 DCDC于于Q,Q,設(shè)

20、設(shè)BP=x,BP=x,ADQADQ的面積為的面積為y.y.(1) (1) 求求y y與與x x之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式, ,并求自變量并求自變量x x的取值范圍的取值范圍; ;(2) (2) 問問P P點(diǎn)在何位置時點(diǎn)在何位置時, ,ADQADQ的面積最小的面積最小? ?最小面積是多少最小面積是多少? ? H HP P D D E E F F G GA AB BC C2 2、如圖、如圖, ADBC, D, ADBC, D為垂足為垂足, AD=8, BC=10, EFGH, AD=8, BC=10, EFGH是是ABCABC內(nèi)接矩內(nèi)接矩形形,(H,(H、G G是是BCBC上的兩個動點(diǎn)上的兩

21、個動點(diǎn), ,但但H H不到達(dá)點(diǎn)不到達(dá)點(diǎn)B, GB, G不到達(dá)點(diǎn)不到達(dá)點(diǎn)C) C) 設(shè)設(shè) EH=x,EF=yEH=x,EF=y (1) (1)求求y y與與x x之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式, ,并求自變量并求自變量x x的取值范圍的取值范圍; ; (2) (2)當(dāng)當(dāng)EF+EH=9EF+EH=9時時, ,求矩形求矩形EFGHEFGH的周長和面積的周長和面積. .A AP PB BC CM MD DN N,的面積最大。的面積最大。何處時，何處時，在在的函數(shù)解析式，且點(diǎn)的函數(shù)解析式，且點(diǎn)與與，求，求面積為面積為高高中，中，如圖，如圖，PMNMxyyPMNxBCBMACPMABMNADBCABCD

22、 DD D D D,/,/,10,123 3、E EH HF F（2 2）設(shè)）設(shè)BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的函數(shù)關(guān)系式及自變量x x的取值范的取值范圍，并求出當(dāng)圍，并求出當(dāng)BDBD為何值時為何值時AEAE取得最小值取得最小值4 4、如圖、如圖, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,點(diǎn)點(diǎn)D D是是BCBC邊上的邊上的一個動點(diǎn)一個動點(diǎn)( (不與不與B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E E，使，使ADE=45ADE=45（1 1）求證：）求證：ABDABDDCE

23、DCE（3 3）當(dāng)）當(dāng)ADEADE是等腰三角形時，求是等腰三角形時，求AEAE的長的長A AB BC CD DE E1 1x xy y 如圖如圖, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,點(diǎn)點(diǎn)D D是是BCBC邊上的一邊上的一個動點(diǎn)個動點(diǎn)( (不與不與B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E E，使，使ADE=45ADE=45（1 1）求證：）求證：ABDABDDCEDCEA AB BC CD DE E（2 2）設(shè)）設(shè)BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的函數(shù)關(guān)系式及自變量

24、x x的取值的取值范圍，并求出當(dāng)范圍，并求出當(dāng)BDBD為何值時為何值時AEAE取得最小值取得最小值. . 如圖如圖, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,點(diǎn)點(diǎn)D D是是BCBC邊上的一邊上的一個動點(diǎn)個動點(diǎn)( (不與不與B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E E，使，使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E1 1x xy y（3 3）當(dāng)）當(dāng)ADEADE是等腰三角形時，求是等腰三角形時，求AEAE的長的長AD=AEAD=AEAE=DEAE=DEDE=ADDE=AD 如圖如圖, ,在等腰在等腰ABCAB

25、C中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,點(diǎn)點(diǎn)D D是是BCBC邊上的一邊上的一個動點(diǎn)個動點(diǎn)( (不與不與B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E E，使，使ADE=45ADE=451 y2x分類討論分類討論A AB BC CD DE E1 1x xy y5 5、如圖、如圖, ,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中,AB,ABCD,CD, A=90A=900 0,AB=2, AD=5,P,AB=2, AD=5,P是是ADAD上一動點(diǎn)上一動點(diǎn)( (不與不與A A、D D重合重合), PEBP), PEBP，PEPE交交DCDC于點(diǎn)于點(diǎn)E E（）（

26、）ABPABP與與DPEDPE是否相似？請說明理由是否相似？請說明理由；（）設(shè)（）設(shè)APAPx x，DE=yDE=y，求，求y y與與x x之間的函數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式關(guān)系式, ,并指出自變量并指出自變量x x的取值范圍；的取值范圍；（3 3）請你探索在點(diǎn)）請你探索在點(diǎn)P P運(yùn)動的過程中，四邊形運(yùn)動的過程中，四邊形ABEDABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出能否構(gòu)成矩形？如果能，求出APAP的長；如果不能，的長；如果不能，請說明理由；請說明理由；（4 4）請你探索在點(diǎn)）請你探索在點(diǎn)P P運(yùn)動的過程中，運(yùn)動的過程中，BPEBPE能否成為等腰三能否成為等腰三角形？如果能，求出角形？如果能，求出APAP

27、的長，如果不能，請說明理由。的長，如果不能，請說明理由。C CA AB BD DP PE E6 6、如圖，四邊形、如圖，四邊形ABCDABCD中中 ADBC ADBC ，ABC=90ABC=90，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=10AB=10，在，在線段線段BCBC上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P P，作射線，作射線PEPDPEPD，與，與線段線段ABAB交于點(diǎn)交于點(diǎn)E.E.（1 1）試確定）試確定CP=5CP=5時點(diǎn)時點(diǎn)E E的位置；的位置；（2 2）若設(shè)）若設(shè)CP=xCP=x，BE=yBE=y，試寫出，試寫出y y關(guān)于自關(guān)于自變量變量x x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x x的的取值范圍取值范圍. .提示：體會這個圖形的提示：體會這個圖形的“模型模型”作用，將會助你快速解題！作用，將會助你快速解題！BCADEPHCEPAD7 7、如圖，已知拋物線與、如圖，已知拋物線與x x軸交于軸交于A A、B B兩點(diǎn)，與兩點(diǎn)，與y y軸交于軸交于C C點(diǎn)點(diǎn). .（1 1）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式；（2 2）拋物線上有一點(diǎn)）拋物線上有一點(diǎn)P P，滿足，滿足PBC=90PBC