二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系

1、精心整理二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系1 .已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c （aw。）的圖象如圖，有下列 5個(gè)結(jié)論：abcv 0;3a+c> 0;4a+2b+c> 0;2a+b=0;b 2>4ac.其中正確的結(jié)論的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2 .如圖，二次函數(shù) y=ax2+ bx+c （awQ的大致圖象，關(guān)于該二次函數(shù)下列說法正確的是（）A.a>0, b<0, c>0B.b2 - 4ac< 0C.H - 1<x<2 時(shí)，y>0D.當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大3 .如圖，二次函數(shù)7二AY24hM 4圖象，過點(diǎn)A（3,

2、 0）,二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,下列結(jié)論正確的是（）A. 2a+b=0B.ac>0C.D. 一 ：4 .已知函數(shù)y=m9一6x+1 （m是常數(shù)），若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則 m 的值為（）A.9B.0C.9 或 0D.9 或 15 .如圖，二次函數(shù)y =ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸是直線x = 1,則下列理論：a<0, b <0（2） 2a -b >0 ,a+b+c>0,ab+c<0,當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小，其 中正確的是（）.A.B.C.D.6 .已知y=ax+b的圖象如圖所示，貝U y=ax2+bx的圖象有可能是（）7

3、.二次函數(shù)y=ax2+bx+c （aw0）的部分圖象如圖，圖象過點(diǎn)（-1,0）,對(duì)稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:精心整理精心整理 4a+b=0;9a+cv 3b;25a+5b+c=q當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小.其中正確的結(jié)論有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8.如下圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c （aw0）的對(duì)稱軸是直線x=-1 ,下列結(jié)論中ab>0,a+b+c>0, ?當(dāng)-2vxv0時(shí)，y<0.正確的個(gè)數(shù)是（）2 110.如圖是二次函數(shù) y=ax +bx+c（a #0 ）圖象的一部分，對(duì)稱軸為 x=一,且經(jīng)過點(diǎn)2()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

4、abc <0；a+b=0；4a+2b+c<0；若（0,y1 ）,（1,y2 ）是拋物線上的兩點(diǎn)，則（2,0）,有下列說法：yi = y2,上述說法正確的是（）A.B.C.D.11 .在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax十2與二次函數(shù)y = x2+a的圖象可能是（）A.IB.C.D.12.如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象，則點(diǎn)（a,bc）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限13.二次函數(shù)y=ax2+bx+ c（aw0）圖象上部分點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值如下表:x3-2101234y60一 4一 6一 6一 406則使y<0的x的取值范圍為精心整理14 .已知二次函數(shù)y

5、 =ax2十bx+c的圖象與X軸交于點(diǎn)（-2,0）, （x,0）,且1 c % < 2 ,與y軸 的正半軸的交點(diǎn)在（0,2）的下方.下列結(jié)論：4a2b + c = 0;a<b<0;2a + c>0; 2ab+1<0.其中正確結(jié)論有 （填序號(hào)）15 . 已知二次函數(shù) y = ax2 +bx+c 的圖象如圖所示，有以下結(jié)論： a +b +c >0 ;a b +c >1 ;abc>0 ;4a 2b + c<0 ；b-2a =0其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 （填序號(hào)）16 .如圖，二次函數(shù) y =ax2+bx+c的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點(diǎn)（一 1, 2

6、）和（1, 0）,且與y 軸相交于負(fù)半軸。給出四個(gè)結(jié)論： abc<0;2a + b>0;a + c=1;a>1,其中正確結(jié)論的序斤7精心整理參考答案【解析】由題意得：a < 0戚=1,c > 0則：h _'q.得為h廠 <。故正確；3a+c=為?卜+廠<0,故錯(cuò)誤；當(dāng) x=2 時(shí)，m > n 即 4a+2b+c> 0,故正確；由于h二？2冉，即2a+b=0,故正確；由于函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即b2>4ac,故正確.綜上所述，故選D.2. D【解析】試題分析：由拋物線開口方向得 a>0,由拋物線的對(duì)稱軸位 置得b<

7、;0,由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得c<0,于是可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行 判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)函數(shù) 圖象，利用函數(shù)圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍對(duì) C選項(xiàng) 進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的增減性可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷.解：:拋物線開口向上，a>0,;拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，b<0,;拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，.c<0,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；;拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，.=b2?4ac>0,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤； .拋物線與x軸交于點(diǎn)（？1,0）、（2,0）, 當(dāng)？1<x<2時(shí),y<0,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;,x>2在對(duì)稱軸的右側(cè)， .

8、y隨x的增大而增大，所以D選項(xiàng)正確。故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)符號(hào)的關(guān)系及二次函數(shù)的增 減性.通過分析函數(shù)圖象得出相關(guān)結(jié)論是解題的關(guān)鍵.3. A【解析】由圖象可知，拋物線開口向下，a<0;對(duì)稱軸為直線？2=1, 則b>0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，c>0,即得ac<0,選項(xiàng)B 錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為直線?、,可得2a+b=0,選項(xiàng)A正確；由對(duì)稱軸 為x=1,拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3, 0）,則，拋物線與x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1, 0）,所以x=-1時(shí)，y=a-b+c=0,選項(xiàng)C 不正確.由圖象可知，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得 滉7如9cn

9、,即 h27dH廠，選項(xiàng)D不正確，故選A.點(diǎn)睛：二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a#Q圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a< 0時(shí)，拋物線向下開口.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同 號(hào)時(shí)（即ab> 0）,對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab< 0）,對(duì) 稱軸在y軸右.（簡稱：左同右異）常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).拋物線與y軸交于（0, c）.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)， =b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交 點(diǎn)；=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)； =b2-4ac<

10、0時(shí)，拋 物線與x軸沒有交點(diǎn).4. C【解析】當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=mx2?6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí),若函數(shù)y=mx2?6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程 mx2?6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以 A=(?6)2?4m=0, m=9.綜上,若函數(shù)y=mx2?6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為0 或9.故選：C點(diǎn)睛：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)或一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，是 典型的分類討論思想的應(yīng)用.5. C【解析】根據(jù)拋物線開口向下即可得出a<0,結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸為x=1可得出b=-2a>0,錯(cuò)誤；由得出 b=-2a,將其代入2ab 可得出2a-b=

11、4a<0,錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)圖象可知當(dāng) x=1時(shí)y>0,將 x=1代入拋物線解析式即可得出a+b+c>0,正確；根據(jù)函數(shù)圖象 可知當(dāng)x=-1時(shí)，y<0,將x=-1代入拋物線解析式即可得出a-b+c<0, 正確；根據(jù)函數(shù)圖象即可得出x>1時(shí)y隨x的增大而增大，正 確.綜上即可得出結(jié)論.解：: a<0, b>0, .錯(cuò)誤.又9=1,b = 2a, 2a-b = 4a<0 . 錯(cuò)誤.2a又.當(dāng) x=1 時(shí) y>0, .a+b+CA。， 正確當(dāng) x = 1 時(shí) y<0, .ab+c<0, 二正確.又當(dāng)x>1時(shí)y隨x的增大而減小.

12、是正確.6. D【解析】試題解析：: y=ax+b的圖象過第一、三、四象限， .a>0, b<0,對(duì)于y=ax2+bx的圖象，; a>0,拋物線開口向上，/x= >0, 2a拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，: c=0,拋物線過原點(diǎn).故選D.7. D【解析】已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=*=2,可得b=-4a,即4a+b=0, 正確；由圖象可知當(dāng)x=-3時(shí)，y<0,所以9a-3b+c< 0,即9a+c< 3b,正確；已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0）,對(duì)稱軸為直 線x=2可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（5, 0）,所以25a+5b+c=0, 正確；觀察圖

13、象可知當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小，正確.故 選D.精心整理點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a？Q,二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng) a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a< 0時(shí)，拋物線向下開口； 一次項(xiàng)系數(shù) b和二 次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì) 稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab< 0）,對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù) 項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).拋物線與y軸交于（0, c）;拋物線與x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由決定， =b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)； =b2-4ac=0時(shí)，拋物線與

14、x軸有1個(gè)交點(diǎn)； =b2-4ac< 0時(shí)，拋物線 與x軸沒有交點(diǎn).8. Db【解析】, 九=h = 2閂.一分口，,工h '> n,故 正確；.當(dāng)¥二1時(shí)，廿）。，,為斗昌+。，故正確；;對(duì)稱軸是直線 x= - 1, xi=0, x2=-2, .,當(dāng)-2vxv 0時(shí)，y<0,故正確； 故選D.9. D【解析】A.由拋物線知，a<0, c>0;由直線知a>0, c<0, a的值矛盾， 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.由拋物線知，a>0, c<0;由直線知a>0, c>0, c的值矛盾，故本選 項(xiàng)錯(cuò)誤；C.由拋物線知，a>

15、0, c>0;由直線知a<0, c<0, a的值矛盾，故本選 項(xiàng)錯(cuò)誤；D.由拋物線知，a<0, c>0;由直線知 a<0, c>0,兩結(jié)論一致，故本 選項(xiàng)正確。精心整理故選D.10. A【解析】二.二次函數(shù)的圖象開口向下，a<0,;二次函數(shù)的圖象交y軸的正半軸于一點(diǎn)，c>0,二.對(duì)稱軸是直線x=l,2- 9 b _ 1,2a 2，b = ?a> 0,abc<0.故正確；:由中知b=?a? -a + b= 0,故正確；把 x=2代入 y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c,;拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2, 0）,當(dāng) x=2 時(shí)，y = 0

16、,即 4a+2b+c=0.故錯(cuò)誤；（0, y?）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（1, y?）, 2.二 y?= y?.故正確；綜上所述，正確的結(jié)論是.故選：A.點(diǎn)睛:本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意：當(dāng) a>0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，當(dāng)a< 0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口 向下.11. D【解析】:二次函數(shù)y=x2+a拋物線開口向上，排除B,:一次函數(shù)y=ax+ 2,直線與y軸的正半軸相交，排除A；;拋物線得a< 0,排除C;故選D.12. D【解析】試題分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷 a、b、c的符號(hào)，再判 斷點(diǎn)（a,bc）所在的象限.解：:拋物線開口向上，a&

17、gt;0,;拋物線對(duì)稱軸y= <0,且a>0,.b>0,;拋物線與y軸交于負(fù)半軸，c<0, bc<0,.二點(diǎn)（a,bc）在第四象限。故選D.13. -2<x<3【解析】試題解析：由表中數(shù)據(jù)可知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為（-2, 0）、 （3, 0）,畫出草圖，可知使y<0的x的取值范圍為-2<x<3.【方法點(diǎn)睛】由表中數(shù)據(jù)可知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為（-2, 0）、（3, 0）,然后畫出草圖即可確定 y<0的是x的取值范圍.觀察 二次函數(shù)的對(duì)應(yīng)值的表格，關(guān)鍵是尋找對(duì)稱點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸， 利用對(duì)稱

18、性解答.14. 【解析】由二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（？2,0）, 4a?2b+c=0,故正確；因?yàn)閳D象與 x軸兩交點(diǎn)為（？2,0）,（ xi ,0）,且1<xi<2,對(duì)稱軸x= = -2，則對(duì)稱軸？工<-2<0,且a<0,. a<b<0,由拋物線 2 2a2 2a與y軸的正半軸的交點(diǎn)在（0,2）的下方，得c>0,即a<b<c,故正確；設(shè) x2 =?2,貝U x1 x2 = & ,而 1Vxi <2,?4< x1 x <?2,?4< <?2 ,aa.2a+c>0, 4a

19、+c<0,故正確； c<2, 4a?2b+c=0, 4a?2b+2>0, 2a?b+1>0,故錯(cuò)誤；故答案為：。15. 【解析】x=1時(shí)，y<0,.a+b+c<0,錯(cuò)誤；. x = ?l 時(shí)，y>l,. .a?b+ c> 1,正確；.拋物線開口向下，a<0,;拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0, 1）,c>0,:對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，.b<0,.abc>0,正確；. x = ?2時(shí)，y>0,4a?2b+ c>0,錯(cuò)誤；.?b2a= ?1,.2a?b= 0,正確，故答案為：.點(diǎn)睛:本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋 物線的開口方向和大小，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a< 0時(shí)， 拋物線向下開口； |a還可以決定開口大小，一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系 數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置.16.【解析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的 交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)