第七章微分方程習(xí)題解答

1、第七章各節(jié)習(xí)題答案習(xí)題7-11. (1)一階 (2)一階 (3)二階 (4)一階 (5)二階 (6)二階2. 用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出，帶入方程驗證.因為中沒有任意常數(shù)，故是特解. 3. ,因為中有任意常數(shù)，故是通解.4. 通解 5. 不是解，代入可知，不滿足方程.6. 特解 7. 方法同2題，特解8. 9. 設(shè)物體的溫度,則 （ 10. 設(shè)該質(zhì)點的運動規(guī)律為，由已知得，所以 即 亦即 習(xí)題7-21. (1) (2) (3) (4) (5) 2. (1) (2) 原方程化為 ，可求得通解(3) 原方程化為 ，這是一個關(guān)于的一階線性非齊次微分方程，可以求得通解. (4) (5) 原方程化為，方法同題（

2、3），可求得通解. (6) 原方程化為，方法同題（3），可求得通解.3. (1) (2) (3) (4) (5) 習(xí)題7-31. 設(shè)曲線方程為，曲線上任意點處切線的方程為，令，得點的橫坐標(biāo)為，由得方程，解得.2. 曲線上任取點，點處切線的方程為，令，得切線在軸上的截距為，由所給條件得方程，解此方程求得曲線方程為.3. 設(shè)速度，物體所受外力（沿運動方向）有兩個，一個是重力沿斜面方向的分力，另一個是與運動方向相反的摩擦力，即外力（為重力垂直于斜面的分力即），故，由得方程.時，物體的初速度為.求初值問題：得.4. 設(shè)時刻輸入的空氣中CO2的含量為，車間的容積為30×30×6，每分

3、鐘輸入的空氣量為，由所給條件解初值問題得，將代入，求得250m3/min.5. 設(shè)時刻船速，船受到的阻力為，由得（-號表示阻力與船速方向相反），解初值問題得，將代入，求得.6. 設(shè)時刻物體溫度為，已知物體冷卻速率與物體和介質(zhì)的溫差成正比，即，由所給條件解初值問題得，10min后物體溫度降到60，代入特解可求得，設(shè)時，代入解得min.7. 設(shè)時刻電流為，由基爾霍夫第二定律可知,得通解,將初始條件時，代入，求得特解.習(xí)題7-41. 逐次積分原方程求出.2. 逐次積分原方程求出.3. 令，則，原方程化為，可求得，從而求得.4. 解法同3，.5. 令，則，原方程化為，可求得，從而求得6. 解法同5，.

4、習(xí)題7-51. 不能，因為與可合并；是通解，因為這里的與不可合并.2. 求出與，代入方程即可.3. 通解為，特解為.4. 因為，是所給方程的三個特解，所以，是對應(yīng)的齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解，故原方程的通解為.5. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 6. (1) (2)(3) (4) (5) 7. 8. 9. 自由項可以看成與之和，分別求方程與的特解，再求原方程對應(yīng)的齊次方程的通解，得所求為10. 11. 12. (1)先求質(zhì)點的運動方程設(shè)質(zhì)點的運動方程為，則加速度，由已知得，解初值問題求得(2)再求的最大值，令，得時，.13. 設(shè)潛水艇的下沉深度為,下沉速度為，潛水艇所受外力

5、有阻力（與下沉方向相反）及重力，由得，解初值問題 得.14. 設(shè)時間由到時浮筒下沉米，其浮力為，為水的比重，為筒的直徑，浮力與運動方向相反，利用得，解初值問題 得將時代入特解,有 即，故.15. 設(shè)開始時鏈條離釘子12m處的一端為原點，軸向下為正，經(jīng)過時間鏈條下滑了m.運動過程中的外力為（為鏈條的密度即單位長度上的質(zhì)量），由得方程，即解初值問題得特解為 將時，代入特解，可求得s.綜合測試題七1. (1) 不是，因為與不是線性無關(guān).(2) 是，因為代入方程滿足，且含有一個任意常數(shù).(3) , .(4) (5) 的特解為(6) 2. (1) B (2)C (3)D (4)C (5)A (6)D3. (1)× (2) × (3) ×(4) 4. (1) (2) (3) (4) (5) 5. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 原方程化為，令，則，將、代入方程，可求得.6. (1) (2) (3) 7. (1)