電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答

1、第二章 靜電場(chǎng)1. 一個(gè)半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為，電容率為。（1）計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計(jì)算自由電荷體密度；（3）計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢(shì)；（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量。解：（1）（2）（3）（4）2. 在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢(shì)：（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢(shì)差；（2）導(dǎo)體球上帶總電荷解：（1）該問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，對(duì)稱軸為通過(guò)球心沿外電場(chǎng)方向的軸線，取該軸線為極軸，球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。當(dāng)時(shí)，電勢(shì)滿足拉普拉斯方程，通解為因?yàn)闊o(wú)窮遠(yuǎn)處 ，所以 ，當(dāng) 時(shí)，所以 即： 所以 （2）設(shè)球體待定電勢(shì)為，同理可得當(dāng) 時(shí)，由題

2、意，金屬球帶電量所以 3. 均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢(shì)，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷的電勢(shì)與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。解：（一）分離變量法空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷的電勢(shì)與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加。設(shè)極化電荷產(chǎn)生的電勢(shì)為，它滿足拉普拉斯方程。在球坐標(biāo)系中解的形式為：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，為有限，。所以 ， 由于球?qū)ΨQ性，電勢(shì)只與R有關(guān)，所以， 所以空間各點(diǎn)電勢(shì)可寫成當(dāng)時(shí)，由 得： 由 得：，則 所以 （二）應(yīng)用高斯定理在球外，R>R0 ，由高斯定理得：，（整個(gè)導(dǎo)體球的束縛電

3、荷），所以 ，積分后得： 在球內(nèi)，R<R0 ，由介質(zhì)中的高斯定理得：，所以 ，積分后得： 結(jié)果相同。4. 均勻介質(zhì)球（電容率為）的中心置一自由電偶極子，球外充滿了另一種介質(zhì)（電容率為），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布。解：以球心為原點(diǎn)，的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。空間各點(diǎn)的電勢(shì)可分為三種電荷的貢獻(xiàn)，即球心處自由電偶極子、極化電偶極子及球面上的極化面電荷三部分的貢獻(xiàn)，其中電偶極子產(chǎn)生的總電勢(shì)為。所以球內(nèi)電勢(shì)可寫成：；球外電勢(shì)可寫成：其中和為球面的極化面電荷激發(fā)的電勢(shì)，滿足拉普拉斯方程。由于對(duì)稱性，和均與無(wú)關(guān)?？紤]到時(shí)為有限值；時(shí)，故拉普拉斯方程的解為：由此 （1） （2）邊界條件為： （

4、3） （4）將（1）（2）代入（3）和（4），然后比較的系數(shù)，可得：于是得到所求的解為：在均勻介質(zhì)內(nèi)部，只在自由電荷不為零的地方，極化電荷才不為零，所以在球體內(nèi)部，只有球心處存在極化電荷。所以 在兩介質(zhì)交界面上，極化電荷面密度為由于，所以5. 空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為和，球中心置一偶極子球殼上帶電，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和電荷分布。解：以球心為原點(diǎn)，以的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。在及兩均勻區(qū)域，電勢(shì)滿足拉普拉斯方程。通解形式均為當(dāng)時(shí)，電勢(shì)趨于零，所以時(shí),電勢(shì)可寫為 (1)當(dāng)時(shí)，電勢(shì)應(yīng)趨于偶極子激發(fā)的電勢(shì)：所以時(shí)，電勢(shì)可寫為 (2)設(shè)球殼的電勢(shì)為,則 (3) (4)由(3)得： ；由(4)得： ；

5、； 所以 (5) (6)再由 得： (7)將(7)代入(5)(6)得：在處，電荷分布為：在處，電荷分布為：6. 在均勻外電場(chǎng)中置入一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球（電容率為），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：以球心為原點(diǎn)，以的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)的電勢(shì)看作由兩部分迭加而成，一部分為絕緣介質(zhì)球內(nèi)的均勻自由電荷產(chǎn)生，另一部分為外電場(chǎng)及感應(yīng)的極化電荷產(chǎn)生。前者可用高斯定理求得，后者滿足拉普拉斯方程。由于對(duì)稱性，的形式為對(duì)于，當(dāng)時(shí)，由高斯定理得： ， 當(dāng)時(shí)，由高斯定理得： ， 的球外部分： （1）的球內(nèi)部分： （2）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，為有限，所以邊界條件為：時(shí)，。即：比較的系數(shù)，解得：所以 (

6、3) (4)由(1) (2) (3) (4)得:7. 在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為的液體，使其中流著均勻的電流Jf0。今在液體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為的小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和面電荷分布，討論及兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。解：本題雖然不是靜電問(wèn)題，但當(dāng)電流達(dá)到穩(wěn)定后，由于電流密度Jf0與電場(chǎng)強(qiáng)度E0成正比（比例系數(shù)為電導(dǎo)率），所以E0也是穩(wěn)定的。這種電場(chǎng)也是無(wú)旋場(chǎng)，其電勢(shì)也滿足拉普拉斯方程，因而可以用靜電場(chǎng)的方法求解。(1)未放入小球時(shí)，電流密度Jf0是均勻的，由Jf0可知，穩(wěn)恒電場(chǎng)E0也是一個(gè)均勻場(chǎng)。因此在未放入小球時(shí)電解液中的電勢(shì)便是均勻電場(chǎng)E0的電勢(shì)。放入小球后，以球心為原點(diǎn)，E0的方向?yàn)闃O軸

7、方向，建立球坐標(biāo)系。為方便起見(jiàn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。在穩(wěn)恒電流條件下，所以： (1)由(1)式可推出穩(wěn)恒電流條件下的邊界條件為: (2)設(shè)小球內(nèi)的電勢(shì)為，電解液中的電勢(shì)為，則在交界面上有： (3) (4)將及代入(1)，得：可見(jiàn)滿足拉普拉斯方程考慮到對(duì)稱性及時(shí)，球外電勢(shì)的解可寫成： (5)其中利用了?？紤]到時(shí)電勢(shì)為有限值，球內(nèi)電勢(shì)的解可寫成： (6)因?yàn)檫x處為電勢(shì)零點(diǎn)，所以，將(5) (6)代入(3) (4)得： (7) (8)由(7)(8)兩式可得: , 所以： () ()由此可得球內(nèi)電流密度:電解液中的電流密度為:(2)兩導(dǎo)體交界面上自由電荷面密度(3) 當(dāng)，即球的電導(dǎo)率比周圍電解液的電

8、導(dǎo)率大的多時(shí)， ， 所以， 當(dāng)時(shí)，同理可得：8. 半徑為的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離球心為a處（a >）置一點(diǎn)電荷，試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢(shì)，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。解：以球心為原點(diǎn)，以球心到點(diǎn)電荷的連線為極軸建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)電勢(shì)看作由兩部分迭加而成。一是介質(zhì)中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，二是球面上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生的。后者在球內(nèi)和球外分別滿足拉普拉斯方程。考慮到對(duì)稱性，與無(wú)關(guān)。由于時(shí)，為有限值，所以球內(nèi)的解的形式可以寫成 （1）由于時(shí)，應(yīng)趨于零，所以球外的解的形式可以寫成 （2）由于 （3）當(dāng)時(shí)， （4）當(dāng)時(shí)， （5）因?yàn)閷?dǎo)體球接地，所以 （6） （7）將

9、（6）代入（4）得: （8）將（7）代入（5）并利用（8）式得: （9）將（8）（9）分別代入（4）（5）得: （10）, （11）用鏡像法求解：設(shè)在球內(nèi)r0處的像電荷為Q。由對(duì)稱性，Q在球心與Qf的連線上，根據(jù)邊界條件：球面上電勢(shì)為0，可得：（解略）， 所以空間的電勢(shì)為9. 接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為和，在球內(nèi)離球心為a處(a <)置一點(diǎn)電荷。用鏡像法求電勢(shì)。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？解：假設(shè)可以用球外一個(gè)假想電荷代替球內(nèi)表面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用，空心導(dǎo)體球接地，球外表面電量為零，由對(duì)稱性，應(yīng)在球心與的連線上?？紤]球內(nèi)表面上任一點(diǎn)P，邊界條件要求： (1

10、) 式R為Q到P的距離，R為到P的距離，因此，對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有常數(shù) (2)只要選擇的位置，使，則常數(shù) (3)設(shè)距球心為b，則，即 (4)由（2）（3）兩式得: 導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)為零，由高斯定理可知球面上的感應(yīng)電荷為，分布于內(nèi)表面。由于外表面沒(méi)有電荷，且電勢(shì)為零，所以從球表面到無(wú)窮遠(yuǎn)沒(méi)有電場(chǎng)，。10. 上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷，或使具有確定電勢(shì)，試求這兩種情況的電勢(shì)。又問(wèn)與是何種關(guān)系時(shí)，兩情況的解是相等的？解：由上題可知，導(dǎo)體球殼不接地時(shí)，球內(nèi)電荷和球的內(nèi)表面感應(yīng)電荷的總效果是使球殼電勢(shì)為零。為使球殼總電量為，只需滿足球外表面電量為+即可。因此，導(dǎo)體球不接地而使球帶總電荷時(shí)，可將空間電勢(shì)

11、看作兩部分的迭加，一是與內(nèi)表面的產(chǎn)生的電勢(shì)，二是外表面+產(chǎn)生的電勢(shì)。， ； ， ；， ，所以由以上過(guò)程可見(jiàn)，球面電勢(shì)為。若已知球面電勢(shì)，可設(shè)導(dǎo)體球總電量為，則有：，即：電勢(shì)的解為：當(dāng)和滿足時(shí)，兩種情況的解相同。11. 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，并與平面相距為b（b>a），試用電象法求空間電勢(shì)。解：如圖，根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無(wú)限大接地導(dǎo)體平板和一點(diǎn)電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個(gè)模型，可確定三個(gè)鏡像電荷的電量和位置。，；，；，所以12. 有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所 圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為

12、a和b， 求空間電勢(shì)。解：用電像法，可以構(gòu)造如圖所示的三個(gè)象電荷來(lái)代替兩導(dǎo)體板的作用。13. 設(shè)有兩平面圍成的直角形無(wú)窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為的液體。取該兩平面為xz面和yz面在和兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I，求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)。解：本題的物理模型是，由外加電源在A、B兩點(diǎn)間建立電場(chǎng)，使溶液中的載流子運(yùn)動(dòng)形成電流I，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，屬恒定場(chǎng)，即，。對(duì)于恒定的電流，可按靜電場(chǎng)的方式處理。于是在A點(diǎn)取包圍A的高斯面，則，由于，所以 可得： 。同理，對(duì)B點(diǎn)有： 又，在容器壁上, ，即無(wú)電流穿過(guò)容器壁。由可知，當(dāng)時(shí)，。所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個(gè)像電荷Q，下半空間三個(gè)像電荷 -Q，容器內(nèi)的

13、電勢(shì)分布為：14. 畫出函數(shù)的圖，說(shuō)明是一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。解：（1）1）時(shí)，2）時(shí)，a) 對(duì)于，b) 對(duì)于，圖象如右圖所示。其中第一項(xiàng)為：應(yīng)用，即，可得： (x=0)同理可得另外兩項(xiàng)分別為及，所以，,即 p是一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。15. 證明：（1） ，（若，結(jié)果如何？）（2）證明：1) 顯然，當(dāng)時(shí)，成立；又所以在全空間成立。若，即，所以在全空間成立。2) 由的選擇性證明。，而 ，進(jìn)而16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢(shì)為，另外根據(jù)極化電荷公式及，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢(shì)又可表為，試證明以上兩表達(dá)式是等同的。 證明：由第一種表達(dá)式得，所以，兩表達(dá)式是等同的。實(shí)際上，繼續(xù)推演有：剛好是極化體電荷的總電勢(shì)和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢(shì)之和。17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的變化。（1）在面電荷兩側(cè)，電勢(shì)法向微商有躍變，而電勢(shì)是連續(xù)的。（2）在面偶極層兩側(cè)，電勢(shì)有躍變，而電勢(shì)的法向微商是連續(xù)的。（各帶等量正負(fù)面電荷密度±而靠的很近的兩個(gè)面，形成面偶極層，而偶極矩密度）證明：1）如圖，由高斯定理可得：，即，電勢(shì)是連續(xù)的，但是， 1 +