理學(xué)高數(shù)習(xí)題解答

1、高等數(shù)學(xué)習(xí)題解答（第二章 導(dǎo)數(shù)與微分） 惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系參考答案習(xí)題2-11. 設(shè)，試按導(dǎo)數(shù)定義求.解：2. 設(shè)（，為常數(shù)），試按導(dǎo)數(shù)定義求.解：3. 用定義證明解：f(x) .即 (cosx)=-sinx.4. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.解：5. 將一個(gè)物體鉛直上拋，經(jīng)過(guò)時(shí)間（單位：）后，物體上升高度為（單位：），試求：（1）物體在1到1+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2）物體在1s時(shí)的瞬時(shí)速度；（3）物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（4）物體在時(shí)的瞬時(shí)速度.解：（1）物體在1到1+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為（m/s）（2）物體在1s時(shí)的瞬時(shí)速度為（m

2、/s）（3）物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為（m/s）（4）物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（m/s）6. 在拋物線(xiàn)上取橫坐標(biāo)為的兩點(diǎn)，作過(guò)這兩點(diǎn)的割線(xiàn)，問(wèn)拋物線(xiàn)上哪一點(diǎn)的切線(xiàn)平行于這條割線(xiàn)，并寫(xiě)出這條切線(xiàn)的方程.解：割線(xiàn)的斜率， 令，得從而即曲線(xiàn)在點(diǎn)(2,4)的切線(xiàn)平行于該割線(xiàn)，其切線(xiàn)方程為：y-4=4(x-2),即 y-4x+4=0.7. 求曲線(xiàn)上點(diǎn)(，)處的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程.解：切線(xiàn)的斜率：，則法線(xiàn)的斜率 從而所求切線(xiàn)方程為，法線(xiàn)方程為8. 求曲線(xiàn)的通過(guò)點(diǎn)(0,-4)的切線(xiàn)方程.解：，則過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，將(0,-4)代入直線(xiàn)方程得，從而所求切線(xiàn)方程為。9. 證明：雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩

3、坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于.證明：因?yàn)?，在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，則過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程為。則該切線(xiàn)在x，y軸的截距分別為，于是切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍面積10.討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性：（1）；（2）；（3）解：（1），所以函數(shù)在處連續(xù)。 而，所以函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo). （2），而，所以函數(shù)在處連續(xù)而，所以函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo). （3），而，所以函數(shù)在處連續(xù)而，所以函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).11. 設(shè)在處可導(dǎo)，求，的值。解：要使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)，則應(yīng)滿(mǎn)足存在， ，又 ，要使存在，則，。12. 設(shè) 求，。解：13. 設(shè)所給函數(shù)可導(dǎo)，證明：(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).(2)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為周期

4、函數(shù)證明：(1)設(shè)，且可導(dǎo)，則由導(dǎo)數(shù)定義即結(jié)論可證。(2)略.14.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，在什么情況下函數(shù)|f(x)|在x=0處也可導(dǎo).解：當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則在的某一鄰域中有，故，所以在處也可導(dǎo)；當(dāng)時(shí)，由于，其中，分別在處計(jì)算左、右極限，得在處的左導(dǎo)數(shù)為，右導(dǎo)數(shù)為，所以在處也可導(dǎo)的充分必要條件。習(xí)題2-21. 推導(dǎo)余切函數(shù)與余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式解：（1）（2）。2. 證明：（1） （2）解：（1）；（2）同理可證。3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解：（1） （2） （3）從而 （4） （5） （6）= （7） （8） （9）

5、（10）4. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其中是常數(shù)）:（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解：（1）(2)(3)(4)(5)(6)(7)（8） （9）5. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1） （2）（3），求 （4）（5） （6）解：（1） （2） （3）6. 討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性.解：時(shí)，。時(shí)，時(shí)，從而，函數(shù)在x=0處連續(xù)。，。從而f(x)在x=0處不可導(dǎo)。綜合上述7. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1） （2）解：（1） （2）8. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：（1） （2） （3），于是， （4） （5） （6） （7

6、） （8）習(xí)題231. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解：（1）， （2）， （3） （4）， （5）， （6），2. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)：（1），求；（2），求.解：（1） （2）3. 驗(yàn)證函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式.解：，于是將代入得，即函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式.4. ，求.解：因?yàn)?，運(yùn)用萊布尼茨公式得.5. 設(shè)，求.解：6.求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3），求； （4）.解：（1） （2）， （3），則 （4）習(xí)題2-41.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得： 解得： （2）方程兩邊對(duì)x求

7、導(dǎo)得：，解得： （3）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：，解得： （4）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：，解得： （5）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得： 解得：2用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1） 等號(hào)兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)：（2）,等號(hào)兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)：即（3）等號(hào)兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)：，即（4），等號(hào)兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)：，即（5），等號(hào)兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)：，即3、求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：，即， 于是，即， （2）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：，即， 于是 （3）應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，得解得：，對(duì)此式再對(duì)求導(dǎo)。 （4）應(yīng)用隱函數(shù)的求

8、導(dǎo)方法，得，解得：，對(duì)此式再對(duì)求導(dǎo)4求下列參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；解：（1），于是-2 （2）5、求由下列參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）求 （2）求解：（1）， 由方程得，t=0時(shí)，y=,，=0 （2），6設(shè)（1）求；（2）證明曲線(xiàn)的切線(xiàn)被坐標(biāo)軸所截的長(zhǎng)度為一個(gè)常數(shù)解：（1） （2）過(guò)曲線(xiàn)上一任點(diǎn)（x, y）的切線(xiàn)方程為，則該切線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸的截距分別為：7證明：曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的法線(xiàn)到原點(diǎn)的距離恒等于證明：，過(guò)曲線(xiàn)上一任點(diǎn)（x, y）的法線(xiàn)方程為，即，于是，該法線(xiàn)到原點(diǎn)的距離為：8溶液從深15cm，頂直徑12cm的正圓錐形漏斗漏入一直徑為10cm的圓柱形容器中，開(kāi)始時(shí)漏斗中盛滿(mǎn)了

9、溶液。已知當(dāng)溶液在漏斗中深為12cm時(shí)，其液面下降的速率為。問(wèn)這時(shí)圓柱形容器中液面上升的速率是多少？解：設(shè)在時(shí)刻t漏斗中溶液的深度為，液面半徑為r，圓柱形容器中溶液的深度 為。由，得，依題意 ， 即， 從而， 又當(dāng)時(shí)，得。 答：圓柱形容器中液面上升的速率為。習(xí)題 2-51單項(xiàng)選擇題：（1）設(shè)可微，則=（ ）； A、； B、； C、； D、.（2）函數(shù)在點(diǎn)處可微，則當(dāng)很小時(shí)，（ ）； A、； B、； C、； D、.（3）設(shè)為自變量，當(dāng)，時(shí)，=（ ）； A、0.3； B、0； C、0.01； D、0.03.（4）=（ ）； A、； B、； C、； D、.（5）將半徑為的球體加熱，如果球半徑增加，則

10、球體積的增量（ ）. A、； B、； C、； D、.解：（1）（C ）；（2）（D ）；（3）（A）；（4）（D）；（5）（B）；2已知，在時(shí)，計(jì)算當(dāng)分別等于0.1，0.01時(shí)的和.解：=0.1，時(shí)=1.161，=1.1；= 0.01時(shí)，=0.110601，=0.11.3函數(shù)在點(diǎn)處有增量，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量的線(xiàn)性主部等于0.8，求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：依題意：4求下列函數(shù)的微分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； (8) ；（9）； （10）.解：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； (8) ；（9）； （10）5將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi)，使等式成

11、立：（1）( )=； （2）( )=；（3）( )=； （4）( )=；（5）( )=； （6）( )= .解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）.6當(dāng)很小時(shí)，證明：（1）； （2）.證明：略。7利用微分求近似值：（1）； （2）； （3）； 解：（1）；（2）；（3）8某工廠(chǎng)每周生產(chǎn)件產(chǎn)品所獲得利潤(rùn)為萬(wàn)元，已知，當(dāng)每周產(chǎn)量由100件增至102件時(shí)，試用微分求其利潤(rùn)增加的近似值.解： 由題知，求因?yàn)椋ㄈf(wàn)元）.即每周產(chǎn)量由100件增至102件可增加利潤(rùn)約16萬(wàn)元本章復(fù)習(xí)題A一.選擇題1.設(shè)，則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為( )(A) 存在. (B) 存在.(C) 存在. (D) 存在2.設(shè)

12、，則使存在的最高階數(shù)為( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.3.設(shè)函數(shù)，則在內(nèi) ( )(A)處處可導(dǎo) (B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C) 恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).4.函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )(A)3 (B) 2 (C)1 . (D) 05.若函數(shù)有，則當(dāng)時(shí),該函數(shù)在處的微分是 ( )(A) (B) (C) . (D)6.在處存在左、右導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)( )(A) 可導(dǎo) ( B ) 連續(xù). ( C ) 不可導(dǎo). ( D ) 不連續(xù).7.設(shè),則(A)在處必可導(dǎo)且 (B)在處必連續(xù),但未必可導(dǎo).(C)在處必E有極限但未必連續(xù). (D) 以上結(jié)論都不對(duì).8.設(shè)可導(dǎo)，

13、且滿(mǎn)足則曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為：(A)2. (B). (C). (D) 參考答案1. 解法一：當(dāng)時(shí)，關(guān)于( A )：由此可知若在點(diǎn)可導(dǎo)成立，反之若(A)成立成立，不能成立，如滿(mǎn)足(A)但不存在關(guān)于(D)：若在點(diǎn)可導(dǎo)成立，反之(D)成立，不能在連續(xù)，因而不能在處可導(dǎo)，如滿(mǎn)足(D)，但不存在再看( C )：(當(dāng)它們都時(shí))注意：易求得因此，若成立反之若( C )成立不能(即)，因?yàn)橹灰薪?，仍? C )成立如滿(mǎn)足(C)但不存在因此只能選( B )解法二：直接考慮( B )因此 應(yīng)選取( B ) 2. 解因?yàn)樘幪幦我怆A可導(dǎo)，只需考查，它是分段函數(shù)，是連接點(diǎn)又 即 同理可得 ，即；因在處不可導(dǎo)不存在.應(yīng)

14、選 (C) 3. 解討論函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)，應(yīng)分兩步走，(1)由求得的(分段)表達(dá)式，(2)討論的不可導(dǎo)點(diǎn).應(yīng)選 ( C )當(dāng)時(shí)，命取極限，得當(dāng)時(shí)，命取極限，得于是再討論的不可導(dǎo)點(diǎn)按導(dǎo)數(shù)定義，易知處，不可導(dǎo)，故選( C ) 4. 解當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對(duì)值號(hào)時(shí),就有可能出現(xiàn)不可導(dǎo)的”尖點(diǎn)”.因?yàn)檫@時(shí)的函數(shù)是分段函數(shù).,當(dāng)時(shí)可導(dǎo),因而只須對(duì)考察是否可導(dǎo).在這些點(diǎn)我們分別考察其左、右導(dǎo)數(shù)。因即在處可導(dǎo)，又所以在處不可導(dǎo).類(lèi)似,函數(shù)在處亦不可導(dǎo),因此只有2個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn),故應(yīng)選 ( B ).（5）解：依題意： 故，選（A）（6）解：選（B）（7）解：選（D）（8）解：選（B）二. 填空題1.設(shè)函數(shù)處處可導(dǎo)，且有，

15、并對(duì)任何實(shí)數(shù)和，恒有，則_2.設(shè)在處可導(dǎo)，則.3.已知函數(shù)由方程確定，由 .4.曲線(xiàn)上與直線(xiàn)垂直的切線(xiàn)方程為5.設(shè)函數(shù)由方程所確定,則6.設(shè),則.7.若，則參考答案：1解：令h=0得f(0)=0,2解：=3解： 方程兩邊對(duì)兩次求導(dǎo)得以代入原方程得，以代入前方程得，再以代入后方程得 4解：依題意得，x=1, y=0,于是所求法線(xiàn)方程為：y=x+1. 5解：對(duì)x求導(dǎo)得：則 于是6解：，對(duì)x求導(dǎo)得：， 從而 7解：，則，三. 解答題試從導(dǎo)出：(1) ； (2) 證明 (1) ；(2) =.求下列函數(shù)所指定的階的導(dǎo)數(shù)：(1) 求 ； (2) 求；(3) 求 解 (1)(2)(3) 3用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列

16、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) 解：（1）等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)得：，再對(duì)x求導(dǎo)得：，整理得： （2）等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)得：，再對(duì)x求導(dǎo)得：，整理得：4設(shè)其中三階可導(dǎo)且，求，.解：由參數(shù)方程求導(dǎo)法則，得，從而，5設(shè)，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并討論的連續(xù)性解：解 當(dāng)時(shí)，,故；當(dāng)時(shí)，,故當(dāng)時(shí),故在處可導(dǎo),且綜上所述有 顯然，因此，在處連續(xù)，進(jìn)而易知在上連續(xù)本章復(fù)習(xí)題B一、單選題1. 函數(shù)在x=1處（）不連續(xù)連續(xù)但不可導(dǎo)可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)2. 設(shè)函數(shù)由所確定，（）3. 設(shè)在內(nèi)有定義，且，則必是的（）間斷點(diǎn)連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)，且可導(dǎo)點(diǎn)，且4. 函數(shù)在處（）左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)存在左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在左導(dǎo)數(shù)不存在，

17、右導(dǎo)數(shù)不存在左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在5. 曲線(xiàn)上點(diǎn)（1，0）處的切線(xiàn)與軸的交角為（）/2 /3/4 /66. 設(shè)周期為4的函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為（）7. 設(shè)滿(mǎn)足，且，其中為非零常數(shù)，則= （）8. 設(shè)其中在處可導(dǎo)，則（）（A）連續(xù)點(diǎn)； （B）第一類(lèi)間斷點(diǎn)；（C）第二類(lèi)間斷點(diǎn)；（D）連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)不能由此確定。9. 其中是有界函數(shù)，則在處（）（A）極限不存在；（B）極限存在但不連續(xù)；（C）連續(xù)但不可導(dǎo)；（D）可導(dǎo)。10. 設(shè)，則（）（A）處處不可導(dǎo)； （B）處處可導(dǎo)；（C）有且僅有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)； （D）有且僅有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。11. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量x在處取得增量時(shí)，相應(yīng)的函

18、數(shù)增量的線(xiàn)性主部為，則（） （A）； （B）； （C）； （D）。12. 設(shè)，則使存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n為（）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。13. 函數(shù)在處（）。不連續(xù)，不可導(dǎo)不連續(xù)，可導(dǎo)連續(xù)，不可導(dǎo)連續(xù)，可導(dǎo)14. 設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則在點(diǎn)處可導(dǎo)的一個(gè)充要條件是（）存在。(A) (B)(C) (D) 15. 若f(x)的導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，且，則（）。(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3參考答案：一、選擇題 1、(B)； 2、(C)；3、(C)；4 (B)；5 (C)；6 (D)； 7(C); 8、(B) 9、（D）;10 、（C）;11、(D) ；12、(C); 13、（C）；14、（D）；15、