2.2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(定型)

1、223等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一、教學(xué)目標(biāo)1掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；2掌握推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及過程中的數(shù)學(xué)思想方法；3能運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決簡單的實(shí)際問題 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：在等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中體會倒序相加的方法三、教學(xué)方法與手段1通過對具體問題的抽象，將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生體會化歸思想2采用由特殊到一般的教學(xué)策略 利用類比、化歸、數(shù)形結(jié)合、方程的思想，層層深入， 通過學(xué)生自主探究、分析、整理出推導(dǎo)公式的思路3借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，師生互動四、教學(xué)過程【師】很快樂今天可以和大家共同走

2、進(jìn)?等差數(shù)列的前n項(xiàng)和?的學(xué)習(xí)首先請大家回顧以下幾個問題：一復(fù)習(xí)回憶：等差數(shù)列/中1. 定義是什么？2通項(xiàng)公式是什么？3.假設(shè) m n -p q，貝U am aap aq 二問題情境：【師】其實(shí)，早在一千多年之前，我國古代數(shù)學(xué)家張丘建在他的著作中就曾涉及到與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題，今天我們就一起來感受一下古人的智慧，書中有這樣一道題：【P】今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以此與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？-?張丘建算經(jīng)?【師】哪位同學(xué)來幫我翻譯一下，好，就語文課代表吧!【生】譯文大致為：今天有人來給錢，第一個人給一錢，第二個人給兩錢，第三個人給 三錢，以此類推，一

3、百個人總共給多少錢？【師】總錢數(shù)該如何計(jì)算呢?【生】總錢數(shù)為 1+2+3+4+98+99+100= ？【師】顯然這是一個以 1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列的前 100項(xiàng)之和三知識建構(gòu):【師】為了研究方便，我們引入符號Sn表示數(shù)列:an /的前n項(xiàng)和即Sn = q a?a.顯然，每給定一個 n，都有唯一的一個 Sn與之對應(yīng)這節(jié)課我們主要來研究一下等差數(shù) 列的前n項(xiàng)和所以，情景中的問題化歸為：問題 1 求 00=1+2+3+4+ +98+99+100= ?的值.【板】 編0=1+2+3+4+ +98+99+100【師】究竟如何快速的求出這個和呢？【生】1 100=2 99 = 3 98 二 =50

4、51【師】很好，你的想法和高斯的想法如出一轍高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，并有“數(shù)學(xué)王子之稱.他在很小的時候就可以用剛剛這位同學(xué)的方法來解決這個問題他發(fā)現(xiàn)：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+ 100 = 101,第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：2+ 99 = 101,第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3+ 98 = 101,第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50+ 51 = 101,于是所求的和是：101X50= 5050.S00=1 2 3 | 川丨 100 =5050.【師】兩兩配成101，共50對.即總錢數(shù)為5050.高斯讓數(shù)列中首尾對應(yīng)項(xiàng)配對，目的是將不同數(shù)的求和運(yùn)算化歸為相同數(shù)的乘積運(yùn)算，使問題大大簡化我們稱這種方法為首尾配對法

5、但是既然是配對，更適合于解決偶數(shù)項(xiàng)求和問題，對于奇數(shù)項(xiàng)求和呢？問題 2:計(jì)算$01 =1 11 100 101 .【板書】S =12山100 101【設(shè)計(jì)意圖】以我國歷史上的?張丘建算經(jīng)?中的一個問題作為引入，使學(xué)生了解我國 的數(shù)學(xué)史，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，通過高斯算法計(jì)算從 1到100這連續(xù)100個自然數(shù)的和引出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)；【師】哪位同學(xué)來答復(fù)一下？S101 =1 2 山 100 101方法 1: S101 =(1 299 100)101 =000 101 =5151【師】哎，你很聰明啊，善于運(yùn)用已有的知識來解決問題.不錯，請坐！【師】這種方法相當(dāng)于將需要求和的尾項(xiàng)101先去掉，

6、再對前100項(xiàng)利用首尾配對法進(jìn)行求和，實(shí)現(xiàn)化異為同，然后再加上尾項(xiàng)，從而求解001 .我們可以稱這種減掉“尾項(xiàng)的方法為減項(xiàng)法還有其他方法嗎？【師】 方法2： S101=1 (2|1 丨 100 101)=1(2 101) (3 100(11(51 - 52)=1 103 50 =5151【師】類比于減去尾項(xiàng)，我們還可以通過減去首項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)減項(xiàng)還有其他方法嗎？【師】無論減首項(xiàng)還是去尾項(xiàng)，目的都是化奇數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)我們除了可以通過減項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)這個目的，還可以進(jìn)行添項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)化奇為偶.如：【生】可以在后面添一項(xiàng)102【師】 方法 3: Soi 二(1 2 101 102) -102=(1 102)(2101

7、)(5152) _102 =5151【師】當(dāng)然，也可以在前面添上一項(xiàng)0實(shí)現(xiàn)化奇為偶方法4： S101 =0 12 山 100 101=(0 101) (1 100)(|(50 51)=101 51 =5151.請大家思考：幾種方法的共同點(diǎn)是什么？【生】先將奇數(shù)項(xiàng)化歸為偶數(shù)項(xiàng)，再化不同為相同【師】還有其它方法嗎？.并指出無論是將奇 如果沒有，那么【師】好,如果將項(xiàng)數(shù)推廣到一般(如果有人使用了倒序相加，那么需要板書過程到黑板上(副黑板) 數(shù)項(xiàng)化歸為偶數(shù)項(xiàng)還是這種方法， 本質(zhì)上都是通過配對來化異為同; 先這樣！)現(xiàn)在我們已經(jīng)可以求解 1,2這兩個特殊的等差數(shù)列求和問題了，的情況呢?【設(shè)計(jì)意圖】高斯算

8、法的再應(yīng)用.通過類比對一個連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)和的求和，引導(dǎo)學(xué)生對連 續(xù)奇數(shù)項(xiàng)和的求解問題的思考.通過學(xué)生提出的多種配對方案讓學(xué)生更進(jìn)一步理解首尾配對 的思想，為問題 3需要對n的奇偶的討論埋下伏筆，也為后面倒序相加法的使用做出鋪墊問題 3:計(jì)算 Sn =1 2 3 *川|) (n -1) n .【師】請同學(xué)們分組討論，研究一下這個問題？(最多 5分鐘)【板】Sn =123(n -1) n【設(shè)計(jì)意圖】先讓學(xué)生思考，找到矛盾的碰撞點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生采用分類討論的方法按照n的奇偶進(jìn)行討論，找出結(jié)果 .在此過程中發(fā)現(xiàn)n的奇偶對結(jié)果并沒有影響，從而尋求更簡捷 的推導(dǎo)方法.【師】好，時間到，哪一小組先來分享一下呢？【生

9、】對n按奇偶進(jìn)行討論，然后發(fā)現(xiàn)無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，結(jié)果都是 KD.2【師】還有其它做法嗎？(1)如果有人用倒序相加法：(如果是第一次出現(xiàn)這個方法，應(yīng)該板書過程，課件點(diǎn)太陽； 否那么，不板書.)【師】兩種方法都很好，大家覺得哪個方法更加簡潔呢？【生】黑板上這個.【師】嗯，這個方法確實(shí)不錯 .你是怎么想到的呢？【生】老師講過.【師】其實(shí)很多抽象的數(shù)學(xué)問題都可以借助于圖形來輔助說明(2)如果沒有人提出倒序相加，那么教師提示.)【師】既然結(jié)果與n的奇偶無關(guān)，我們能否找到更為簡單的方法，不討論奇偶，直接求解Sn呢？其實(shí)，很多抽象的數(shù)學(xué)問題都可以借助于圖形來輔助說明.)【師】我們將小圓點(diǎn)排成三角形 .每

10、個小圓點(diǎn)對應(yīng)1，第一行對應(yīng)1，第2行對應(yīng)2,以 此類推，第n行對應(yīng)n.那么組成三角形的圓點(diǎn)個數(shù)即為sn.如何快速求出圓點(diǎn)的個數(shù)呢？【生】。.沒有討論n2【師】將圖形復(fù)制并倒置，拼成一個平行四邊形，每行共有n+1個小圓點(diǎn)，共n行,所以這個平行四邊形就含有n(n 1)個小圓點(diǎn)，所以一個圖形中就含有的奇偶并成功算出了 Sn.(引導(dǎo)學(xué)生自主找到每一個關(guān)鍵的量.)解：【師】整個過程共分兩步：1.倒置配對；2. 拼補(bǔ)求同.(1)如果前面已經(jīng)提出了倒序相加法：【師】這個過程的符號語言就是剛剛這位同學(xué)展示的方法！即這個方法也要分兩它既避開了對項(xiàng)數(shù)奇是解決等差數(shù)列前 n項(xiàng)【師】“1.倒置配對對應(yīng)“倒序 ；“2拼

11、補(bǔ)求同對應(yīng)“相加步完成：先倒序；再相加于是，我們給它起個名字叫“倒序相加法 偶的討論，又可以實(shí)現(xiàn)化異為同，使用起來比首尾配對法更加方便 和問題中非常重要的一種方法(2)如果沒有人提出倒序相加:【師】那么如何用符號語言來描述這種方法呢？展示投影.)Sn =12 3 |1|1| - (n 一1) nSn =n(n -1)3 2 12Sn -(1 n廠 1.2 (n -1)川|l|(n 1)共 n 項(xiàng)Sn =乜9倒序相加2【師】整個過程也分 2步完成：先倒序，再相加！我們稱這種方法為倒序相加法，它既避開了對項(xiàng)數(shù)奇偶的討論，又可以實(shí)現(xiàn)化異為同，使用起來比首尾配對法更加方便是解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和問題中非

12、常重要的一種方法【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化倒序相加法的理解和運(yùn)用，由特殊到一般，為等差數(shù)列求和打下根底【師】對于更一般的等差數(shù)列求和，這種方法是否仍然適用呢？請大家在練習(xí)本上嘗試推導(dǎo)一下！(讓學(xué)生來說方法的具體過程 .)【生】問題4：求& =印a2 a3 川lan=4 a2 an(1)S n=an 山川 a2 a1(2)25 % -an) - (a2 amMH (an，aja1 an = a2 and 二 二務(wù) a1由(1)+ (2)可得 2Sn = n(a1 an)-公式1n(a1 an)【師】仍然使用倒序相加法但是相加之后每個括號中的表達(dá)式有什么關(guān)系呢？【生】相等【師】為什么呢？【生】根據(jù)上節(jié)課學(xué)習(xí)

13、的性質(zhì)：假設(shè)mn = pq，那么am ap a,.【師】很好，那我們用哪一項(xiàng)來表示呢？【生】用a1 an來表示.它更具有代表性，首項(xiàng)和尾項(xiàng) 【師】很好！所以得到Sn二n(ai an).2【師】這就是等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式.【板】Sn(倒序相加法)在這個公式中涉及到哪些量呢？2【生】有a1,an,n .【師】好，可是在等差數(shù)列中，往往a1和d，能否用這兩個量來表示公式呢？【生】可以，只需將an =a1 (n-1)d代入公式1即可得：n(n 1) Sn =naid2【師】這個公式中涉及到哪些量呢？【生】n,ai，d .于是我們就得到了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的兩種形式，為了區(qū)別開來，我們將它們編號為

14、1和2.【師】能否避開公式1，直接推導(dǎo)出公式2呢？我們回到Sn最初始的表示：Sn二aia2 an.請大家從這里出發(fā)在練習(xí)本上試試看(最多2分鐘.)【生】可以考慮將數(shù)列各項(xiàng)都用a1和d來表示.【P】Sn (a1 d)佝 2d)川 h (n - 1)d I二n印 12 *l|(n - 1)d,n(n 1)二 na1d2【師】對于12(n -1)這個表達(dá)式，我們該怎么處理呢？剛剛我們已經(jīng)推導(dǎo)過1 2 IHKn -1) n1，運(yùn)用函數(shù)的思想可以將上式看做一個特殊的函數(shù)f (n)，而這里相當(dāng)于f (n -1).只需將結(jié)論中的n換成n-1，可得12 3HIII) n (二彈？ 1公式 2 得證.2【設(shè)計(jì)意

15、圖】學(xué)生在前面的探究根底利用倒序相加法推導(dǎo)出一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1,利用簡單的代入實(shí)現(xiàn)公式 2的引出，并引導(dǎo)學(xué)生尋求新的方法證明公式2,從而完成本節(jié)課的中心任務(wù)在這個過程中放手讓學(xué)生自主推導(dǎo)，同時也復(fù)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和 根本性質(zhì).【師】接下來我們從形的角度分別對兩個公式加以理解： 首先從公式1的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來看，大家是否覺得似曾相識呢？【生】梯形面積公式【師】很好，上底ai，下底an,高為n .我們不妨就用梯形來表示 Sn,要注意的是：與前面不同，這里我們用第一行小圓點(diǎn)整體代表a1，第二行整體代表a2 第n行整體代表務(wù)，那么Sn仍然為梯形中所包含的小圓點(diǎn)之和 拼成平行四邊形后，每一行都有

16、a! - an個小圓點(diǎn)，那么一個梯形所包含的小圓點(diǎn)個數(shù)為n(ai an)2公式1的文字語言：項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)+末項(xiàng)2即：用公式1來求和就要抓項(xiàng)數(shù)、首項(xiàng)、末項(xiàng)這3個量.井朋咸一牛燈詛町亂一牛三山影卜【師】公式2:如何在這個梯形中出現(xiàn)nai呢？第一行拿出一個 ai ；第二行是a2，拿出一個q，剩下一個d ；第三行是a3拿出一個ai，剩下兩個d ;以此類推，第n行拿出一 個ai，剩下n-1個d 這樣.梯形就被分割成一個平行四邊形和一個三角形，平行四邊形中產(chǎn)生了 n個ai，而三角形中產(chǎn)生了 i 2 3 川H n -i個d，即巴個d，這樣，我們就2從形的角度認(rèn)識了公式 2.公式2的文字語言：項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)+項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)-

17、i公差.2即:用公式2來求和，要抓項(xiàng)數(shù)、首項(xiàng)和公差這3個量.【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生類比聯(lián)想，拓展思維，增加興趣，強(qiáng)化記憶并與前面公式的兩種形式做出了照應(yīng)：“補(bǔ)的方法對應(yīng)公式 i ； “割的方法對應(yīng)公式 2.從形上對兩個再區(qū) 分，為下面公式的簡單應(yīng)用做鋪墊 【師】下面請大家嘗試?yán)霉絹斫鉀Q兩個簡單的問題！四典例分析：例i在等差數(shù)列aj中，1 ai =3,a5o =iOi,求S50；12 at =3,d,求So2【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生能夠選擇適當(dāng)?shù)墓?，熟悉并?qiáng)化公式的理解和應(yīng)用【師】好，這位同學(xué)你來說說第i題怎么做；后面的同學(xué)你來說說問題2怎么解決？【師】好，不錯！變式：對以下等差數(shù)列求和：i,3,

18、5 ii ；2 2,4,6 2n.【師】下面請大家拿出練習(xí)本做一下這道題，請一位同學(xué)到黑板上板演這里設(shè)置的超鏈接，看時間來定是否安排這道題課堂小練超鏈接：等差數(shù)列an沖，an =2n i.1求 Sn ；2求 a2 a 亠 a8.【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化等差數(shù)列中根本量的運(yùn)算 .讓學(xué)生在自己動手解決問題的過程中靈活應(yīng)用等差數(shù)列求和公式的兩個根本形式五歸納總結(jié) ：活潑課堂氣氛，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)言，培養(yǎng)總結(jié)和表達(dá)能力1一種方法：倒序相加法；2 兩個公式：Sna1 an ；nai 衛(wèi)日4 ；2 23多種思想：由特殊到一般的思想、化歸的思想、類比的思想、分類討論的思想、 數(shù)形結(jié)合的思想.【師】好，下面我們來一起回憶一下本節(jié)課都學(xué)習(xí)了那些知識？【生】兩個等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式.【師】好，在使用時要注意兩公式的區(qū)別 .對于公式1，我們是使用什么方法推導(dǎo)的呢？【生】倒序相加法.【師】很好，這種方法是解決等差數(shù)列求和問題中非常重要的一種方法！【師】在整個學(xué)習(xí)過程中，我們都涉及到了哪些數(shù)學(xué)思想呢？【生】類比的思想，由特殊到一般的思想，分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的 思想.本節(jié)課上，我們班的很多同學(xué)都展現(xiàn)了數(shù)學(xué)方面的才能.希望大家能夠以本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識與方法為契機(jī)，更進(jìn)一步的去研究并揭秘?cái)?shù)列的本質(zhì)，也更加熱愛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)我相信