2016年上海高考數(shù)學(xué)(理科)真題含解析

1、2021年上海高考數(shù)學(xué)理科真題一、解答題本大題共有 14題，總分值56分1.設(shè)x R，那么不等式|x 31的解集為【答案】2,4【解析】1x31，即2x4，故解集為2,43 2i2設(shè)z，其中i為虛數(shù)單位，那么i【答案】3【解析】z i32i2 3i，故Imz3. I1： 2x y 10, I2: 2x y 10,【答案】2、55【解析】d112,5J26. 如圖，在正四棱柱 ABCD AB1C1D1中，底面ABCD的邊長為3, BD1與底面所成角的大小為 arctan , 125Im z 3那么11,12的距離為那么該正四棱柱的高等于 【答案】2 2【解析】BD 3.2 , DD1 BD -

2、2 23DCi/1 11 於一hX/ 4. 某次體檢，6位同學(xué)的身高單位：米分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 米【答案】1.765. 點(3,9)在函數(shù)f(x) 1 ax的圖像上，貝V f (x)的反函數(shù)f 1(x) 【答案】log2(x 1)【解析】a 19，故a 2, f(x) 12x x log2(y 1)f 1(x) log2(x 1)7.方程3sinx 1 cos2x在區(qū)間0,2 n上的解為【答案】n 5 nx ,6 6【解析】23sin x 2 2sin x ,即22sin x 3sin x 2 0/ (2sin x 1)(s

3、in x2)0. 1 sin x -2.n 5 n-x ,6 6n8在 VX 2 的二項式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256 ,那么常數(shù)項等于x【答案】112【解析】2n 256, n 88 r8 4r通項 c8 X丁 ( -)r C；( 2)r xX取r 2常數(shù)項為Cg( 2)21129. ABC的三邊長為3,5,7，那么該三角形的外接圓半徑等于 【答案】7 . 332 2 2【解析】a 3,b5,ca b c7 , cosC -12ab2二 sinC乜2c7-32sin C3ax y 1b的取值范圍是10.設(shè)a 0,b 0,假設(shè)關(guān)于x,y的方程組J彳無解，那么ax by 1【答案】(2,)

4、【解析】由，ab 1,且a b , a b 2 . ab 2Sn為an的前n項和，假設(shè)對任意nN* , Sn 2,3,貝y k的最大12.在平面直角坐標(biāo)系中， A(1,0) ,B(0, 1), P是曲線 y1是【答案】0,12【解析】設(shè)P(cos ,sin )1j,0, n , BA (1,1), BP (cos ,sinBP BA cossin12 si n(上)10,1211.無窮數(shù)列an由k個不同的數(shù)組成,值為【答案】4x2上一個動點,1)貝Vbp bA的取值范圍13.設(shè) a,b, R ,C 0,2 n，假設(shè)對任意實數(shù)都有2sin3x nasin (bxc，那么滿足條件的有序?qū)崝?shù)組a,b

5、,c的組數(shù)為【答案】4【解析】i假設(shè)a 2假設(shè) b 3，那么 c 5n；假設(shè) b 3，那么 c 4n33ii假設(shè)a 2，假設(shè)b 3，那么c匸；假設(shè)b 3，那么33共4組14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系點 P 滿足 OP OA? OA 0xOy中，O為正八邊形 AA2|A8的中心,A1,0，任取不同的兩點A,Aj，那么點P落在第一象限的概率是【答案】【解析】5285C8228二、選擇題本大題共有 4題，總分值20分15.設(shè) a R，那么“ a 1 是“ a21 的A.充分非必要條件B.必要非充分條件【答案】AC.充要條件D.既非充分也非必要條件A.【答案】【解析】6 5cosDn ,時，B.6 5s

6、i nC.65cosD.6 5si n到達(dá)最大v-216.以下極坐標(biāo)方程中，對應(yīng)的曲線為右圖的是17.無窮等比數(shù)列 成立的是an的公比為q ,前n項和為，且im $S，以下條件中，使得2 Sn N*恒A.a00.6q0.7b.a050.7q0.6C.a00.75q0.8d.a050.8q0.7【答案】b【解析】Snad1 qn)5s a ,1 q11 q1 q2S S，即 a1(2qn 1) 0n1假設(shè)ai 0，那么q -，不可能成立n 1右ai 0，那么q - , b成立:假設(shè) f (x) g(x)，f(x) h(x)，g(x) h(x)均18.設(shè)f (x),g(x),h(x)是定義域為R的

7、三個函數(shù)，對于命題為增函數(shù)，那么f (x),g(x),h(x)中至少有一個為增函數(shù)；假設(shè) f(x) g(x)， f (x) h(x)，g(x) h(x)均是以T為周期的函數(shù)，那么f(x),g(x),h(x)均是以T為周期的函數(shù)，以下判斷正確的選項是A.和均為真命題C.為真命題，為假命題【答案】D【解析】不成立，可舉反例B.和均為假命題D.為假命題，為真命題f(x)2x, x 1x 3, x 1g(x)2x3,x0x, x 0 x3,0x1, h(x)2x, x 02x,x1 f(x) g(x)f(x T) g(x T)f(x) h(x)f (x T) h(x T)g(x) h(x) g(x T

8、) h(x T)前兩式作差，可得 g(x) h(x) g(x T) h(x T) 結(jié)合第三式，可得 g(x) g(x T), h(x) h(x T) 也有 f(x) f (x T)正確應(yīng)選D三、解答題(本大題共有5題，總分值74分)解答以下各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19.(此題總分值12分)將邊長為1的正方形AAOQ (及其內(nèi)部)繞0。1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖,AC長2為 ，ABi長為一，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)33(1) 求三棱錐C O1AB1的體積(2) 求異面直線BiC與AA所成角的大小【解析】(1)連 O1B1，那么 A1B1AO1B13 O1A1

9、B為正三角形413。1 So1A1B112-So1A1 BVc o1b1設(shè)點B1在下底面圓周的射影為B，連 BB1，那么 BB1 / AA二BB1C為直線B1C與AA1所成角(或補角)BB AA 1連 BC,BO,OCAB Ai Bi,3AC20.(此題總分值i4分) 有一塊正方形菜地 地分為兩個區(qū)域S2的分界線C上的點到河邊與到 點F的坐標(biāo)為(i,0)，如圖(1) 求菜地內(nèi)的分界線 C的方程(2) 菜農(nóng)從蔬菜運量估計出Si面積是S2面積的兩倍縱坐標(biāo)為i的點，請計算以E:H為一邊，另一邊過點判斷哪一個更接近于 S面積白勺經(jīng)驗值【解析】(i)設(shè)分界線上任一點為(x,y),依題意x i .(x i

10、)2 y2可得 y 2 x(0 x i)(2)設(shè) M (x,y。)，那么 yi箱i-X。44設(shè)所表述的矩形面積為S3,那么S32i(i)4設(shè)五邊形EMOGH面積為S4,那么S4S3S.： OMP85 iii8iiSiS3,S4S32643i26五邊形EOMGH的面積更接近Si的面積8由此得到S面積的“經(jīng)驗值為-。設(shè)M是C上3M的矩形的面積，及五邊形 EOMGH的面積，并25i3iiS； MGQ-i-i224244BOC 3BOC為正三角形C BO 1BC tanBBiC BBi iBBiC 45直線BiC與AA所成角大小為45EFGH , EH所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到F點或河邊運走

11、。于是，菜Si和S2，其中Si中的蔬菜運到河邊較近，S2中的蔬菜運到F點較近，而菜地內(nèi)Si和F點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點O為EF的中點，2i.(此題總分值i4分)此題共2個小題，第i小題總分值6分，第2小題總分值8分2雙曲線X2 每i(b 0)的左、右焦點分別為 Fi、F2，直線l過F2且與雙曲線交于 A, B兩點 b(i)假設(shè)I的傾斜角為一，F(xiàn)iAB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程設(shè)b , 3，假設(shè)I的斜率存在，且(FiA0，求I的斜率【解析】(1)由 Fi( b2 1,0) , F2( b2 1,0) 取 x. b2 1，得 y b2F1F23|F2A F1F22.b2

12、1,F2Ab2二 2 .b21 3b24222即 3b 4b 4 (3b2)(b 2)0 - b 2漸近線方程為y 2x假設(shè)b . 3，那么雙曲線為 F1( 2,0) , F2(2,0) 設(shè) A(為，),b(x2,F1A (X12,yJ,邑，那么RB (X22,y2),(fa.2X1F1B)232y1ABX24, y2 2X2X12x2聖132 23(X2 X12) 2y2代入(*)式，可得4(x； 直線I的斜率存在，故X1y2)4(X2 X1)xf) 4(X2X22y2X1)(X2X1,y22y10 (*)得(3 k2)x2 4k2x (4k2X1X20，且4k23 k216k413)04(

13、3 k2)(4 k23)36(k2 1)0 k2 k35155直線I的斜率為522. (此題總分值16分)此題共有3個小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值6分1 a R，函數(shù) f (x) Iog2 ( a)x(1) 當(dāng)a 5時，解不等式f(x) 0(2) 假設(shè)關(guān)于x的方程f(x) Iog2(a 4)x 2a 5 0的解集中恰有一個元素，求a的取值范圍1(3) 設(shè)a 0,假設(shè)對任意t ,1，函數(shù)f (x)在區(qū)間t,t 1上的最大值和最小值的差不超過1，求a2的取值范圍14x 10-5 10xxx|x 0或x丄41【解析】Iog2( 5)x不等式的解為x(4x 1)01 依

14、題意，Iog2( a) Iog2【(a4)x 2a 5x 1xa (a 4)x 2a 50可得(2a 4)x (a 5)x 10即(x1)(a 4)x 10當(dāng)a4時，方程的解為x1，代入式，成立當(dāng)a3時，方程的解為x1，代入式，成立當(dāng)a3且a 4時，方程的解為x11, a4假設(shè)x11為方程的解，那么-axa10,即a 1假設(shè)x1 11為方程的解，那么1a2a40，即 a 2a 4x要使得方程有且僅有一個解，那么1a2綜上，假設(shè)原方程的解集有且只有一個元素，那么a的取值范圍為1 a 2或a 3或a 4(3) f(x)在t,t 1上單調(diào)遞減依題意，f (t) f (t 1) 1即10叫a)嘰 1a

15、) 11 2 at t 11 t 12( 1t 1a)，即一 a tt(t 1)設(shè)1 tr，那么r1吩1 trrt(t 1)(1r)(2r) r2 3r 2當(dāng)r0時,02 r1時 2時，r3r 2rr2 3r 2函數(shù)y2-r r 2 r - 3r-在(0. 2)遞減x4目21口2 a的取值范圍為a23.(此題總分值18分)此題共有3個小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值8分 假設(shè)無窮數(shù)列 an滿足：只要ap aq(p,q N*)，必有! aq !，那么稱a.具有性質(zhì)P .(1)假設(shè)an具有性質(zhì)P 且印1, a2 2, a4 3, a5 2,比a?比21，求a3 ；(2)

16、假設(shè)無窮數(shù)列bn是等差數(shù)列，無窮數(shù)列Cn是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1C51，b5C181，an bn Cn,判斷a.是否具有性質(zhì)P，并說明理由；設(shè)bn是無窮數(shù)列， 件為“ bn是常數(shù)列.【解析】bn sinan(n N )，求證：“對任意ai,寺都具有性質(zhì)P 的充要條1) a2a52a3a6-a4a73a5a82a621a7a816a316設(shè)bn的公差為d ,b5 d4d80 d20-bn20n19C541qG811 q3In5 G()3-anbnCn20n19t a182as82而a22127485a6101an 1(1)Cn的公差為q，那么q 03043ai故a5 但 a2 a6an不具有性質(zhì)P充分性：假設(shè)bn為常數(shù)列，設(shè)bn貝 U an 1 C si na