矩陣的初等變換

1、3 矩陣的初等變換矩陣的初等變換;) 1)(BAjijirrcc);0()2)(kBAkrkcii.)3)(BAjijikrrkcc一、初等行（列）變換一、初等行（列）變換A經(jīng)有限次初等變換化為經(jīng)有限次初等變換化為B,稱稱A與與B等價(jià)等價(jià),記作記作AB.性質(zhì)：性質(zhì)：反身性：反身性：AA; 對(duì)稱性：若對(duì)稱性：若AB, 則則BA; 傳遞性：若傳遞性：若AB, BC ，則，則AC.定理定理2 A=aijmn B.10.001.0.00.10.0.0.0第第r行行第第r列列B=mn0rmin(m,n),稱稱B為為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型.3 矩陣的初等變換（續(xù)矩陣的初等變換（續(xù)1） 二、初等矩陣二、

2、初等矩陣1.0.1.1.0.1初等矩陣初等矩陣單位陣施行單位陣施行1次初等變換所得矩陣次初等變換所得矩陣.1）Eri rjijij(ci cj)=Ei,j2）Erik(cik)1.1k=Ei(k)3）Eri+krj(cj+kci)1.1.1.1k=Ei,j(k)iiiijj(k0)初等矩陣均為初等矩陣均為 非奇異矩陣非奇異矩陣.3 矩陣的初等變換（續(xù)矩陣的初等變換（續(xù)2） 二、初等矩陣二、初等矩陣定理定理3 用用1個(gè)個(gè)m（n）階初等矩陣左（右）乘）階初等矩陣左（右）乘Amn，相當(dāng)于對(duì)相當(dāng)于對(duì)Amn施行施行1次相應(yīng)的初等行（列）變換次相應(yīng)的初等行（列）變換.即即 AmnEi,j Amn;ri r

3、jci cjAmnAmnEi(k);AmnEi(k) Amn;rikAmnAmnEi,j;cikAmnEi,j(k) Amn;ri+krjAmn Amn Ei,j(k);cj+kci推論推論1：與（非）奇異矩陣等價(jià)的仍為（非）奇異矩陣：與（非）奇異矩陣等價(jià)的仍為（非）奇異矩陣.證證:設(shè)設(shè)A為為非奇異矩陣非奇異矩陣,AB,則有則有B=P1P2.PkAPk+1.PlP1,P2,.,Pl均為均為初等矩陣，初等矩陣，均為均為非奇異矩陣非奇異矩陣.推論推論2：非奇異矩陣必與單位陣等價(jià)：非奇異矩陣必與單位陣等價(jià).|B|=|P1| |P2|.|Pk| |A| |Pk| .|Pl| 0. B亦為亦為非奇異矩陣

4、非奇異矩陣證證:設(shè)設(shè)A為為n 階非奇異矩陣：非奇異矩陣：|A| 0,B為為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型，的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型，|B| 0，只有，只有 B=En,即即AEn.3 矩陣的初等變換（續(xù)矩陣的初等變換（續(xù)2） 二、初等矩陣二、初等矩陣定理定理3 用用1個(gè)個(gè)m（n）階初等矩陣左（右）乘）階初等矩陣左（右）乘Amn，相當(dāng)于對(duì)相當(dāng)于對(duì)Amn施行施行1次相應(yīng)的初等行（列）變換次相應(yīng)的初等行（列）變換.推論推論1：與（非）奇異矩陣等價(jià)的仍為（非）奇異矩陣：與（非）奇異矩陣等價(jià)的仍為（非）奇異矩陣.證證:設(shè)設(shè)A為為非奇異矩陣非奇異矩陣,AB,則有則有B=P1P2.PkAPk+1.PlP1,P2,.,Pl均為均為初等矩陣

5、，初等矩陣，均為均為非奇異矩陣非奇異矩陣.推論推論2：非奇異矩陣必與單位陣等價(jià)：非奇異矩陣必與單位陣等價(jià).|B|=|P1| |P2|.|Pk| |A| |Pk| .|Pl| 0. B亦為亦為非奇異矩陣非奇異矩陣證證:設(shè)設(shè)A為為n 階非奇異矩陣：非奇異矩陣：|A| 0,B為為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型，的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型，|B| 0，只有，只有 B=En,即即AEn.4 逆矩陣逆矩陣EAAAAAA)|1()|1(* 定義：若定義：若A,B 為為n階方陣，滿足：階方陣，滿足：AB=BA=E,則稱則稱A可逆可逆, B為為 A的逆矩陣的逆矩陣.逆矩陣的唯一性：逆矩陣的唯一性： 設(shè)設(shè)B、C均為均為 A的逆矩陣，則的逆矩陣

6、，則B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.記作記作:A-1=B (B-1=A).定理定理4 n階方陣階方陣A可逆可逆的充要條件為的充要條件為:|A|0.證證:必要性必要性. 設(shè)設(shè)A可逆，則可逆，則|AB|=|E|=1，|A|.|B|=1, |A| 0.充分性充分性. |A| 0，又由定理，又由定理1， A*A=AA*=|A|E,得得 A可逆可逆.且且*1|1AAA推論推論1 ：若：若n階方陣階方陣A,B滿足：滿足：AB=E，則，則A-1=B ，B-1=A.證證: |A|.|B|= |AB|=|E|=1, |A| 0,A可逆可逆.B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.

7、|A-1|=1/|A|; 推論推論2 ：4 逆矩陣（續(xù)逆矩陣（續(xù)1）推論推論3：初等矩陣均可逆：初等矩陣均可逆.Ei,j-1= Ei,j；Ei(k)-1= Ei(1/k)； Ei,j(k)-1= Ei,j(-k).1.0.1.1.0.1ijijEi,j=1.1kEi(k)=ii(k0)1.1.1.1kEi,j(k)=iijj且其逆矩陣亦為初等矩陣且其逆矩陣亦為初等矩陣.定理定理5 任何可逆陣均可表為任何可逆陣均可表為初等矩陣的乘積初等矩陣的乘積.證：設(shè)證：設(shè)A可逆可逆,則則A與與E等價(jià)，等價(jià)，EA,存在存在初等矩陣初等矩陣Pi(i=1,2,.,l),使使P1P2.PkEPk+1.Pl=A.故得

8、證故得證.4 逆矩陣（續(xù)逆矩陣（續(xù)2）*1|1AAA運(yùn)算律運(yùn)算律設(shè)設(shè)A,B,C均可逆，則均可逆，則1)(A-1)-1=A;2)(kA)-1=1/kA-1(k0);3)(AT)-1=(A-1)T; 4)(AB)-1=B-1A-1;(ABC)-1=C-1B-1A-1.求逆矩陣方法：求逆矩陣方法：1)觀察法：若觀察法：若AB=E ，則A-1=B (B-1=A).2)伴隨陣法：伴隨陣法：3) 初等變換法初等變換法:A|E E|A-1(行行變換變換) ； A|B E|A-1B(行行變換變換);11111221210.00.00.00.0,.0.00.00.nnn 證證:A=P1P2.Pk, A-1E,又

9、又E=A-1A=P-1k.P-11AB=P-1k.P-11B4 分塊矩陣分塊矩陣4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111.rssrBBBBB1111.rssrAAAAAA11A12A21A22Aij_子塊子塊分塊矩陣的運(yùn)算分塊矩陣的運(yùn)算(1)加法：加法：Amn,Bmn采取相同分塊采取相同分塊11111111.rrsssrsrABABABABAB(2)數(shù)乘矩陣：數(shù)乘矩陣：1111.rssrkAkAkAkAkA則則4 分塊矩陣分塊矩陣(續(xù)續(xù)1)3736353433323127262524232221171615

10、14131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA7271626152514241323122211211bbbbbbbbbbbbbbB1121212.rsssrAAAAAAA(3)乘法：乘法：Aml的列劃分與的列劃分與Bln的行劃分一致，設(shè)的行劃分一致，設(shè)1112121.ttrrtBBBBBBBk1列列 k2列列kr列列k1行行k2行行kr行行則則1111.tsstCCABCC其中其中Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+.+AirBrjAi1 Ai2 . AirB1jB2jBrj4 分塊矩陣分塊矩陣(續(xù)續(xù)2)0400310000130021A6500430000710002B751

11、44例例1 求求AB,其中其中A1A2B1B2A1B1=A2B2=16121412AB=221100BABA16120014120000750014421210000BBAA4 分塊矩陣分塊矩陣(續(xù)續(xù))12.sAAA1122.ssABA BABA B12.sAAAA(4)分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣:A=(Ai為為ni階方陣階方陣)性質(zhì)：性質(zhì)：1）設(shè)）設(shè)12.sBBBBAi ,Bi均為均為ni階方陣階方陣,則則2）|A|=|A1|.|A2|.|As|3）A可逆的充要條件可逆的充要條件為：為：|Ai|0（i=1,2,.s)且且121111.sAAAA4 分塊矩陣分塊矩陣(續(xù)續(xù)4)040031000013