第七節(jié)、線性方程組的解

1、一、線性方程組有解的判斷條件一、線性方程組有解的判斷條件二、線性方程組的解法二、線性方程組的解法 .01nARxAnnm 矩矩陣陣的的秩秩的的充充分分必必要要條條件件是是系系數數有有非非零零解解元元齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理的解的解討論線性方程組討論線性方程組的秩，的秩，和增廣矩陣和增廣矩陣如何利用系數矩陣如何利用系數矩陣bAxBA 問題：問題：證證必要性必要性. . ,nDnAnAR階非零子式階非零子式中應有一個中應有一個則在則在設設 ,根據克拉默定理根據克拉默定理個方程只有零解個方程只有零解所對應的所對應的 nDn從而從而有非零解，有非零解，設方程組設方程組0 Ax這與原方程組有

2、非零解相矛盾，這與原方程組有非零解相矛盾， .nAR 即即不能成立不能成立nAR )(充分性充分性. . ,nrAR 設設.個自由未知量個自由未知量從而知其有從而知其有rn- -任取一個自由未知量為，其余自由未知量為，任取一個自由未知量為，其余自由未知量為，即可得方程組的一個非零解即可得方程組的一個非零解 .個非零行，個非零行，的行階梯形矩陣只含的行階梯形矩陣只含則則rA證證必要性必要性,有解有解設方程組設方程組bAx ,BRAR 設設則則B B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾方程，方程， .,2的秩的秩陣陣的秩等于增廣矩的秩等于增廣矩矩陣矩陣的充分

3、必要條件是系數的充分必要條件是系數有解有解元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組定理定理bABAbxAnnm 這與方程組有解相矛盾這與方程組有解相矛盾. .BRAR 因此因此并令并令 個自由未知量全取個自由未知量全取0 0，rn- -即可得方程組的一個解即可得方程組的一個解充分性充分性. . ,BRAR 設設 ,nrrBRAR 設設證畢證畢個非零行，個非零行，的行階梯形矩陣中含的行階梯形矩陣中含則則rB其余其余 個作為自由未知量個作為自由未知量, ,rn- - 把這把這 行的第一個非零元所對應的未知量作為行的第一個非零元所對應的未知量作為非自由未知量非自由未知量, ,r小結小結有唯一解有唯一解b

4、Ax nBRAR nBRAR 有無窮多解有無窮多解. .bAx 方程組的通解方程組的通解性性程組的任一解，稱為線程組的任一解，稱為線定義：含有個參數的方定義：含有個參數的方齊次線性方程組齊次線性方程組：系數矩陣化成行最簡形矩陣，：系數矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；便可寫出其通解；非齊次線性方程組：非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；簡形矩陣，便可寫出其通解；例例1 1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.034022202432143214321 - - -

5、 - - - - xxxxxxxxxxxx解解 - - - - - - 341122121221A - - - - - - -463046301221施行初等行變換：施行初等行變換：對系數矩陣對系數矩陣 A13122rrrr- - - 0000342101221)3(223- - - -rrr212rr - - - - -00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 - - -, 0342, 0352432431xxxxxx - - - ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此即得 - - -

6、,342,352432431xxxxxx形式形式，把它寫成通常的參數，把它寫成通常的參數令令2413,cxcx .1034350122214321 - - - - ccxxxx例例 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 - - - - - - - - - -. 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換，進行初等變換， - - - - - - 322122351311321B13122rrrr- - - - - - - - -10450104501132123rr - - - - - - -2000010450113

7、21, 3)(, 2)( BRAR顯然，顯然，故方程組無解故方程組無解例例 求解非齊次方程組的通解求解非齊次方程組的通解.2132130432143214321 - - - - - - - - - - - -xxxxxxxxxxxx解解 對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換進行初等變換 - - - - - - - - 2132111311101111B - - - - - -2121001420001111.00000212100211011 - - - - , 2 BRAR由于由于故方程組有解，且有故方程組有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xx

8、xxxxxxxxxx.02102112000011424321 xxxxxx.,42任意任意其中其中xx所以方程組的通解為所以方程組的通解為例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情況況下下，是是有有解解的的充充要要條條件件證證明明方方程程組組. 054321515454343232121 - - - - - - - - - -aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解證解證對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換，進行初等變換，方程組的增廣矩陣為方程組的增廣矩陣為 - - - - - - 543211000111000011000011000011aaaaaB - - - - - 51

9、43210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR. 051 iia是是方方程程組組有有解解的的充充要要條條件件由于原方程組等價于方程組由于原方程組等價于方程組 - - - - - - - -454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解： 544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5為為任任意意實實數數x例例 設有線性方程組設有線性方程組 23213213211 xxxxxxxxx?,有無窮多個解有無窮多個解有解有解取何值時取何值時問問 解解 21111111 B 11111112 作初等

10、行變換，作初等行變換，對增廣矩陣對增廣矩陣),(bAB - - - - - - -2222111011011 - - - - - - - - -32222120011011 - - - - - - - 22112100111011 ,11時時當當 000000001111B ., 3 方方程程組組有有無無窮窮多多解解 BRAR其通解為其通解為 - - - 33223211xxxxxxx .,32為為任任意意實實數數xx ,12時時當當 - - -22120011011 B這時又分兩種情形：這時又分兩種情形： :, 3,2)1方程組有唯一解方程組有唯一解時時 - - BRAR .21,21,212321 - - xxx .,故故方方程程