初中教學(xué)數(shù)列斐波那契

1、斐波那契數(shù)列主題探究教學(xué)設(shè)計方案一、概述本主題為人教課標(biāo)必修5第二章數(shù)列中關(guān)于有閱讀與思考的內(nèi)容本主題是在已有數(shù)列基本知識的基礎(chǔ)上，探索斐波那契數(shù)列的發(fā)展歷史、實際生活中的斐波那契數(shù)列，以及斐波那契數(shù)列的一些特性斐波那契數(shù)列與實際生活聯(lián)系比較緊密，有著廣泛的應(yīng)用，而且本身也有許多特殊的性質(zhì)使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，從而提高自身的文化素質(zhì)和創(chuàng)新意識二、教學(xué)目標(biāo)分析1進(jìn)一步鞏固數(shù)列的相關(guān)知識，加深對數(shù)列的認(rèn)識，能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題2初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會發(fā)展之間的相互作用，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，開拓視野，激發(fā)學(xué)習(xí)

2、數(shù)學(xué)的興趣，提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識 三、學(xué)習(xí)者特征分析學(xué)生已經(jīng)掌握數(shù)列、等差、等比數(shù)列的知識，能在具體的情境問題中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列中特殊的關(guān)系：等差或等比關(guān)系，能用相關(guān)知識解決相應(yīng)的問題部分學(xué)生有一定的自主學(xué)習(xí)能力、協(xié)作學(xué)習(xí)能力但應(yīng)用意識不強，創(chuàng)新能力不強，因此需要一定的指導(dǎo)學(xué)生具有一定的計算機運用能力，能夠通過網(wǎng)絡(luò)搜索相關(guān)資源，能借助計算機解決相應(yīng)的問題四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計 主要采用網(wǎng)絡(luò)探究，小組協(xié)作的方式，在復(fù)習(xí)數(shù)列相關(guān)知識，然后逐步探究斐波那契數(shù)列的歷史、應(yīng)用、特征，教師做好指導(dǎo)、協(xié)調(diào)工作，對于學(xué)生探究結(jié)論給予相應(yīng)評價五、教學(xué)資源與工具設(shè)計1 人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修5；

3、2 網(wǎng)絡(luò)課件；3 斐波那契數(shù)列計算器；4 網(wǎng)絡(luò)型多媒體教室六、教學(xué)過程本主題共需1個課時具體安排如下：（一）問題引入由學(xué)生計算，教師給予相應(yīng)的指導(dǎo)如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對出生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子？提示：每月底兔子對數(shù)是：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ，50個月后是12586269025 對這就是著名的斐波那契數(shù)列或許大自然懂得數(shù)學(xué)，樹木的分杈、花瓣的數(shù)量、種子的排列、鸚鵡螺的螺旋線都遵循這個數(shù)列你能寫出以后

4、的項嗎？設(shè)計意圖：通過斐波那契的兔子問題引入，讓學(xué)生通過計算、思考，對斐波那契數(shù)列有感性認(rèn)識（二）數(shù)列知識1數(shù)列的起源人們對數(shù)列的研究主要源于生產(chǎn)、生活的需要，以及出于對自然數(shù)的喜愛數(shù)是刻畫靜態(tài)物體下的量，一系列的數(shù)刻畫物體的變化情況，這些按一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列（sequence of number）數(shù)列是刻畫離散過程的重要數(shù)學(xué)模型，在生活中經(jīng)常遇到的存款利息、細(xì)胞分裂等問題都與數(shù)列有關(guān)在古希臘，對畢氏學(xué)派而言，萬物都是數(shù)他們將數(shù)用小石子排列成各種形狀，可以排成三角形的小石子數(shù)稱為三角形數(shù)，可以排成正方形的小石子數(shù)稱為正方形數(shù)三角形數(shù)： 正方形數(shù)：五邊形數(shù)：每種多邊形數(shù)均是一個數(shù)列設(shè)

5、計意圖：讓學(xué)生對于數(shù)列的起源有所了解，便于理解研究數(shù)列的意義2數(shù)列的相關(guān)知識讓學(xué)生快速梳理數(shù)列的基本知識：（1）數(shù)列的一般形式：，簡記為（2）數(shù)列的表示方法：（1）列表法；（2）圖象法；（3）通項公式法（3）數(shù)列的分類：項數(shù)有限無限： 項數(shù)的隨序號的變化情況：（4）數(shù)列通項公式：；主要方法：觀察數(shù)列的特點，尋找項數(shù)與對應(yīng)序號的關(guān)系化歸法（將數(shù)列變形，使原數(shù)列的倒數(shù)或與某同一常數(shù)的和成等差或等比數(shù)列）逐差全加（對于后一項與前一項差中含有未知數(shù)的數(shù)列）例如：數(shù)列中，求逐商全乘法（對于后一項與前一項商中含有未知數(shù)的數(shù)列）例如：數(shù)列，求 正負(fù)相間：利用或（隔項有零：利用或（5）數(shù)列求和的主要方法利用等

6、差或等比的求和公式 利用通項列項求和 錯項相減法：適用于通項為等比和等差通項之積形式的數(shù)列求和 倒序相加法：例如等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo) 配對法：適合某些正負(fù)相間型的數(shù)列 學(xué)生思考：若我們分別以來代表下圖的正方形數(shù)、三角形數(shù)及五邊形數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)求出通項公式嗎？三者的關(guān)系呢？（可以借助圖形特點）n個n個   n個        n個教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)提示：由上圖我們不難看出：而每個正方形數(shù)都可以看成兩個三角形數(shù)的和n個           

7、 觀察五角形數(shù)可以知道即設(shè)計意圖：讓學(xué)生回顧數(shù)列的基本知識，便于將知識系統(tǒng)化，能更好的從整體上把握，靈活應(yīng)用數(shù)列解決相應(yīng)問題3數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系讓學(xué)生回顧數(shù)列可以看成是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式則是相應(yīng)的函數(shù)解析式由于數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)畫出的圖像是一些孤立的點，所以說數(shù)列是一類特殊的函數(shù)數(shù)列具有函數(shù)的一般性質(zhì)，可以借助數(shù)形結(jié)合的思想研究問題，但研究的側(cè)重點有所不同，函數(shù)側(cè)重研究單調(diào)性、最值、奇偶性等，數(shù)列側(cè)重研究下標(biāo)子數(shù)列或兩個數(shù)列的合成的性質(zhì)等設(shè)計意圖：回顧函數(shù)與數(shù)列

8、的關(guān)系，進(jìn)一步加深認(rèn)識研究數(shù)列的角度和意義4特殊數(shù)列讓學(xué)生填寫下列表格：名稱等差數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列（arithmetic sequence），這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（common difference），通常用字母d表示一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等比數(shù)列（geometric sequence），這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（common ratio），通常用字母q表示通項公式等差數(shù)列實際是一次型函數(shù)，是最簡單的遞推數(shù)列等比數(shù)列實際是指數(shù)型函數(shù)

9、前n項和公式比例中項等差中項：三個數(shù)成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項（artithmetic mean）等比中項：三個數(shù)成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項設(shè)計意圖：對比中學(xué)中重要的兩個特殊數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，加深對這兩種數(shù)列的理解和應(yīng)用，通過系統(tǒng)比較能更好的理解（三）斐波那契教師適當(dāng)?shù)募右越榻B，可以在讓學(xué)生利用互聯(lián)網(wǎng)收集相關(guān)資料中世紀(jì)最有才華的數(shù)學(xué)家斐波那契（1175年1259年）出生在意大利比薩市的一個商人家庭因父親在阿爾及利亞經(jīng)商，因此幼年在阿爾及利亞學(xué)習(xí)，學(xué)到不少時尚未流傳到歐洲的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)成年以后，他繼承父業(yè)從事商業(yè)，走遍了埃及、希臘、敘利亞、印度、法國和意大利的西西

10、里島斐波那契是一位很有才能的人，并且特別擅長于數(shù)學(xué)研究他發(fā)現(xiàn)當(dāng)時阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)要比歐洲大陸發(fā)達(dá)，因此有利于推動歐洲大數(shù)學(xué)的發(fā)展他在其他國家和地區(qū)經(jīng)商的同時，特別注意搜集當(dāng)?shù)氐乃阈g(shù)、代數(shù)和幾何的資料回國后，便將這些資料加以研究和整理，編成算經(jīng)（1202年，或叫算盤書）算經(jīng)的出版，使他成為一個聞名歐洲的數(shù)學(xué)家繼算經(jīng)之后，他又完成了幾何實習(xí)（1220年）和四藝經(jīng)（1225年）兩部著作算經(jīng)在當(dāng)時的影響是相當(dāng)巨大的這是一部由阿拉伯文和希臘文的材料編譯成拉丁文的數(shù)學(xué)著作，當(dāng)時被認(rèn)為是歐洲人寫的一部偉大的數(shù)學(xué)著作，在兩個多世紀(jì)中一直被奉為經(jīng)典著作在當(dāng)時的歐洲，雖然多少知道一些阿拉伯記數(shù)法和印度算法，但僅僅局限在

11、修道院內(nèi)，一般的人還只是用羅馬數(shù)學(xué)記數(shù)法而盡量避免用“零”斐波那契的算經(jīng)，介紹了阿拉伯記數(shù)法和印度人對整數(shù)、分?jǐn)?shù)、平方根、立方根的運算方法，這部著作在歐洲大陸產(chǎn)生了極大的影響，并且改變了當(dāng)時數(shù)學(xué)的面貌他在這本書的序言中寫道：“我把自己的一些方法和歐幾里得幾何學(xué)中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是決定寫現(xiàn)在這本15章的書，使拉丁族人對這些東西不會那么生疏在斐波那契的算經(jīng)中，記載著大量的代數(shù)問題及其解答，對于各種解法都進(jìn)行了嚴(yán)格的證明書中記載的一個有趣的問題：理想中的兔子繁殖問題，兔子每個月對數(shù)就構(gòu)成了著名的斐波那契數(shù)列據(jù)載首先是由19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家呂卡將級數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，

12、21，34，.命名為斐波那契級數(shù)，它是一種特殊的線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)的許多分支中有廣泛應(yīng)用1963年美國還創(chuàng)刊斐波那契季刊來專門研究數(shù)列設(shè)計意圖：了解斐波那契的歷史，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神（四）斐波那契數(shù)列特性小組探究，歸納總結(jié)結(jié)論，可以參照提示，對于能力較強的小組可以進(jìn)一步探究其它性質(zhì)教師對于各小組的探究過程加以評價斐波那契數(shù)列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233，  1通項公式觀察斐波那契數(shù)列項數(shù)之間有什么關(guān)系？提示：從第三項開始每一項等于其前兩項的和，即若用表示第n項，則有通過遞推關(guān)

13、系式，我們可以一步一個腳印地算出任意項，不過，當(dāng)n很大時，推算是很費事的我們必須找到更為科學(xué)的計算方法你能否尋找到通項公式，借助網(wǎng)絡(luò)資源，能否給予證明？提示：1730年法國數(shù)學(xué)家棣莫弗給出其通項表達(dá)式，19世紀(jì)初另一位法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明這一表達(dá)式，現(xiàn)在稱為之為比內(nèi)公式可以利用歸納法證明網(wǎng)絡(luò)資源：求斐波那契數(shù)列的通項公式 2項間關(guān)系根據(jù)下列問題分組探究，寫下探究的結(jié)果有能力的學(xué)生可以繼續(xù)研究其他性質(zhì)提供斐波那契數(shù)列計算器的網(wǎng)頁斐波那契數(shù)列有許多奇妙的性質(zhì)，下面一起研究部分性質(zhì)： （1）問題：觀察相鄰兩項之間有什么關(guān)系？相鄰兩項互素，（）（2）1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 1

14、3 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， 第3項、第6項、第9項、第12項、的數(shù)字，有什么共同特點？提示：能夠被 2 整除第4項、第8項、第12項，能夠被 3 整除第 5項、第 10 項、的數(shù)字，能夠被 5 整除你還能發(fā)現(xiàn)哪些類似的規(guī)律？（3） 如果你把前五加起來再加 1，結(jié)果會等于第七項；如果把前六項加起來，再加 1，就會得出第八項那么前 n 項加起來再加 1，會不會等于第 n + 2 項呢？ 提示：1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 131 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21由于每一項都是其前兩項的和，所以（4）如果我們分別對偶數(shù)項與奇數(shù)

15、項做加法運算的話，情形又如何呢？ 1 + 2 + 5 = 81 + 2 + 5 + 13 = 211 + 1 + 3 + 8 = 131 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34提示：我們可以得到下列的結(jié)果： 你是否能給出證明？（5）不可思議的是，如果我們把第三項的平方加上第四項的平方會得到第七項 22 + 32 = 4 + 9 = 1332 + 52 = 9 + 25 = 3482 + 132 = 64 + 169 = 233試試看其它的情形是不是都成立呢？（6）更不可思議的是，你能想象到嗎，斐波那契數(shù)列與楊輝三角居然有聯(lián)系？提示：11 11 2 1 1 3 3 11 4 6 4 11 5

16、 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1112813353黃金分割動手做一下：把斐波那契數(shù)列中從第二項開始的每一項除以前一項， 得到一個新的數(shù)列，并畫出圖象，分析新數(shù)列的特點提示：1，2，1.5，1.67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618， .下圖中橫軸為 n 的值，縱軸為的取值：看起來好像會趨近某個定值，大約為1.61這為人所知作為金黃比率, 并且因此斐波那奇的序列并且稱金黃序列， 開普勒發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的黃金比率4探究其它特性利用斐波那契數(shù)列計算器和互聯(lián)網(wǎng)，每小組探究斐波那契數(shù)列的其它性質(zhì)，然后利用網(wǎng)絡(luò)搜索所得到的性質(zhì)，是否已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)。在網(wǎng)絡(luò)中查找一下是否還

17、有其它性質(zhì)，將得到的結(jié)論填入下表小組： 人員組成： 性質(zhì)描述證明過程網(wǎng)絡(luò)相關(guān)資源備注設(shè)計意圖：通過系列的、逐層深入的問題串，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)列的知識探索斐波那契數(shù)列的特性，進(jìn)一步加深學(xué)生對數(shù)列的認(rèn)識和運用（五）聯(lián)系生活將學(xué)生分組，利用網(wǎng)絡(luò)搜索斐波那契數(shù)列與生活的聯(lián)系，將收集的資源加工整理，制作成課件，以小組為單位展示課件，并加以說明嘗試一下，能否借助斐波那契數(shù)列的特性設(shè)計圖案？在網(wǎng)絡(luò)中查找一下利用斐波那契數(shù)列設(shè)計的圖案，并分析其中蘊含的數(shù)列下面是從生物、藝術(shù)、計算機設(shè)計圖形等方面簡單示例1生物學(xué)與斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實的自然世界中，算盤書里那樣的神奇兔子自然是找不到的，但是這并不妨礙大自然使用斐波那

18、契數(shù)列起絨草橢球狀的花頭，你可以看見那上面有許多螺旋很容易想像，如果從上面俯視下去的話，這些螺旋從中心向外盤旋，有些是順時針方向的，還有些是逆時針方向的逆時針與順時針的螺旋數(shù)就是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩項斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的 以這樣的形式排列種子、花瓣或葉子的植物還有很多（最容易讓人想到的是向日葵），事實上許多常見的植物，我們食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的葉子排列也具有這個特性，只是不容易觀察清楚盡管這些順逆螺旋的數(shù)目并不固定，但它們也并不隨機，它們是斐波那契序列中的相鄰數(shù)字這樣的螺旋被稱為斐波那契螺旋展示自然界中各種各樣的斐波那契螺旋圖片（1）細(xì)察

19、下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合： 3百合和蝴蝶花 5藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草 8翠雀花 13金盞草 21紫宛 34，55，84雛菊雛菊展示花的圖片（2）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點數(shù)葉子(假定沒有折損)，直至到達(dá)與那片葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)葉子從一個位置到達(dá)下一個正對的位置稱為一個循回葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序(源自希臘詞，意即

20、葉子的排列)比多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比 （3）斐波那契數(shù)有時也稱松果數(shù)，因為連續(xù)的斐波那契數(shù)會出現(xiàn)在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數(shù)目之中這種情況在向日葵的種子盤中也會看到此外，你能發(fā)現(xiàn)一些連續(xù)的盧卡斯數(shù)嗎？ （4）菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數(shù)的植物對于菠蘿，我們可以去數(shù)一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數(shù) （5）樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才 能萌發(fā)新枝所以，一株樹苗在一段間隔（如圖4），例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時 萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”這樣，一株樹木各個年份

21、的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列這個規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數(shù)1.618033989的倒數(shù)，

22、而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達(dá)到89，甚至144條2藝術(shù)展示埃及的圖像古埃及的人體畫像的繪畫都是基于"神圣比例"也就是我們所了解的黃金分割展示希臘神廟的圖片3計算機設(shè)計由于是自然規(guī)律而并非抽象的數(shù)學(xué)或哲學(xué)原理決定了植物各種器官的排列圖樣；另外還有具體環(huán)境的影響，比如地形、氣候或病害，你并不總能找到完美的斐波那契螺旋即使是生長得很健康的植物，也難免有這樣那樣的缺陷仔細(xì)觀察上面的圖片，你會發(fā)現(xiàn)螺旋的中心經(jīng)常是一片混亂所以最后還是讓我們來欣賞一下由計算機繪制出來的完美的斐波那契螺旋吧展示計算機繪制的斐波那契螺旋圖片設(shè)計意圖：通過展示斐波那契數(shù)列與生物、藝術(shù)、建筑、計算機等方面的聯(lián)系，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣七、教學(xué)評價設(shè)計借助于網(wǎng)絡(luò)資源資源，探索斐波那契數(shù)列其它特性，并給出相應(yīng)說理過程調(diào)查周圍的生物、藝術(shù)作品、建筑能否找出與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系？寫出調(diào)查報告評價評價是整個教學(xué)環(huán)節(jié)中非常重要的一部分，因此非常有必要設(shè)計合理有效的評價來督促、激勵學(xué)生保質(zhì)保量的完成任務(wù)首先，教師在第一課時的時候就應(yīng)該把整個單元學(xué)習(xí)所采用的評價方式講清楚，一些量表可以在