線性代數(shù)性質(zhì)定理總結(jié)

1、概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確 注：全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.注 關(guān)于：稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；線性無關(guān)；任意一個(gè)維向量都可以用線性表示.行列式的定義 行列式的計(jì)算：行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.若都是方陣（不必同階）,則（拉普拉斯展開式）上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.關(guān)于副對(duì)角線： （即：所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）范德蒙德行列式：矩陣的定義 由個(gè)數(shù)排成的

2、行列的表稱為矩陣.記作：或伴隨矩陣 ，為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式. 逆矩陣的求法: ： 方陣的冪的性質(zhì)： 設(shè)的列向量為,的列向量為，則為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.即： 用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的向量；用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的向量. 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣： 分塊對(duì)角陣相乘：,分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣： 矩陣方程的解法()：設(shè)法化成 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)

3、向量正交. 單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān). （向量個(gè)數(shù)變動(dòng)） 原向量組無關(guān),接長(zhǎng)向量組無關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān). （向量維數(shù)變動(dòng)） 兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示.向量組線性無關(guān)向量組中每一個(gè)向量都不能由其余個(gè)向量線性表示. 維列向量組線性相關(guān)； 維列向量組線性無關(guān). 若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一. 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行

4、的個(gè)數(shù).行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時(shí)，稱為行最簡(jiǎn)形矩陣 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系； 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系. 即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘；對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘.矩陣的秩 如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱矩陣的秩為.記作向量組的秩 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩.記作 矩陣等價(jià) 經(jīng)過有限次初等變換化為. 記作：向量組等價(jià) 和可以相互線性表示. 記作： 矩陣與等價(jià)，可逆作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣與作為向量組等價(jià)矩陣與等價(jià). 向量組可由向量組線性表示有解. 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則. 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià)； 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià). 向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定. 若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的