線性代數(shù)之相似矩陣及二次型

1、-2-維向量維向量設(shè)有設(shè)有nTnTnyyyyxxxx),(,),(2121 xyyxyxyxyxyxTTnn 2211,. ,的的與與為為向向量量稱稱yxyx令令-3-;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx有有時時且當(dāng)且當(dāng)著名的著名的Cauchy-Schwarz不等式不等式,2yyxxyx 即即 niiniiniiiyxyx121221 niiiiiiiytyxtxytx122220)()(2)(這由這由的判別式的判別式 易知易知.0 -4-非負性非負性. 1齊齊次次性性. 2三三角角不不等等式式. 3,22221nxxxxxx

2、. 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx; 0,0; 0,0 xxxx時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng);xx .yxyx (三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易證不等式易證,見見P112)-5- . ,11為為稱稱時時當(dāng)當(dāng)xx 單位向量單位向量 yxyxyx ,arccos,0,02 時時當(dāng)當(dāng) 的的與與維向量維向量稱為稱為yxn夾角夾角. ,0,yxyx與與稱向量稱向量時時當(dāng)當(dāng) 正交正交. ,0 與任何向量都正交與任何向量都正交則顯然則顯然若若xx -6- 若一個不含零向量的向量組若一個不含零向量的向量組 中的向中的向量兩兩正交量兩兩正交: , 則稱該向量組為則稱該向量組為正正交向量組交

3、向量組. 又如果這些向量都是單位向量又如果這些向量都是單位向量: ,則稱該向量組為則稱該向量組為規(guī)范正交向量組規(guī)范正交向量組. 若該向量組是一個向量空間若該向量組是一個向量空間 V 的基的基, 又分別稱又分別稱為向量空間為向量空間 V 的的正交基正交基和和規(guī)范正交基規(guī)范正交基. )(0,jiji r ,211 i -7- 100,010,001321eee是向量空間是向量空間R3的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基(通常稱為自然基通常稱為自然基).-8-(P112 定理定理1), 0021111 T由由.01 從而有從而有. 02 r 同理可得同理可得.,21線性無關(guān)線性無關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有又

4、又r ,2102211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T ,r21 設(shè)設(shè) 是正交向量組是正交向量組正交向量組必線性無關(guān)正交向量組必線性無關(guān).-9-例例1(P115 例例3)00200032132121 AxxxxxxxxxTT 解解這相當(dāng)于要求下面齊次方程組的非零解這相當(dāng)于要求下面齊次方程組的非零解 12111121TTA 求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系(即為所求即為所求)為為 1013 121,11121 已知已知 中兩個正交向量中兩個正交向量3R試求試求 使使 構(gòu)成構(gòu)成3 321 ,的一個正交基的一個正交基.3R-10- 設(shè)設(shè) 是向量空間是向量空間V的一個基的一個基(坐標

5、系坐標系),如如何求何求 V 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基(坐標系坐標系)?r ,21這個問題就是這個問題就是找與找與 等價的正交向量組等價的正交向量組r ,21r ,21-11-11 ,1112122 111122221111, rrrrrrrrr 222321113133, 設(shè)設(shè) 線性無關(guān)線性無關(guān)r ,21令令則則 兩兩正交兩兩正交, 且與且與 等價等價.r ,21r ,21?111/ 222/ rrr / 是與是與r ,21等價的規(guī)范正交組等價的規(guī)范正交組施密特正交化過程施密特正交化過程-12-例例3TTTaaa)1, 1 , 5 , 3(,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1

6、 , 1 , 1(321 Tab1 , 1 , 1 , 111 1112122,bbbabab TT1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 T3 , 1, 2, 0 求求 的一個規(guī)范正交基。的一個規(guī)范正交基。),span(321aaa222321113133,bbbabbbbabab TTT3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 T0 , 2, 1 , 1 易知易知 線性無關(guān)線性無關(guān), 由施密特正交化過程由施密特正交化過程321,aaa-13-再單位化再單位化 111121111bb 3120141222bb 021161

7、333bb -14- ,為為則稱則稱滿足滿足階方陣階方陣若若AEAAAnT . cossinsincosA)1,(2 TnTREH例例4驗證驗證(1)旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣(2)鏡像矩陣是正交矩陣鏡像矩陣是正交矩陣 (P40 例例8)-15-定義A是是n n階方陣階方陣, ,若若 是是正交矩陣正交矩陣A稱稱EAAT 性質(zhì)2A的列的列( (行行) )向量組為正交單位向量組向量組為正交單位向量組是正交矩陣是正交矩陣A1 AAT性質(zhì)性質(zhì)1 是是正交矩陣正交矩陣則則A可逆且可逆且A設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)設(shè) A、B 都是正交矩陣，都是正交矩陣， 則則 AB 也是正交矩陣。也是正交矩陣。EAAT

8、 jiji , jiji, 1, 0即即 A 的的 n 個列向量是單位正交向量組。個列向量是單位正交向量組。性質(zhì)性質(zhì)4 設(shè)設(shè) A 是正交矩陣，則是正交矩陣，則 AA與與1也是正交矩陣。也是正交矩陣。性質(zhì)性質(zhì)5 設(shè)設(shè) A 是正交矩陣，則是正交矩陣，則. 1 A-16-矩陣的特征值理論在許多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。如：矩陣的特征值理論在許多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。如：工程技術(shù)中的振動問題和穩(wěn)定性問題工程技術(shù)中的振動問題和穩(wěn)定性問題;經(jīng)濟管理中的主成分分析經(jīng)濟管理中的主成分分析(PCA);數(shù)學(xué)中的微分方程組求解和迭代法的收斂性數(shù)學(xué)中的微分方程組求解和迭代法的收斂性;圖像圖像(信息信息)處理中的壓縮存取處理中

9、的壓縮存取.本章主要涉及在矩陣理論中非常重要的矩陣本章主要涉及在矩陣理論中非常重要的矩陣相似對角化相似對角化問題問題.-17-設(shè)設(shè)A是是n階方陣階方陣, 如果數(shù)如果數(shù) 和和n維維列向量列向量x滿足滿足 則稱則稱 為為A的的, 非零向量非零向量x稱為稱為A的對應(yīng)于的對應(yīng)于( (或?qū)倩驅(qū)儆谟? )特征值特征值 的的。 把把(1)改寫為改寫為0 AE (2)的所有非零解向量都是對應(yīng)于的所有非零解向量都是對應(yīng)于 的特征向量的特征向量. 是是A的特征值的特征值)1(xAx )2(0)( xAE -18-nnnnnnaaaaaaaaaAEf 212222111211)(nnnnnnncccc)1()1(1

10、12211 稱為稱為 A 的的特征多項式特征多項式，而，而 稱為稱為 A 的的特征方程特征方程。0)( AEf -19-nnnaaa 221121)1( An 21)2(P117).)tr(2211跡跡稱為稱為AaaaAnn def nAA ,0321 可可逆逆-20-特征值、特征向量的求法（特征值、特征向量的求法（會求！會求?。? 1、特征值的求法、特征值的求法個個特特征征值值的的就就是是，的的根根nAAEn 210 2 2、特征向量的求法、特征向量的求法 riiXAE , 0,1得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系解解對特征值對特征值 所所對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為i 不不全全為為零零rrrkkkk

11、,111 -21-解：解：第一步：寫出矩陣第一步：寫出矩陣A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例：例： 求矩陣求矩陣的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.110430102A AE 1104300102 2210特征值為特征值為1232,1第二步：對每個特征值第二步：對每個特征值代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組 0,AE x 求非零解。求非零解。-22-齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時，時，12 20AE x系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 3102410100AE 100010000自由未知量自由未知量:3x120 xx令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:31x 1001p 111(

12、0k p k常數(shù)常數(shù))是對應(yīng)于是對應(yīng)于12 的全部特征向量。的全部特征向量。-23-齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時，時，231 0AE x 210420101AE 10101200013232xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2121p 222(0k p k常數(shù)常數(shù))是對應(yīng)于是對應(yīng)于231的全部特征向量。的全部特征向量。-24-例例5 (P120 例例8) 結(jié)論要記住，會用！結(jié)論要記住，會用！設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 A 的特征值的特征值, 對應(yīng)的一個特征向量對應(yīng)的一個特征向量 xxkxkAxAx)()()1( xxAxxAAxAxA22)2( 證明證明 (1) 是是 kA 的特征值，對應(yīng)的特

13、征向量仍為的特征值，對應(yīng)的特征向量仍為 x。 k(2) 是是 的特征值，對應(yīng)的特征向量仍為的特征值，對應(yīng)的特征向量仍為 x。2 2A(3) 當(dāng)當(dāng) A 可逆時，可逆時， 是是 的特征值，對應(yīng)的的特征值，對應(yīng)的1 1 A特征向量仍為特征向量仍為 x。證證 xxAxAxAAxA 1)3(1111 -25-：設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 A 的特征值，的特征值， 則則 是是 的特征值。的特征值。k kAmmaaaa 2210)(mmAaAaAaEaA 2210)( 的特征值。的特征值。是是-26-3,AA 設(shè)設(shè)的的一一個個特特征征值值為為 ，是是相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，則則2 2 11*211323444

14、565AEAAAAAA 的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為 1322182481322A5 .1921252設(shè)設(shè)A A是一個方陣是一個方陣 102030,kAEAA 如如果果，則則的的一一個個特特征征值值為為如如果果，則則的的一一個個特特征征值值為為如如果果則則的的特特征征值值必必為為 -10000kkA -27-例例6(P120 例例9)設(shè)設(shè)3階矩陣階矩陣A的三個特征值為的三個特征值為2 , 1, 1 求求EAA23 解解 A的特征值全不為零，故的特征值全不為

15、零，故A可逆?？赡?。112 AAAA, 2321 AEAAEAAA23223)(1 的三個特征值為的三個特征值為)3 , 2 , 1(232)(1 iiii 計算得計算得3)2(, 3)1(, 1)1( 93)3()1(23 EAA因此，因此，-28-例例7(P135 習(xí)題習(xí)題9)，設(shè)設(shè)OEAA 232證明證明A的特征值只能取的特征值只能取1或或2.設(shè)設(shè) 是是A的特征值，則的特征值，則 EAAA23)(2 的特征值為的特征值為23)(2 由于由于 是零矩陣，其特征值全是零，故是零矩陣，其特征值全是零，故)(A 21023)(2 或或-29-設(shè)設(shè)A，B都是都是n階矩陣，若有可逆矩陣階矩陣，若有可

16、逆矩陣P，使，使BAPP 1則稱則稱B是是A的相似矩陣，或說矩陣的相似矩陣，或說矩陣。記為。記為AB。稱稱P為相似變換矩陣。為相似變換矩陣。 如果如果A與對角矩陣相似與對角矩陣相似，則稱，則稱A是是。-30-性質(zhì)性質(zhì) （記住、會用）（記住、會用）)tr()tr(BA (1) 相似關(guān)系是一種等價關(guān)系相似關(guān)系是一種等價關(guān)系;(2) A與與B相似相似, 則則r(A)=r(B);(3) A與與B相似相似, 則則 ; 從而從而A與與B有相同的特征值有相同的特征值;(4) A與與B相似相似, 則則 ;(5) A與與B相似相似, 則則 ;BEAE BA -31-例例1 xA10100002 12yB(1)

17、與與相似，相似，求求x與與y和和A的特征值。的特征值。 11322002aA bB21(2) 與與相似，相似，求求a與與b。解解 (1) , )tr()tr(BA BA yyx22122 10yxA的特征值等于的特征值等于B的特征值為：的特征值為：1,1,2 -32-2 ba2, 0 ba(2)2)tr()tr( baBA2 baBAAaAAEfA )4()(tr)(23BEfB )(BbB )2()(tr23 11322002aA bB21-33- APP1 1 2 n 下面討論對角化的問題下面討論對角化的問題n階矩陣階矩陣A可對角化的充要條件是可對角化的充要條件是A有有n個線性無關(guān)個線性無

18、關(guān)的特征向量。的特征向量。(P123定理定理4 （重要（重要)-34- n 階矩陣階矩陣 A 如有如有 n 個不同的特征值，則個不同的特征值，則A 一定可一定可對角化。對角化。(P123定理定理4下下)-35-例例2(P125 例例11) 00111100 xA問問 x 為何值時，為何值時，A 可對角化？可對角化？ 11)1(011110 xAE2)1)(1( 11 是單重根，恰有一個特征向量是單重根，恰有一個特征向量(不需討論不需討論)。132 是二重根，是二重根，A可對角化可對角化123)r(2 AE 00010010110101101xxAE1 x-36-例例3(P135 習(xí)題習(xí)題17)

19、100,340430241AA求求 提示：提示：A 可對角化可對角化 5511APP.,)(312112 APPPPPPA1 PPA-37-對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交.(P124 定理定理6) 對稱矩陣的特征值必為實數(shù)。對稱矩陣的特征值必為實數(shù)。(證明自學(xué)證明自學(xué))從而特征向量可取到實的。從而特征向量可取到實的。(P124 定理定理5)-38-如果如果A是實對稱矩陣，則是實對稱矩陣，則A必可用正交必可用正交矩陣對角化。矩陣對角化。（重要）（重要） 即設(shè)即設(shè)A是對稱矩陣是對稱矩陣, 則存在正交矩陣則存在正交矩陣Q使得使得 AQQAQQT1 1 2

20、 n (P124定理定理7)-39-根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為對角矩陣，其具體步驟為：為：將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A 利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法（重要）利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法（重要）-40-例例1(P125 例例12) 011101110A把對稱矩陣把對稱矩陣 正交對角化。正交對角化。:求特征值。求特征值。 111111| AE 1111011)1( 21111001

21、)1( 2)1)(2( , 21 132 111101121 rr-41-:求線性無關(guān)的特征向量。求線性無關(guān)的特征向量。對對 ，解方程組，解方程組21 0)2( xAE求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系(即最大無關(guān)特征向量即最大無關(guān)特征向量) 1111 0001101012111211122AEr-42-132 對對 ，解方程組，解方程組0)( xAE 000000111111111111AEr求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系(即最大無關(guān)特征向量即最大無關(guān)特征向量) 101,01132 1111 前面的前面的?,21 ?,31 ?0,32 -43-:檢驗重特征值對應(yīng)的特征向量是否正交檢驗重特征值對應(yīng)的特征向量是

22、否正交, 如果不如果不 正交正交, 用施密特過程正交化用施密特過程正交化, 再把正交的特征向再把正交的特征向 量單位化。量單位化。 101,01132 22 2112110121011,2223233 -44-:把求得的規(guī)范正交特征向量拼成正交矩陣。把求得的規(guī)范正交特征向量拼成正交矩陣。單位化：單位化： 11131111 01121222 21161333 則則 1121APPAPPT令令 ,3, 21 P 62316121316121310-45-46- nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 稱為稱為二次型二次型. .的

23、的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個個變變量量含含有有定定義義nxxxn, 121一、二次型及其標準形的概念一、二次型及其標準形的概念-47-只含平方項的二次型只含平方項的二次型2222211nnxkxkxkf nnnxxkkxx111,稱為二次型的稱為二次型的。平方項系數(shù)只在平方項系數(shù)只在 中取值的標準形中取值的標準形0 , 1, 1 221221rppxxxxf 稱為二次型的稱為二次型的。-48-,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 則則于是于是2111121211 nna xa x xa x x1 1用和號表示用和號表示22212111222(,)nnnnf xxx

24、a xa xa x.1,xxajinjiij 1212131311222nna x xa x xa x x2323242422222 nna x xa x xax x(1)12 nnnnaxx2211222222 nna x xa xax x21122nnnnnnna x xax xa x-49-2 2用矩陣表示用矩陣表示（重要）（重要）nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnn

25、nnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(-50-., 為對稱矩陣為對稱矩陣其中其中則二次型可記作則二次型可記作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA記記 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,-51-一般地，對于一般地，對于n維的二次型維的二次型)(ijjiaa njijiijnxxaxxxf1,21,AxxT 上式稱為上式稱為。也常記為也常記為 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,(對稱對稱)其中其中AxxfAxx

26、xfTT 或或)(-52-對稱矩陣對稱矩陣A叫做叫做;f 叫做叫做;AxxxfT )(-53-解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩陣陣寫寫出出二二次次型型xxxxxxxf 例例-54- )1(,1,21 njijiijnxxaxxxf對給定的二次型對給定的二次型找可逆的線性變換找可逆的線性變換(坐標變換坐標變換)： nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111)(可逆可逆其中其中ijcC 代入代入(1)式，使之成為標準形式，使之成為標準形2222211nnykykykf 稱上面過程為稱上面過程為化二次型為標準形化二次型為標準形。-55-(P129 定理定理8) 總有總有任給二次型任給二次型,1,jiijnjijiijaaxxaf ,2222211nnyyyf .)(,21的特征值的特征值的矩陣的矩陣是是其中其中ijnaAf 化為標準形化為標準形使使正交變換正交變換fPyx, -56-用正交變換化二次型為標準形的步驟用正交變換化二次型為標