2012年廣東省南民私立中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 不等式的證明(一)

1、不等式的證明(一) 【知識(shí)點(diǎn)精講】1. 比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式： 比差法：要證a>b，只須證a-b>0。比商法：要證a>b且b>0，只須證 0。說(shuō)明：作差比較法證明不等式時(shí)， 通常是進(jìn)行因式分解，利用各因式的符號(hào)進(jìn)行判斷，或進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；一般地運(yùn)用比商法時(shí)要考慮正負(fù)，尤其是作為除式式子的值必須確定符號(hào)；證冪指數(shù)或乘積不等式時(shí)常用比商法，證對(duì)數(shù)不等式時(shí)常用比差法。2. 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法。證明時(shí)要注意字母是否為正和等號(hào)成立的條件?；静坏?/p>

2、式：(1)若則 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。 (2) (3)a,b同號(hào), 3. 分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式, 綜合法是分析法的逆過程4. 重點(diǎn)難點(diǎn): 作差比較法的順序是“作差-變形-判斷差式的正負(fù)”；作商比較法的順序是“作商-變形-判斷商式與1的大小”（注意商式的分子分母均正）；綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч薄?. 思維方式: 掌握證明不等式的常用方法，對(duì)較復(fù)雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以證明。

3、6. 特別注意: 在利用不等式的性質(zhì)或基本不等式時(shí)要注意等號(hào)、不等號(hào)成立的條件。【例題選講】例1、已知a,bR,求證: a2+b2+1>ab+a證明：p= a2+b2+1-ab-a=顯然p>0 得證思維點(diǎn)拔 作差比較法的順序是“作差-變形-判斷差式的正負(fù)”. 通常是進(jìn)行因式分解，利用各因式的符號(hào)進(jìn)行判斷，或進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷例2、設(shè)求證【分析】不等式兩端都是多項(xiàng)式的形式，故可用比差法證明或比商法證明。【證法一】左邊-右邊= = = = 原不等式成立?！咀C法二】左邊>0，右邊>0。 原不等式成立。思維點(diǎn)拔 用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差（或商）、變形、判

4、斷三個(gè)步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可以利用基本不等式放縮，如證法二。 例3、已知a,b,c為正數(shù)n,是正整數(shù),且f(n)=lg,求證2f(n)f(2n)證：2f(n)=2f(2n)= lg,由基本不等式知,三式相加得思維點(diǎn)拔 利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ),分析求證式子間的特點(diǎn)證明例4、設(shè)x>0,y>0且xy,求證證明：由x>0,y>0且xy,要證明只需 即只需由條件,顯然成立.原不等式成立思維點(diǎn)拔 分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”, 要注意書寫的格式練習(xí): .若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：【分析】根據(jù)本題的條件和要證明的結(jié)論，既可用分析法由可用綜合法?！咀C法一】（綜合法）：， 又a、b、c是不全相等的正數(shù)，有。 即【證法二】 （分析法）要證即證成立。只需證成立。，。 （*）又a、b、c是不全相等的正數(shù)，（*）式等號(hào)不成立。原不等式成立。例5、已知i，m，n是正整數(shù)，且1imn (I)證明niAimmiAin； 門)證明(1+m)n>(1+n)m 點(diǎn)評(píng)【課堂小結(jié)】不等式的比較法、綜合法、分析法合稱三種基本方法，是最常用的方法比較法：比差法：要證a>b，只須證a-b>0。比商法：要證a>b且b>0，只須證 0綜合法：證明時(shí)要注意字母取