豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題及應(yīng)用.

1、五、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動是典型的變速運(yùn)動，高中階段只分析通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況，經(jīng)?？疾榕R界狀態(tài)，其問題可分為以下兩種模型.一、兩種模型模型 1：“輕繩類”繩對小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力 (圓圈軌道問題可歸結(jié)為輕繩圖1圖2類 )，即只能沿某一個方向給物體力的作用，如圖1、圖 2 所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運(yùn)動過最高點(diǎn)的情況：(1) 臨界條件：在最高點(diǎn)，繩子 (或圓圈軌道 )對小球沒有力的作用， v0gR(2) 小球能通過最高點(diǎn)的條件：vgR ，當(dāng) vgR 時繩對球產(chǎn)生拉力，圓圈軌道對球產(chǎn)生向下的壓力.(3) 小球不能過最高點(diǎn)的條件：vgR ，實際上球還

2、沒到最高點(diǎn)就脫離了圓圈軌道，而做斜拋運(yùn)動.模型 2：“輕桿類”有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動過最高點(diǎn)的情況，如圖3 所示， (小球在圓環(huán)軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動的情況類似“輕桿類” ，如圖 4 所示， )：(1) 臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小增大，注意桿與繩不同，在最高點(diǎn)，桿對球既能產(chǎn)生拉力，也能對球產(chǎn)生支持力，還可對球的作用力為零 .小結(jié)如果小球帶電，且空間存在電磁場時，臨界條件應(yīng)是小球重力、電場力和洛倫茲力的合力作為向心力，此時臨界速度v gR ( 應(yīng)根據(jù)具體情況具體分析 )另外，若在月球上做圓周運(yùn)動則可將上述的g 換成 g月 ，若在其他天體上則把 g 換成 g 天體 .二、兩種

3、模型的應(yīng)用【例 1】如圖 5 所示，質(zhì)量為 m 的小球從光滑的圖 5斜面軌道的 A 點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為R 的豎直圓形軌道的最高點(diǎn) B 而做圓周運(yùn)動， 問 A 點(diǎn)的高度 h 至少應(yīng)為多少 ? 【解析】此題屬于“輕繩類” ，其中“恰能”是隱含條件，即小球在最高點(diǎn)的臨界速度是v臨界Rg ，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得 mgh mg 2 R1 mv臨界22把 v臨界Rg 代入上式得： hmin5 R 2【例 2】如圖 6 所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場中， 一個帶負(fù)電 q 、質(zhì)量為 m 且重力大于所受電場力的小球，從光滑的斜面軌道的A 點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為 R 的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)

4、 B 而做圓周運(yùn)動，問 A 點(diǎn)的高度 h 至少應(yīng)為多少 ?【解析】此題屬于“輕桿類”，帶電小球在圓形軌道的最高點(diǎn) B受到三個力作用 : 電場力 FqE ，方向豎直向上； 重力mg ；彈力 N ，方向豎直向下 由向心力公式，有vB2球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度 v0 0圖3圖4mgNqEmR要使小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn)(2) 小球過最高點(diǎn)時，輕桿對小球的彈力情況：當(dāng) v 0時，輕桿對小球有豎直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即Nmg ；當(dāng) 0 vgR 時，因 mgNm v2,則 Nmgm v2.RR輕桿對小球的支持力N 豎直向上，其大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是mgN0 當(dāng) vg

5、R 時， N0 ；22當(dāng) vgR 時，則 mg Nm v，即 Nm vmg ，RR桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而B 而做圓周運(yùn)動，說明小球此時處于臨界狀態(tài)， 其速率 vB 為圖 6臨界速度，臨界條件是 N0由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為v2Bm gq EmR根據(jù)動能定理，有(mgqE ) (h 2R)1mvB22解之得： h5 Rmin2說明 把式中的mgqE換成 m vB2，較容 易求出Rhmin5 R2【例 3】如圖 6 所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場中， 一個帶正電 q 、質(zhì)量為 m 且重力大于所受電場力的小球，從光滑的斜面軌道的A 點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為R 的豎

6、直圓形軌道的最高點(diǎn)B 而做圓周運(yùn)動，問A 點(diǎn)的高度h 至少應(yīng)為多少?【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使帶電小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn)B 而做圓周運(yùn)動， 說明小球此時處于臨界狀態(tài)， 其速率 vB 為臨界速度， 臨界條件是 N 0 由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為： mgqEm vB2R1 mvB2根據(jù)動能定理，有(mgqE ) ( h2R)2由上述二式解得：hmin5R2小結(jié) 上述兩題條件雖然不同，但結(jié)果相同， 為什么 ?因為電場力與重力做功具有相同的特點(diǎn)，重力做功僅與初、末位置的高度差有關(guān)；在勻強(qiáng)電場中，電場力做功也僅與沿電場力方向的距離差有關(guān)我們不妨可以這樣認(rèn)為，例 2

7、 中的“等效重力加速度 g1 ”比例1 中的重力加速度 g 減小，例 3 中的“等效重力加速度 g2 ”比例 1 中的重力加速度 g 增大例 2中 v臨界Rg1 ，mghmg 2R1 mv臨界2圖 7112；例 3 中 v臨界Rg2 ， mg2 h mg 22R1 mv臨界22把 v臨界 代入各自對應(yīng)的式子，結(jié)果mg1 、 mg2 分別都約去了，故 hmin5R 2【例 4】如圖 7 所示，一個帶正電 q 、質(zhì)量為 m 的電荷，從光滑的斜面軌道的 A 點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為R 的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B ( 圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場) ，問點(diǎn) A 的高度至少應(yīng)為多少 ?

8、【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn)B ，說明小球此時處于臨界狀態(tài)，其速率vB 為臨界速率，臨界條件是 N0 ，由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為mgqvB B m vB2Rmghmg 2R1 mvB2，2由式可得 :vBRqB(qB)24m2 g2mR因 vB 只能取正值，即 vBRqB(qB)24m2 g2mR2則 h2RR2qB(qB)24m2 gmin8m2 gR【例 5】如圖 8 所示，在豎直向下的均勻電場中，一個帶正電 q 、質(zhì)量為 m 的電荷，從光滑的斜面軌道的A 點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為R 的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B ( 圓弧

9、左半部分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場 ) ，問點(diǎn) A 的高度 h 至少應(yīng)為多少 ?【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn) B ，說明小球此時處于臨界狀圖 8態(tài)，其速率 vB 為臨界速率， 臨界條件是 N0 ，由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為mg qvB B qEmvB2R(mgqE ) (h2R)1 mvB22由式可得 :vBRqB(qB )24m (mgqE )2mR因 vB 只能取正值，即vBRqB(qB) 2 4m (mgqE )2mR則R22 4m2hmin2RqB(qB )qE )8m(mgqE)(mgR小結(jié)小球受到的洛倫茲力與軌道的彈力有相

10、同的特點(diǎn)，即都與速度v 的方向垂直，它們對小球都不做功，而臨界條件是N0 【例 6】如圖 9 所示，ABD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB 段是水平的，BD 段為半徑R 0.2m 的半圓，兩段軌道相切于 B 點(diǎn)，整個軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電圖 9場中，場強(qiáng)大小 E5.0 103 V/m . 一不帶電的絕緣小球甲，以速度v0 沿水平軌道向右運(yùn)動，與靜止在B 點(diǎn)帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為 m1.010 2 kg ，乙所帶電荷量q2.010 5 C ， g取 10m/s2 .( 水平軌道足夠長，甲、乙兩球 可視為質(zhì)點(diǎn)，整個運(yùn)動過程無電荷轉(zhuǎn)移)（ 1）甲乙兩球碰撞后，乙恰

11、能通過軌道的最高點(diǎn)D ，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B 點(diǎn)的距離；（ 2）在滿足 (1) 的條件下。求的甲的速度v0 ；A 和最低點(diǎn) B ，桿對小球 m 的作用力多大 ?圖 11圖 12【解析】此題屬于“輕桿類”若桿和小球 m 之間無相互作用力，那么小球做圓周運(yùn)動的向心力 僅 由 重 力 mg 提 供 ， 根據(jù) 牛 頓 第 二 定 律 ， 有 ：（ 3）若甲仍以速度 v0 向右運(yùn)動，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B 點(diǎn)的距mgmv2AL離范圍 .【解析】（ 1 ）在乙恰能通過軌道最高點(diǎn)的情況下，設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)速度為vD ，乙離開 D 點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時間為 t ，乙的落點(diǎn)

12、到B 點(diǎn)的距離為 x ，則mgqEvD2 2R1 mgqE2m()tR2mxvDt聯(lián)立得x0.4m（ 2 ）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v甲 、乙 ，根據(jù)動v量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有mv0mv甲mv乙1 mv021 mv甲21 mv乙2222聯(lián)立得v乙v0由動能定理，得mg2R11qE 2 RmvD2mv乙2 22聯(lián)立得v05(mgEq)R5m/sm2（ 3）設(shè)甲的質(zhì)量為 M ，碰撞后甲、乙的速度分別為vM 、vm ，根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有Mv0MvMmvm1 Mv021 MvM21 mvm2222聯(lián)立得 vm2Mv011Mm12由11 和 Mm ，可得v0m0v 2v設(shè)乙球過

13、D 點(diǎn)時速度為 vD'，由動能定理得mg 2R qE2R1 mvD'21 mvm21322聯(lián)立12 13得 2m/s vD'8m/s14設(shè) 乙 在 水 平 軌 道 上 的 落 點(diǎn) 距 B 點(diǎn) 的 距 離 x ' ， 有''15xvD t聯(lián)立 得：0.4m x1.6m14 15'【例 7】如圖 10 所示，桿長為 L ，一端固定一質(zhì)量為m 的小球，桿的質(zhì)量忽略不計， 整個系統(tǒng)繞桿的另一端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動 g 10m/s 2 求：(1) 小球在最高點(diǎn) A 的速度 vA 為多少時，才能使桿和小球 m 的作用圖 10力為零 ?(2) 小球在

14、最高點(diǎn) A 時，桿對小球的作用力 F 為拉力和推力時的臨界速度分別是多少 ?(3) 若 m0.5kg ， L0.5m， A0.4m/s，則在最高點(diǎn)v解得 vAgL(2) 若小球 m 在最高點(diǎn) A 時，受拉力 F ，受力如圖 11所示，由牛頓第二定律，有: Fmgm v12L解得 v1gLFLgLm若小球 m 在最高點(diǎn) A 時，受推力 F ，受力如圖 12 所示，由牛頓第二定律，有:mgF m v22L解得： v2gLFLgLm可見 vAgL 是桿對小球 m 的作用力 F 在推力和拉力之間突變的臨界速度(3) 桿長 L 0.5m時，臨界速度 v0gL2.2m/s ，vA 0.4m/s<v0

15、 ，桿對小球有推力 FA ，有 mg FA mvA2，4.84NL則A由A至B只有重力做功，機(jī)械能守F恒設(shè)B點(diǎn)所處水平面為參考平面,則1 mvA2mg 2L1 mvB2 ,22解得 vBvA24 gL 4.5m/s在最低點(diǎn) B ，小球 m 受拉力 FB ，由 FBmgm vB2m vB2L解得 FBmg25.3N L【例 8】如圖13 所示，光滑的圓管軌道AB 部分平直，BC 部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R 的半圓，圓管截面半徑 r ，有質(zhì)量為 m 、半徑比 r 略小的光滑小球以水平初速度度 v0 射入圓管 .(1) 若要小球能從 C 端出來，初速 v0 多大 ?(2) 在小球從 C 端出來瞬間

16、， 對管壁壓力有哪幾種典型情況，初速度 v0 各應(yīng)滿足什么條件 ?圖 13【解析】本題綜合考查了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動臨界問題；屬于“輕桿類” (1) 小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)的條件是vC 0 ，由機(jī)械能守恒，初速度應(yīng)滿足：1 mv02mg 2R ，即 v04gR2要使小球能從C 端出來，需vC0 ，所以入射速度 v04gR (2) 在小球從 C 端出來瞬間， 對管壁壓力有以三種典型情況：剛好對管壁無壓力，此時重力恰好充當(dāng)向心力，即2mgm vC .L由機(jī)械能守恒定律，知1 mv02mg 2 R1 mvC222聯(lián)立解得 :v05 gR對下管壁有壓力，應(yīng)有mgm vC2，相應(yīng)的入射速度v0 應(yīng)圖 14滿

17、足L4 gRv05gR 對上管壁有壓力，此時應(yīng)有mg m vC2，相應(yīng)的入射L速度 v0 應(yīng)滿足 v05gR小結(jié)本題中的小球不能做勻速圓周運(yùn)動，它的合力除最高點(diǎn)與最低點(diǎn)過圓心外，其他條件下均不過圓心，因而在一般位置處，圖 15圖 16它具有切向加速度 .【例 9】如圖14 所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑R ( 比細(xì)管的半徑大得多) ，在圖 19(2) 當(dāng) vgR ，因軌道對小球不能產(chǎn)生彈力，故此時小球?qū)偤妹撾x軌道做平拋運(yùn)動圖17圖18(3) 當(dāng) vgR ，小球已脫離凸半球最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動如圖 18 所示，小球若通過凹半球的最低點(diǎn)時速度只要v 0 即可由以上分析可知，通過

18、凸( 或凹 )半球最高點(diǎn) (或最低點(diǎn) )的臨界條件是小球速度0 vgR (或 v0 )【例 10】如圖 19 所示，汽車質(zhì)量為1.510 4 kg ，以不變速率通過凸形路面，路面半徑為15m，若汽車安全行駛，則汽車不脫離最高點(diǎn)的臨界速度為多少?若汽車達(dá)到臨界速度時將做何種運(yùn)動?水平運(yùn)動位移為多少 ?【解析】 (1) 此題屬于“輕繩類” ，即軌道只能沿某一方向給物體作用力，臨界條件為汽車對軌道壓力N0 ，則汽車不脫離最高點(diǎn)的臨界速度為v0 ，則有：mgm v02，可得 v0gR ；R(2)當(dāng) v0gR 時，汽車在軌道最高點(diǎn)僅受重力作用，且有初速度gR ，故做平拋運(yùn)動，則R1gt 202， x v

19、 t , 可得 : x2R 【例 11】小明站在水平地面上，圓管中有兩個直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球A、B ，質(zhì)量分別為 mA、mB ，沿環(huán)形管順時針運(yùn)動，當(dāng)A 球運(yùn)動到最低點(diǎn)時，速度為vA ， B 球恰到最高點(diǎn)，若要此時圓管的合力為零，B 的速度 vB 為多大？【解析】本題綜合考察了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動臨界問題的分析，屬于“輕桿類” 在最低點(diǎn)對 A 球進(jìn)行受力分析，如圖 15 所示，應(yīng)用牛頓第二定律有2NAmA gmA vAR手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為 m 的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時，繩突然斷掉，球飛離水平距離 d 后落地， 如圖 20 所

20、示已知握繩的手離地面高度為 d ，手與球之間的繩長為3 d ，重力加速度為4圖 20g 忽略手的運(yùn)動由牛頓第三定律，球A 對管有向下的壓力N A 'N A ，根據(jù)題意 NA 'N B ' , 即球 B 對對管有向上的壓力NB '，球 B 受力情況，如圖16 所示，由牛頓第三定律，管對球 B 有向下的壓力B ,NB'NB ，對球 B 應(yīng)用牛頓第N二定律，有： NB mB gmBv2N B,由于 NAR聯(lián)立可得 vBmA vA2( mA1)gRmBmB三、小球在凸、凹半球上運(yùn)動如圖 17 所示，小球在凸半球上最高點(diǎn)運(yùn)動時：(1) 當(dāng) 0vgR ，小球不會脫離凸半球且能通過凸半球的最高點(diǎn)半徑和空氣阻力（ 1）求繩斷時球的速度大小