線面角的求法總結(jié).

1、線面角的三種求法1直接法：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段， 垂線段， 斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例 1 （ 如圖 1 ）四面體 ABCS 中，SA,SB,SC兩兩垂直， SBA=45° , SBC=60°,M為AB 的中點(diǎn)，求（1） BC 與平面 SAB 所成的角。（ 2）SC 與平面 ABC 所成的角。解: （ 1） SC SB,SC SA,CHSBMA圖 1 SC平面 SAB 故 SB 是斜線 BC 在平面 SAB 上的射影， SBC 是直線 BC 與平面

2、SAB 所成的角為 60°。（ 2） 連結(jié) SM,CM ，則 SMAB,又 SC AB, AB 平面 SCM,面 ABC 面 SCM過 S 作 SH CM 于 H,則 SH平面 ABC CH 即為 SC 在面 ABC 內(nèi)的射影。 SCH 為 SC與平面 ABC 所成的角。sin SCH=SH SC SC 與平面ABC所成的角的正弦值為77（“垂線”是相對(duì)的，SC 是面SAB 的垂線，又是面ABC的斜線 . 作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，其思路是： 先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。 ）2. 利用公式 sin =h 其中 是斜線與平面所成的

3、角，h是 垂線段的長， 是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)， 為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的長。例2（如圖2）長方體 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4，求 AB 與面 AB 1 C1DDC32AB4HD 1C 1A1B 1所成的角的正弦值。解：設(shè)點(diǎn)B 到 AB 1C1D 的距離為h, V B AB 1C1 =V A BB 1C1 13 S AB 1C1·h= 13SBB 1C1·AB ，易得 h=12 5設(shè) AB 與 面 A B 1C1D 所成的角為 , 則 sin=hAB=4 5圖23.

4、 利用公式 cos =cos 1·cos 2已知，如圖，AO 是平面的斜線，A 是斜足， OB 垂直于平面， B 為垂足，則直線 AB 是斜線在平面內(nèi)的射影。 設(shè) AC 是平面內(nèi)的任意一條直線，且BCAC ，垂足為 C ，又設(shè) AO 與 AB 所成角為1 ， AB 與 AC 所成O角為2 ， AO 與 AC 所成角為，則易知：| AB | | AO | cos 1 ， | AC | | AB | cos 2| AO | cos 1 cos 2又 | AC | | AO |cos，可以得到： cosAcos 1 cos 2 ，注意： 2 (0,)2B12C易得： coscos 1又 ,

5、 1(0, ) 即可得：12則可以得到：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角；（最小角定理）例 3（如圖 4） 已知直線OA,OB,OC兩兩所成的角為60°, ，求直線OA 與 面 OBC 所成的角的余弦值。解： AOB= AOC OA 在面 OBC 內(nèi)的射影在BOC 的平分線 OD 上，則 AOD 即為 OA 與面 OBC 所成的角，可知 DOC=30° ,cosAOC=cos AOD· cos DOC cos60°=cosAOD· cos30° cos AOD=3 3 OA 與 面

6、 OBC 所成的角的余弦值為3 3。AB ODC圖 4練習(xí) 如圖，在正方體AC1 中，求面對(duì)角線A1B 與對(duì)角面 BB1D1 D 所成的角。解（法一）連結(jié) AC與BD 交于O，連結(jié) OB ，1111 DD1AC11 ， B1D1AC1 1 ， AO1平面 BB1D1D ，D1C1 A1 BO 是 A1B 與對(duì)角面 BB1D1D 所成的角，OA1在Rt A1 BO中，1，A1BO 30B1A1O2 A1B（法二）由法一得A1 BO 是 A1B 與對(duì)角面 BB1D1D 所成的角，D2B1 B6C又 cos A BBcos45B BO， cos，1121BO3ABcosA1 BB123 ， ABO

7、cosA1 BO230 cosB1 BO6213【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1. 直線和平面的位置關(guān)系一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有如下三種關(guān)系：(1) 直線在平面內(nèi)直線上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)公理1，如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，那么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).直線 a 在平面 內(nèi)，記作 a .(2) 直線和平面相交直線和平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn).記作 a A(3) 直線和平面平行如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這條直線和這個(gè)平面平行 . 記作 a .直線和平面相交或平行兩種情況統(tǒng)稱直線在平面外，記作a .2. 直線和平面平行的判定判定如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直

8、線和這個(gè)平面平行 .( 簡記“線線平行，則線面平行”)即a b,a， ba 證明直線和平面平行的方法有：依定義采用反證法利用線面平行的判定定理面面平行的性質(zhì)定理也可證明3. 直線和平面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，條直線就和交線平行( 簡記為“線面平行，線線平行”).即a ,a ， ba b.這為證線線平行積累了方法：排除異面與相交公理 4線面平行的性質(zhì)定理那么這【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】本節(jié)重點(diǎn)是直線與平面的三種位置關(guān)系， 直線和平面平行的判定和性質(zhì)， 難點(diǎn)是直線和平面平行的性質(zhì)的應(yīng)用 .例 1 如圖， ABCD和 ABEF均為平行四邊形， M為對(duì)角線

9、 AC上的一點(diǎn)， N 為對(duì)角線 FB 上的一點(diǎn)，且有 AM FN ACBF，求證： MN平面 CBE.分析 ：欲證MN平面CBE，當(dāng)然還是需要證明MN平行于平面題目上所給的是線段成比例的關(guān)系，因此本題必須通過三角形相似，能達(dá)到“線線平行”到“線面平行”的轉(zhuǎn)化.證：連 AN并延長交BE的延長線于P.BE AF，BNPFNA.CBE內(nèi)的一條直線才行 . 由比例關(guān)系的變通， 才，則.即.又，. MN CP，CP 平面 CBE. MN平面 CBE.例 2 一直線分別平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與它們的交線平行已知： a,l ,l . 求證： l a.分析 ：由線面平行推出線線平行，再由線線平行推出線

10、面平行，定和性質(zhì) .證明 ：過 l 作平面交 于 b. l ，由性質(zhì)定理知l b.過 l 作平面交 于 c. l ，由性質(zhì)定理知l c.b c，顯然 c . b .反復(fù)應(yīng)用線面平行的判又b ， =a，ba.又l b. l a.評(píng)注 ：本題在證明過程中注意文字語言、符號(hào)語言，圖形語言的轉(zhuǎn)換和使用.例 3如圖，在正四棱錐SABCD中， P 在 SC上， Q在 SB 上， R 在 SD上，且 SP PC 1 2， SQ SB 2 3， SRRD 21. 求證： SA平面 PQR.分析 ：根據(jù)直線和平面平行的判定定理，必須在平面PQR內(nèi)找一條直線與AS 平行即可 .證：連 AC、BD，設(shè)交于 O，連

11、SO，連 RQ交 SO于 M，取 SC中點(diǎn) N，連 ON，那么 ON SA. RQBD 而PM ON SAON. SA PM,PM 平面 PQR SA平面 PQR.評(píng)析 ：利用平幾中的平行線截比例線段定理.三角形的中位線性質(zhì)等知識(shí)促成“線線平行”向“線面平行”的轉(zhuǎn)化.例 4證明：過平面上一點(diǎn)而與這平面的一條平行線平行的直線，在這平面上.證明如圖，設(shè)直線a平面 ，點(diǎn) A ,A 直線b,b a，欲證 b . 事實(shí)上，b a，可確定平面 ， 與 有公共點(diǎn) A， ，B 交于過 A 的直線 c， a , a c，從而在 上有三條直線，其中 b、 c 均過點(diǎn) A 且都與 a 平行 . 于是 b、 c 重合

12、，即 b .【難題巧解點(diǎn)撥】例 1 S 是空間四邊形 ABCD的對(duì)角線 BD上任意一點(diǎn)， E、F 分別在 AD、CD上，且 AE AD CF CD， BE 與 AS相交于 R， BF 與 SC相交于 Q.求證： EF RQ.證在ADC中，因 AE AD CF CD，故 EFAC，而 AC平面 ACS，故 EF平面 ACS.而 RQ平面 ACS平面 RQEF，故 EFRQ(線面平行性質(zhì)定理).例 2 已知正方體 ABCD A B C D中，面對(duì)角線 AB、 BC上分別有兩點(diǎn) E、 F 且 B E C F 求證： EF平面 AC.分析如圖，欲證EF平面 AC，可證與平面AC內(nèi)的一條直線平行，也可以

13、證明所在平面與平面AC平行 .證法 1過 E、 F 分別做 AB、 BC的垂線 EM、 FN交 AB、BC于 M、N，連接 MN BB平面ACBB AB， BB BCEF EMAB， FNBC EMFN， AB BC， B E C F AEBF 又 B AB C BC 45° Rt AME Rt BNF EMFN四邊形 MNFE是平行四邊形 EFMN又 MN 平面 AC EF平面 AC證法 2過 E作 EGAB交 BB于 G，連 GF B E C F，B A C BFG B C BC又 EG FG G,AB BCB平面 EFG平面 AC又 EF 平面 EFG EF平面 AC例 3如圖

14、，四邊形 EFGH為四面體A BCD的一個(gè)截面， 若截面為平行四邊形，求證：(1)AB 平面 EFGH；(2)CD 平面 EFGH證明： (1) EFGH為平行四邊形，EF HG， HG 平面 ABD， EF平面 ABD. EF 平面 ABC，平面 ABD平面 ABC AB. EFAB， AB平面 EFGH.(2) 同理可證： CD EH， CD平面 EFGH.評(píng)析： 由線線平行線面平行線線平行 .【課本難題解答】1. 求證：如果兩條平行線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條也和這個(gè)平面相交.已知： a b,a A，求證： b 和 相交 .證明： 假設(shè) b 或 b .若 b， b a， a .這

15、與 a A 矛盾， b 不成立 .若 b ，設(shè)過 a、 b 的平面與 交于 c. b , b c, 又 a b a c a 這與 a A 矛盾 . b 不成立 . b 與 相交 .2. 求證：如果兩個(gè)相交平面分別經(jīng)過兩條平行直線中的一條， 那么它們的交線和這條直線平行 .已知： a b,a求證： c a b， b ， c.【命題趨勢(shì)分析】本節(jié)主要掌握直線和平面的位置關(guān)系的判定，直線與平面平行的證明與應(yīng)用，中?？嫉膬?nèi)容，難度適中，因此學(xué)習(xí)好本節(jié)內(nèi)容至關(guān)重要.它是高考【典型熱點(diǎn)考題】例 1在下列命題中，真命題是()A. 若直線 m、 n 都平行平面 ，則 m n;B. 設(shè) l 是直二面角，若直線m

16、 l ，則 m n，m ；C. 若直線 m、n 在平面 內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且m n，則n 在 內(nèi)或n 與 平行；D. 設(shè) m、 n 是異面直線，若m和平面 平行，則 n 與 相交 .解對(duì)于直線的平行有傳遞性，而兩直線與平面的平行沒有傳遞性故與平面垂直可得出線面垂直，要一直線在一平面內(nèi)且垂直于交線，而B 中故不正確；對(duì)D 來說存在平面同時(shí)和兩異面直線平行，故不正確；應(yīng)選C.A 不正確；平面m不一定在 內(nèi)，例 2設(shè) a、 b 是兩條異面直線，在下列命題中正確的是(A. 有且僅有一條直線與a、 b 都垂直B. 有一平面與a、 b 都垂直C. 過直線 a 有且僅有一平面與b 平行D. 過空間中任一點(diǎn)必可作一條直線與a、 b 都相交解因?yàn)榕c異面直線a、 b 的公垂線平行的直線有無數(shù)條，所以a、b 都垂直，則ab 不可能，所以B 不對(duì) . 若空間的一點(diǎn)與直線a( 或)A 不對(duì)；若有平面與b) 確定的平面與另一條直線