多面體的外接球問(wèn)題(word文檔良心出品)

1、多面體的外接球問(wèn)題題型一直角四面體的外接球補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑1三棱錐 PABC 中，ABC 為等邊三角形，PAPBPC2 ， PAPB ，三棱錐 PABC 的外接球的表面積為（）A48B12C43D323解析 :由題意得： PA,PB,PC 兩兩相互垂直，以 PA, PB, PC 為邊補(bǔ)成一個(gè)正方體，其外接球就為三棱錐 P ABC 的外接球，半徑為 3 ，表面積為 4 ( 3) 2 12 ，選 BC2. 在正三棱錐球的表面積為AC3. 在正三棱錐ABCD 中， E, F 分別是 AB, BC 的中點(diǎn)， EFDE ，若 BC2，則 ABCD 外接B2C3D4SABC 中， M

2、, N 分別是 SC, BC 的中點(diǎn)，且MN AM ，若側(cè)棱 SA 23 ，則正三棱錐 SABC 外接球的表面積為A12B32C36D484.（ 2019 全國(guó) 1 理 12）已知三棱錐P- ABC 的四個(gè)頂點(diǎn)在球O 的球面上， PA=PB=PC， ABC 是邊長(zhǎng)為 2的正三角形， E，F(xiàn) 分別是 PA， AB 的中點(diǎn)， CEF =90°，則球 O 的體積為A8646C26D6B5.設(shè) A，B， C， D 是半徑為 2 的球面上的四個(gè)不同點(diǎn)，且滿足 AB·AC 0， AD·AC 0， AB·AD 0，用 S1、S2 、S3 分別表示 ABC、 ACD 、

3、 ABD 的面積，則 S1 S2S3 的最大值是 _答案8解析 由AB·AC 0，AD ·AC 0， AB·AD 0， AB AC， AD AC，ABAD，由點(diǎn) A， B，C，D 構(gòu)成的三棱錐，可以補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體， 該長(zhǎng)方體的外接球半徑為2222AB2 AC22， AB AC AD (2 2) 16，即22222AD AC AB AD 16 AB·AC AB·AD AC·AD ， S S S 1122123(AB·AC AB ·AD AC·AD)22× 16，當(dāng)且僅當(dāng) AB AC AD 43時(shí)

4、， S S S 取得最大值 8.3123題型二等腰四面體的外接球補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體相對(duì)面的對(duì)角線為等腰四面體的相對(duì)棱1在四面體 ABCD 中，若 ABCD3， ACBD2，AD BC5 ，則四面體 ABCD 的外接球的表面積為 ()A 2B 4C 6D 8解：如下圖所示，將四面體ABCD 放在長(zhǎng)方體AEBFGCHD 內(nèi)，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x 、 y 、 z ，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為長(zhǎng)方體的外接球直徑，設(shè)該長(zhǎng)方體的外接球半徑為R ，2223ABxy222由勾股定理得 AC 2x2z24 ，上述三個(gè)等式全加得，2( xyz ) 12AD 2y2z251所以，該四面體的外接球直徑為2Rx

5、2y2z26 ，因此，四面體 ABCD 的外接球的表面積為4R2(2 R)26，故選： C2，D四點(diǎn)在半徑為52 的球面上，且ACBD5，ADBC41 ，AB CD，則AB C2三棱錐 DABC 的體積是 _ 【答案】 2DABC ，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、秒殺法：根據(jù)題意構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面上的對(duì)角線構(gòu)成三棱錐a2b225高分別為 a，b，c ，則有a2c241，解得 a4， b3 ， c5 ，所以三棱錐的體積為 4 3 5a2b2c250 4 11 43 5 2032點(diǎn)撥：3.在三棱錐 SABC中，底面 ABC的每個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩所成的角之和均為180°，ABC的三條邊長(zhǎng)分別

6、為 AB=3，AC= 5 ，BC=6，則三棱錐 SABC 的體積（）A2 2B10C 22D 4233解：底面 ABC的每個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩所成的角之和均為180°，三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面ABC全等三棱錐 SABC可看做是面對(duì)角線分別為3,5,6 的長(zhǎng)方體沿著面對(duì)角線切去四個(gè)小棱錐x2y23x21得到的幾何體設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為x, y, z ，則 x2z25，解得 y22， xyz2 2y 2z26z24三棱錐的體積 V xyz11 xyz41 xyz22故選 C3233題型三有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形組成的三棱錐，球心在公共斜邊的中點(diǎn)處C1. 在矩形 ABCD 中， AB 4， B

7、C 3，沿 AC 將矩形 ABCD 折成一個(gè)直二面角BACD ，則四面體 ABCD 的外接球的體積為A.125B.125C.125D.12512963222222解：由于 SA=AC=SB=BC= ，SC=2，則 SA +AC =SC，SB +BC =SC，即有 SAAC，SB BC，取 SC的中點(diǎn) O，連接 OA，OB，則由直角三角形的斜邊上的中線即為斜邊的一半，可得 OA=OB=OC=OS=1，即有球的半徑 r 為 1，則球的體積為=故選： B2B2. 三棱錐 SABC 的所有頂點(diǎn)都在球O 的球面上， 且 SAACSBBC22，SC 4，則該球的體積為A256B32C16D6433解析：D

8、3在四面體 SABC 中， ABBC, ABBC2, SASC2 ，二面角 SACB 的余弦值是3），則該四面體外接球的表面積是（366824AB6CDA4. 在平面四邊形ABCD 中， ABADCD1， BD2， BDCD ，將其沿對(duì)角線 BD 折成四面體 A'BCD ，使平面 A' BD平面 BCD ，若四面體 A'BCD 頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為A3B3C2D223225平行四邊形 ABCD中， AB · BD =0，沿 BD將四邊形折起成直二面角A一 BDC，且 2ABBD4，則三棱錐 A BCD的外接球的表面積為（）A2BC 4D2ABB

9、D04ABBDABCDBD,ABCD分析：,所以, 因?yàn)闉槠叫兴倪呅?所以CD. 因?yàn)锳BD C為直二面角 , 所以 面 ABD面 CBD, 因?yàn)?面 ABD面CBD=BD, AB面 ABD, ABBD ,所以AB面 CBD. 因?yàn)?BC面 CBD, 所以 ABBC . 分析可知三棱錐ABCD 的外接球的球心為AC 的中22222222點(diǎn).因?yàn)锳 CA BB CA (BCD ) B2DAB 4CDAC 2.則三棱錐, 所 以ABCD 的外接球的半徑為1, 表面積為4.故 C正確.6 已知直角梯形ABCDABAD，CDAD，AB2AD2CD2，沿AC 折疊成三棱錐，當(dāng)三棱，錐體積最大時(shí)，三棱錐外

10、接球的體積為 4AB2， AD，1CD13解：如圖，2， BCAC，E，ABAC2，BC. 取AC的 中 點(diǎn)的 中 點(diǎn)O，連結(jié) DE， OE，D C AA C B當(dāng)三棱錐體積最大，平面平 面，OB OA OC OD， OB 1即為外接球的半徑.此時(shí)三棱錐外接球的體積： 4R34333題型四側(cè)棱垂直于地面或側(cè)面垂直于地面過(guò)底面外心做垂線，球心有垂線上1.已知四面體PABC ,其中ABC 是邊長(zhǎng)為 6 的等邊三角形 , PA平面 ABC , PA4 ,則四面體P ABC 外接球的表面積為 _ 64解： ABC是邊長(zhǎng)為6 的等邊三角形，PA平面 ABC，PA=4， ABC 的外接圓的半徑為2 3 ，

11、四面體 PABC外接球的半徑為=4四面體PABC外接球的表面積為4 ?42=64 故答案為： 64 D2.已知三棱錐ABCD 中，ABACBDCD2 , BC2AD ,直線 AD 底面 BCD 所成的角是則此時(shí)三棱錐外接球的體積是()A824282BC3D333.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的（）A外接球的半徑為3B表面積為731 C體積為3D外接球的表面積為 43解：由三視圖可知，這是側(cè)面ACDABC，高 DE3 的三棱錐， AC=2， BE=1，所以三棱錐的體積為11330，半徑為 x，則 OE3x32，設(shè)外接球的圓心為23在直角三角形OEC中， OE

12、2+CE2=OC2，即 ( 3x)21 x2 ，整理得 323xx2 1x2 ，解得半徑 x2 3，所以外接球的表面積為， 4 x2 16所以 A， C， D 都不正確，故選 B33題型五其中一條側(cè)棱滿足某個(gè)特殊的條件1.已知三棱錐 ABCD 中， ABACBDCD2 , BC 2AD ,直線 AD 底面 BCD 所成的角是則此時(shí)三棱錐外接球的體積是()，3，3A824282BC3D33選 D(太原 2016 屆高三上學(xué)期考試）0在四面體 ABCD 中，已知ADBBDCCDA 60，AD，2 ，則四面體 ABCDBD3CD的外接球的半徑為（）A 2ABCDB 2C3ND 3ABD解：設(shè)四面體O

13、，則 O 在過(guò) ABD的外心且垂直于平面的垂線上由題的外接球球心為4設(shè)知， ABD 是正三角形，則點(diǎn)N 為 ABD 的中心設(shè) P，M 分別為 AB，CD的中 點(diǎn)，則 N 在 DP上， 且 ON DP， OMCD 因?yàn)?CDA=CDB= ADB=60°，設(shè) CD與平面 ABD所成角為 ，12=1，DN=23cos= ， sin = 在 DMN 中， DM=DP333由余弦定理得 MN1 3 2121 33MN3 故球 O的半徑 R3 故選： D四邊形 DMON 的外接圓的半徑 ODsin鞏固提高：1如圖，圓形紙片的圓心為O ，半徑為 6cm ，該紙片上的正方形ABCD 的中心為 O E

14、 ， F ， G ， H 為圓 O 上的點(diǎn)，ABE ，BCF ，CDG ，ADH 分別是以 AB ， BC ， CD ， DA 為底邊的等腰三角形沿虛線剪開(kāi)后，分別以AB ， BC ， CD ， DA 為折痕折起ABE，BCF ，CDG ，ADH ，使得 E ， F ，G ， H 重合得到一個(gè)四棱錐當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2 倍時(shí)，該四棱錐的外接球的表面積為()A16B 25C 64D 1003333解：連接 OE 交 AB與 I ，E，F(xiàn) ，G ，H 重合為 P，得到一個(gè)正四棱錐，設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 x 則OIx ， IE6x 由四棱錐的側(cè)面積是底面積的2 倍，可得 4x(6x

15、 )2x2 ，2222解得 x4 設(shè)外接球的球心為Q ，半徑為 R ，可得 OC2 2，OP42222 3 ，R2(23R)2(2 2)2 解得 R5 3該四棱錐的外接球的表面積S 4(5)210033故選： D52已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， CD 邊的中點(diǎn)為 E ，現(xiàn)將ADE ，BCE 分別沿 AE ， BE 折起，使得 C ，D 兩點(diǎn)重合為一點(diǎn)記為P ，則四面體 PABE 外接球的表面積是 ()A17B 19C 19D 17121233解：如圖， PEPA， PEPB，PE1， PAB 是邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形，設(shè) H 是PAB 的中心， OH平面 PAB ， O 是外接球的球心

16、，則 OH1PE1， PH2 3，則R2OP 2OH 2PH 219 22312故四面體 P ABE 外接球的表面積是 S4 R219故選： C 33在梯形ABCD 中， AB / /CD ， ADAB， AB 4， ADCD2 ，將梯形 ABCD 沿對(duì)角線AC 折疊成三棱錐 DABC ，當(dāng)二面角 DAC B 是直二面角時(shí)，三棱錐DABC 的外接球的表面積為 ()A 4B 8C 12D 16解：如圖： AB4， AD CD2 ，AC2 2，BC 22 ，取 AC 的中點(diǎn) E， AB 的中點(diǎn) O ，連結(jié)DE，OE，平面 DCA 平面 ACB ， DEAC,DE平面 ACB ，DE2，OE2， O

17、D2 ，OBOA OC OD，OB 2 ，即外接球的半徑為2，此時(shí)三棱錐外接球的表面積為42216 故選： D 64.已知三棱錐PABC 的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為3 的球面上，ABAC ，則該三棱錐體積的最大值是解：設(shè) ABm ， ACn ，則 S ABC1mn , ABC 的外接圓直徑 BCm2n22取 BC 的中點(diǎn) M ，則當(dāng) PM 平面 ABC 時(shí)，三棱錐的體積最大1 1mn ( 9m2n21 m2n 2( 9m2n2此時(shí)球心 O 在 PM 上， Vmax243) ,43)334令 tm2n2，則 f (t )1 t( 9 t3) ， f (t )1 ( 9 ttt3)43329由 f (t

18、 )0 ，解得 t 0（舍 ) ， t8 ， f (t ) 在 (0,8) 遞增，在(8,9) 遞減故 f （ 8）最大，為32 ，所以三棱錐 P ABC 的最大體積為 32335.已知 P, A, B,C 是半徑為 2的球面上的點(diǎn)， PAPBPC2，ABC，點(diǎn) B 在 AC 上的射影為D ，則三棱錐 PABD 體積的最大值為 _.2【分析】 P 在平面上的射影G 為 ABC 的外心， 即 G 為 AC 中點(diǎn)，球的球心在PG 的延長(zhǎng)線上， 設(shè) PG h，則 OG 2 h，求出 h 1，則 AG CG，過(guò) B 作 BD AC 于 D，設(shè) AD x，則 CD 2 x，設(shè) BD y，由 BDC ADB ，得，從而 y，則，令 f（ x） x4+2，則，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出三棱錐PABD 體積的最大值解：如圖，根據(jù)題意得PAPBPC 2， ABC 90°， P， A， B， C 是半徑為 2 的球面上的點(diǎn)， PAPB PC2，ABC，點(diǎn) B 在 AC 上的射影為 D， P 在平面上的射影G 為 ABC 的外心，即 G 為2AC 中點(diǎn)，則球的球心在PG 的延長(zhǎng)線上， 設(shè) PG h，則 OG 2h， OB27OG2 PB2 PG2，即 4（ 2 h） 2 4 h2，