1.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)性1ppt課件

1、多元函數(shù)的極限與連續(xù)性二重極限累次極限與一元函數(shù)的極限相類似， 二元函數(shù)的極限 同樣是二元函數(shù)微積分的基礎. 但因自變量個數(shù) 的增多, 導致多元函數(shù)的極限有重極限與累次極 限兩種形式, 而累次極限是一元函數(shù)情形下所不會出現(xiàn)的. 一、二重極限 f2RD 0P定義定義1 1 設二元函數(shù)設二元函數(shù) 定義在定義在上上, , 為為 D D 的的 一個聚點一個聚點, A , A 是一實數(shù)是一實數(shù). . 假設假設0,0, 使得當使得當 0(;)PUPD 時時, 都有都有 |( )|,f PA 0lim( ).PPPDf PA f0PP則稱則稱在在 D D 受騙受騙時以時以 A A 為極限為極限, , 記記作

2、作 0lim( ).PPf PA 0P00( , ),(,)x yxy當當 P, 分別用坐標分別用坐標 表示時表示時, 上式也上式也 常寫作常寫作 00( ,)(,)lim( ,).x yxyf x yA 例例1 依定義驗依定義驗證證22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy 證證 因為因為 227xxyy22(4)2(1)xxyy 簡記為簡記為|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy |2|2|1|3|.xxyyy 不妨先限制在點不妨先限制在點(2, 1)(2, 1)的方鄰域的方鄰域 ( ,) |2|1, |1|1x yxy內來討論內來討論, , 于是有于是有|3|1

3、4|1|45,yyy |2|(2)(1)5|xyxy|2|1|57.xy2277|2|5|1|xxyyxy 7(|2|1|).xy 0,min (1,),14 取取|2|, |1|xy 當當( ,)(2,1)x y 且且 時時, 就有就有 2277214.xxyy 這就證得這就證得 22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy 所以所以例例2 2 設設 2222( ,)(0, 0),( ,)0,( ,)(0, 0),xyxyx yf x yxyx y， 證明證明( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 證證(證法一證法一) 0, 由由222222222202xyxyxyxyx

4、yxy 222211(),22xyxy可知可知 222 ,0,xy 當當時時 便便有有22220,xyxyxy 故故( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 注意注意 不要把上面的估計式錯寫成：不要把上面的估計式錯寫成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy ( ,)(0, 0)x y ( ,)(0, 0),x y 因為因為的過程只要求的過程只要求 即即 220,xy0.xy 而并不要求而并不要求 (證法二證法二) 作極坐標變換作極坐標變換 cos ,sin .xryr 這時這時 2222|( ,)0|xyf x yxyxy 2211|sin4 |,44rr (

5、 ,)(0, 0)x y 0r 等價于等價于( 對任何對任何 ). 由于由于 因而，因而，220,2,rxy 只只須須對任何對任何 都有都有 2( ,)(0,0)1|( ,)0|,lim( ,)0.4x yf x yrf x y 即即下述定理及其推論相當于一元函數(shù)極限的海涅歸下述定理及其推論相當于一元函數(shù)極限的海涅歸結原則結原則(而且證明方法也相類似而且證明方法也相類似). 定理定理10lim( )PPP Df PA 的充要條件是：對于的充要條件是：對于 D 的的 任一子集任一子集 E,E,只要只要 仍是仍是 E E 的聚點的聚點, ,就有就有0P0lim( ).PPP Ef PA 1ED 0

6、1lim( )PPP Ef P 推論推論1 假設假設, P0 是是 E1 的聚點的聚點, 使使 不存在不存在, 那么那么0lim( )PPP Df P 也不存在也不存在 001212lim()lim()PPPPP EP Ef PAf PA 與與120,E ED P 推論推論2 假設假設 是它們的聚點，使得是它們的聚點，使得12AA 0lim( )PPP Df P 都存在，但都存在，但, 那么那么不存在不存在推論推論3 極限極限 0lim( )PPP Df P 存在的充要條件是：存在的充要條件是：D 中任中任 一滿足條件一滿足條件00lim,nnnnPPPPP且點列且點列的的 它所它所 對應的函

7、數(shù)列對應的函數(shù)列()nf P都收斂都收斂 下面三個例子是它們的應用下面三個例子是它們的應用 22( ,)xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例例3 討論討論當當時是否時是否存在極限存在極限( 注注: 本題結論很重要本題結論很重要, 以后常會用到以后常會用到. ) 解解 當動點當動點 (x, y) 沿著直線沿著直線 而趨于定點而趨于定點 (0, 0) ymx時，由于時，由于2( ,)( ,)1mf x yf x mxm , 因此有因此有 2( ,)(0,0)0lim( ,)lim( ,).1x yxymxmf x yf x mxm 這說明動點沿不同斜率這說明動點沿不同斜率 m 的直線

8、趨于原點時的直線趨于原點時, 對應對應 的極限值不相同，因而所討論的極限不存在的極限值不相同，因而所討論的極限不存在210,( ,)0yxxf x y ，, ,， 其其余余部部分分. .4例例設設如圖如圖 16-15 所示所示, 當當 (x, y) 沿任何直線趨于原點時沿任何直線趨于原點時, 相應的相應的 ( ,)f x y都趨于都趨于 0, 但這并不表明此函數(shù)在但這并不表明此函數(shù)在 ( , )(0, 0)x y 時的極限為時的極限為 0. 因為當因為當 (x, y) 沿拋物線沿拋物線 2(01)ykxk ( ,)f x y 趨于點趨于點 O 時時, 將趨于將趨于1. 所所以極限以極限 ( ,

9、 )(0,0)lim( , )x yf x y不存在不存在. ( , )xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例例5 討論討論在在 時不時不 存在極限存在極限 解解 利用定理利用定理 1的推論的推論 2, 需要找出兩條路徑需要找出兩條路徑, 沿沿 著此二路徑而使著此二路徑而使 ( ,)(0, 0)x y 時時, 得到兩個相異得到兩個相異 的極限的極限 第一條路徑簡單地取第一條路徑簡單地取,yx 此時有此時有 2( , )(0,0)0()limlim0.2x yxyxxyxxyx 第二條路徑可考慮能使第二條路徑可考慮能使( , )xyf x yxy 的分子與的分子與 分母化為同階的無窮

10、小分母化為同階的無窮小, 導致極限不為導致極限不為 0. 按此思路按此思路 的一種有效選擇的一種有效選擇, 是取是取 2.yxx 此時得到此時得到 222( , )(0,0)00()()limlimlim(1)1,x yxxyxxxyx xxxxyx 這就達到了預期的目的這就達到了預期的目的 ( 非正常極限非正常極限 ) 的定義的定義 定義定義2 設設 D 為二元函數(shù)為二元函數(shù)f的定義域，的定義域， 000(,)P xy是是 D 的一個聚點的一個聚點. 假設假設 0,0,M 使得使得 0( ,)(;),( , ),P x yUPDf x yM 都有都有0PP 則稱則稱 f在在 D 受騙受騙 時

11、時, 有非正常極限有非正常極限 , 記作記作 00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x y ( , )f x y 下面再給出當下面再給出當 時時, 000( , )(,)P x yP xy或或 0lim( ).PPf P 仿此可類似地定義：仿此可類似地定義：00lim()lim().PPPPf Pf P 與與例例6 設設 221( ,)23f x yxy . 證明證明 ( ,)(0,0)lim( ,).x yf x y 證證 此函數(shù)的圖象見后面的圖此函數(shù)的圖象見后面的圖. 2222234()xyxy 0,M 因因 , 故對故對只需取只需取 2211,022xyMM 當時，就有當時，就

12、有22221123,.23xyMMxy 即即這就證得結果這就證得結果 二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿, 特特 同同, 這里不再一一敘述這里不再一一敘述.( , )f x y( )f P看作點函數(shù)看作點函數(shù)別把別把 時時, 相應的證法也相相應的證法也相 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放二、累次極限是以任何方式趨于是以任何方式趨于 這種極限也稱為重這種極限也稱為重 00(,),xy的的極限極限. 下面要考察下面要考察 x 與與 y 依一定的先后順序依一定的先后順序, 相繼趨相繼趨 在上面討論的

13、在上面討論的00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y中中, 自變量自變量 ( , )x y0 x于于 與與 時時 f 的極限的極限, 這種極限稱為累次極限這種極限稱為累次極限. 0y定義定義3 ( , ),( , ),f x yx yDDxy設設在在軸軸、 軸軸上上的的投投000,.(),xyX YyY yy分分別別是是的的聚聚點點 若若對對每每一一個個,XY影影分分別別為為、即即|( , ),|( , ),Xxx yDYyx yD0( )lim( ,);xxyf x y 如果進一步還存在極限如果進一步還存在極限 0lim( ),yyLy 累次極限累次極限, 記作記作 0()xx0

14、()yy則稱此則稱此 L 為為 先對先對 后對后對的的 ( , )f x y0lim( ,)xxf x y，它一般與它一般與 y 有關有關, 記作記作 存在極限存在極限00lim lim( ,).yy xxLf x y 類似地可以定義先對類似地可以定義先對 y 后對后對 x 的累次極限的累次極限: 00lim lim( ,).xxyyKf x y 注注 累次極限與重極限是兩個不同的概念累次極限與重極限是兩個不同的概念, 兩者之間兩者之間沒有蘊涵關系沒有蘊涵關系. 下面三個例子將說明這一點下面三個例子將說明這一點. 22( ,)xyf x yxy ( , )f x y例例7 設設 . 由例由例

15、3 曉得曉得 當當( , )(0, 0)x y 0y 時的重極限不存在時的重極限不存在. 但當?shù)敃r時, 有有 220lim0,xxyxy 從而又有從而又有 2200limlim0.yxxyxy 同理可得同理可得 這說明這說明 f 的兩個累次極限都存在而且相等的兩個累次極限都存在而且相等. 2200limlim0.xyxyxy 累次極限分別為累次極限分別為 例例8 設設 , 它關于原點的兩個它關于原點的兩個 22( , )xyxyf x yxy2220000limlimlimlim(1)1,yxyyxyxyyyyxyy 2220000limlimlimlim(1)1.xyxxxyxyxxxxy

16、x 當沿斜率不同的直線當沿斜率不同的直線,( ,)(0, 0)ymxx y 時時, 有有 訴我們訴我們, 這個結果是必然的這個結果是必然的. ) 22( , )(0,0)1lim,1x yymxxyxymxym 因此該函數(shù)的重極限不存在因此該函數(shù)的重極限不存在. ( 下面的定理下面的定理 2 將告將告 例例 設設11( ,)sinsinf x yxyyx, 它關于原點的兩它關于原點的兩 個累次極限都不存在個累次極限都不存在. 這是因為對任何這是因為對任何 0,y 而而當當0 x 時時, f 的第二項不存在極限的第二項不存在極限. 同理同理, f 的第一的第一 項當項當 時也不存在極限時也不存在

17、極限. 但是由于但是由于 0y 11sinsin|,xyxyyx ( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 故按定義知道故按定義知道 時時 f 的重極限存在的重極限存在, 且且 ( , )(0,0)x y 下述定理告訴我們下述定理告訴我們: 重極限與累次極限在一定條件重極限與累次極限在一定條件 下也是有聯(lián)系的下也是有聯(lián)系的. 定理定理2 假設假設 f (x, y) 的重極限的重極限 與與 00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y累次極限累次極限 00lim lim( ,)xxyyf x y都存在都存在, 則兩者必定相等則兩者必定相等. 證證 設設 00( ,)(,)li

18、m( ,),x yxyf x yA 0,0,0( ,)(;)P x yUP 那那么么使得當使得當時時, , 有有|( , )|.(1)f x yA 00|(2)xx 的的 x, 存在極限存在極限 另由存在累次極限之假設另由存在累次極限之假設, 對任一滿足不等式對任一滿足不等式 0lim( ,)( ).(3)yyf x yx |( )|.(4)xA0yy回到不等式回到不等式(1), 讓其中讓其中, 由由 (3) 可得可得故由故由 (2), (4) 兩式兩式, 證得證得0lim( )xxxA , 即即0000( ,)(,)lim lim( ,)lim( ,).xx yyx yxyf x yf x

19、yA 由這個定理立即導出如下兩個便于應用的推論由這個定理立即導出如下兩個便于應用的推論. 00lim lim( ,)xxyyf x y00lim lim( ,)yy xxf x y, 推論推論1 若重極限若重極限 和累次極限和累次極限 00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y都存在都存在, 則三者必定相等則三者必定相等. 推論推論2 若累次極限若累次極限0000lim lim( ,)lim lim( ,)xxyyyy xxf x yf x y與與都存在但不相等都存在但不相等, 則重極限則重極限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y必定必定 不存在不存在. 請注意請注意

20、: (i) 定理定理 2 保證了在重極限與一個累次保證了在重極限與一個累次 極限都存在時極限都存在時, 它們必相等它們必相等. 但對另一個累次極限的但對另一個累次極限的 存在性卻得不出什么結論存在性卻得不出什么結論(ii) 推論推論 1 給出了累次極限次序可交換的一個充分給出了累次極限次序可交換的一個充分條件條件. (iii) 推論推論 2 可被用來否定重極限的存在性可被用來否定重極限的存在性(如例如例8 ). 0000( , )(,)()f x yP xyUP在點的某鄰域內在點的某鄰域內 例例10 設設 ,:有定義 且滿足有定義 且滿足0lim( ,)( );xxf x yy 00(i)()

21、,UPyy 在在內內, ,對對每每個個存存在在極極限限 0(ii)()UPx在在內內, ,關關于于一一致致地地存存在在極極限限 0lim( ,)( ).yyf x yx 試證明試證明: 0000lim lim( ,)lim lim( ,).xxyyyy xxf x yf x y 證證 01 (lim( )0,(ii),yyyA 證證明明存存在在由由條條件件00,0|(xyy 對對一一切切存存在在公公共共的的只只要要并并0( , )() ),x yUP 使使便便有有|( , )( )|.2f x yx 00|,yy 于于是是當當時時 又又有有|( , )( ,)|( , )( )|f x yf

22、x yf x yx |( ,)( )|.f x yx 0,(i)xx再再令令由由條條件件又又得得|( )()|.yy 根據(jù)柯西準則根據(jù)柯西準則, 證得證得0lim( ).yyyA 存存在在02 (lim( )0,xxxA 證證明明由由|( )|( )( , )|xAxf x y |( , )( )|( )|,f x yyyA 1 0( , )(),x yUPy 當且與當且與利用條件利用條件 (ii) 與結論與結論 , 0y,充分接近時 可使充分接近時 可使|( )( , )|, |( )|;33xf x yyA0,(i),0,0|,yxx 再再將將固固定定 由由條條件件當當時時又有又有00lim( )lim( ).xxyyxy |( )|,xA即即這就證得這就證得|( , )( )|;3f x yy 注注 本例給出了二累次極限相等的又一充分條件本例給出了二累次極限相等的又一充分條件. 與與 定理定理16. 6 的推論的推論1 相比較相比較, 在這里的條