不定積分第二換元法

1、數(shù)一 景薇方 412114000216數(shù)二 李夢晗 412114000404不定積分的第二換元法Theorem (定理定理)Th : 設(shè) 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且 , 又設(shè) 具有原函數(shù)，則有換元公式 其中， 是 的反函數(shù)。 )(1d)d(xttttxxf)(tx )(-1xt)(tx 第一步：令 ,則上式變?yōu)?；第二步：求微分 ,所以上式變?yōu)?；第三步：在函數(shù) 的積分容易求得的時(shí)候： tttfd)()()(tx )(1d)()()d(xttttfxxftttfd)()()(d)(ttfMethod (方法)方法具體步驟說明對于求解不定積分對于求解不定積分xxf)d(ttt)d()(dClas

2、sify (分類)三角代換倒代換根式代換Classify (分類)三角代換倒代換根式代換三角代換22xa,令令 或或tacosx 雙曲代換雙曲代換 雙曲函數(shù)的恒等式雙曲函數(shù)的恒等式 ,chsh122xx xx22sh1ch 以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.回代時(shí),一定要借助輔助三角形.一般規(guī)律:當(dāng)被積函數(shù)中含有22xa,令令 或或 或或22ax,令令 或或 或或tsecax tacotx 1shch22 xxtacsc x t chax t shax 123tsinax ttanax 例題研背景研究方案研究成果xaxd122ttasecasectd12t輔助三角形ax2

3、2ax解解 : 令令atantx ttasecxdd222,tlnaC|axx|ln122Eg1Eg1： 求求)(d1220axax122Caxaaxlntsect d1C|tantsect|lnCsintcostta)(22Ctsinta)221(22例題研背景研究方案研究成果Eg2Eg2: 求求)(d0axxa22解解: 令令 taxsin ttaxdcosd 2,2 tCxaxaxarcsina22222tx22xa atacosttsinaaxxadd22222ttcosattcosad221d222Csintcostta)(22axaxa22axarcsinCsintcostta)(

4、22例題C|axx|lnxax2222d1利用相應(yīng)的三角變換利用相應(yīng)的三角變換, ,還可得到還可得到重要公式重要公式xaxd22C|axx|lnaaxx2222222asectx 相仿地相仿地, ,通過變換通過變換可算出可算出注注倒代換 一些一些情況下情況下( (如被積函數(shù)是分式如被積函數(shù)是分式, ,分母的方分母的方冪冪較高時(shí)較高時(shí)) )，倒，倒代換代換 可可用用來消去分母中的變量來消去分母中的變量. .tx1例題例例 求求 xxxd2)(17tx1ttxd1d2 解解xxxd)2(17 ttttd12127 tttd2176Cxx |ln21|2|ln1417C|t|ln7211417721)2d(1141tt根式代換(其中其中n為為各根指數(shù)的各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx 注注當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí),可采用令例例xxxd)(113xxxd)(113ttttd)(16235tttd1622tttd111622ttd11162令令6tx ttxd6d5解Carctantt6Cxarctanx666例例 求求xexd11解解 令令t.tt