五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展

1、【五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展】趣味入門一勇闖智慧島（二）余數(shù)定理溫馨提示：該文檔包含本課程的講義和課后測(cè)試題， 課后測(cè)試題即每一部分內(nèi)容 對(duì)應(yīng)的“課后練習(xí)”。了解余數(shù)定理，會(huì)用余數(shù)定理解題1.掌握余數(shù)定理2,掌握同余定理本節(jié)例題1. 1014除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是13。求出符合條件的所有的兩位數(shù)。2 .甲、乙兩數(shù)的和是 1086,甲數(shù)除以乙數(shù)商 11余30,求甲、乙兩數(shù)。3 .在2004, 2007, 2009, 2010, 2012中，若其中幾個(gè)數(shù)的和被 9除余7,則將這幾個(gè) 數(shù)歸為一組。這小¥的數(shù)組共有 組。（即是該課程的課后測(cè)試）1,用某自然數(shù)a去除1992,得到商是46,余數(shù)是r ,

2、求a和r2. 1013除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是 12.求出符合條件的所有的兩位數(shù)3,甲、乙兩數(shù)的和是1088,甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32,求甲、乙兩數(shù)4. 一個(gè)兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)5,有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是17,余數(shù)是13,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113,則被除數(shù)是多少?參考答案1 .因?yàn)?1992是 a的 46倍還多 r ,得至ij 1992 + 46=43.14,得 192 46 43 14 ，所以 a =43 , r =142 . 101312=1001, 1001=7x11x13,那么符合條件的所有的兩位數(shù)有11,13,77,91,因?yàn)椤坝鄶?shù)小于除數(shù)”，所以

3、舍去11,答案只有13,77,913 .因?yàn)?甲=乙父11+32,所以 甲+乙=乙區(qū)11+32+乙=乙乂12 + 32 = 1088；則乙=(108832)+12 =88 ,甲=1088乙=10004 .本題為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型， 需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)， 就是把余數(shù)問題-即“不 整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余數(shù)的差” ，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273 ,說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而 273=3X 7X 13,所求的 兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比 37大，符合條件的有 39, 91.5 .被除數(shù) 十除

4、數(shù)十商十余數(shù)=被除數(shù)+除數(shù)+17+13=2113,所以被除數(shù) +除數(shù)=2083,由 于被除數(shù)是除數(shù)的17倍還多13,則由“和倍問題”可得：除數(shù) =(2083-13 ) +(17+1) =115,所以被除數(shù) =2083-115=1968【五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展】趣味入門一勇闖智慧島(二)余數(shù)定理(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解余數(shù)定理，會(huì)用余數(shù)定理解題1.掌握余數(shù)定理2.掌握同余定理本節(jié)例題1 . 求478X296X 351除以17的余數(shù)。2 .著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中， 第2008個(gè)數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？3 .有一串?dāng)?shù)：1, 1, 2, 3, 5, 8,，在

5、這串?dāng)?shù)的前2009個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)是5的倍數(shù)？4 .有一個(gè)自然數(shù)，除 345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33.求這個(gè)數(shù)是多少？（即是該課程的課后測(cè)試）1 . （2002年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 ）兩數(shù)相除，商4余8,被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、 余數(shù)四數(shù)之和等于 415,則被除數(shù)是 2 .用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933,求這2個(gè)自然數(shù)各是多少？3. （2000年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）三個(gè)不同的自然數(shù)的和為 2001,它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個(gè)數(shù)是 ,。4. （2004 年福州市“迎春杯”小學(xué)數(shù)

6、學(xué)競(jìng)賽試題）一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時(shí)所得到的商是余數(shù)的 3倍，這個(gè)自然數(shù)是 .5. 一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6,除以11所得的余數(shù)是6,求這個(gè)兩位數(shù)參考答案,1 .因?yàn)楸怀龜?shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為 （4154一88）。（4+1）=79,所以，被除數(shù)為 79M 4+8 =324。2 .本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為x,y ,可以得到lx =40 y 16x y 40 16 =933解方程組得x =856x 856,即這兩個(gè)自然數(shù)分別是y =21856, 21.3 .設(shè)所得的商為 a,除數(shù)為 b. (19a+b

7、)+(23a+b)+(31a+b) =2001 , 73a+3b =2001,由 b<19,可求得 a=27, b =10 .所以，這三個(gè)數(shù)分別是19a+b = 523, 23a + b = 631,31a+b =847。4設(shè)這個(gè)自然數(shù)除以 11余a (0 wa <11),除以9余b (0 Wb <9)，則有11a + a =9父3b+ b , 即3a =7b ,只有a =7, b=3,所以這個(gè)自然數(shù)為 12M7=84。5.因?yàn)橐粋€(gè)兩位數(shù)除以13的商是6,所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于13x6 = 78 ,并且小于13 M(6 +1)=91 ;又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以11余6,而78除以

8、11余1，這個(gè)兩位數(shù)為78 + 5 = 83【五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展】趣味入門一勇闖智慧島(二)余數(shù)定理(3)學(xué)刃目標(biāo)了解余數(shù)定理，會(huì)用余數(shù)定理解題1.掌握余數(shù)定理2.掌握同余定理1 .若兩個(gè)數(shù)a, b除以同一個(gè)數(shù) m得到的余數(shù)相同，則 a, b的差一定能被 m整除。2 .有一個(gè)大于1的整數(shù)，除45, 59, 101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù)。3 . 有一個(gè)整數(shù)，除39, 51, 147所得的余數(shù)都是 3,求這個(gè)數(shù)。4 .有一個(gè)自然數(shù)，除 345和543所得的余數(shù)相同，且商相差 33。求這個(gè)數(shù)是多少？課后練習(xí)1 .有一個(gè)大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù)2 .有一個(gè)整數(shù)，除3

9、9,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個(gè)數(shù)3 .已知2008被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10,那么這樣的自然數(shù)共有多少個(gè)？4 .在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)？(余數(shù)可以為0)5 .一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19參考答案后所得到的商與余數(shù)的和.那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？1.這個(gè)題沒有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).10145=56, 5945=1

10、4, (56,14)=14, 14的約數(shù)有1,2,7,14 ,所以這個(gè)數(shù)可能為 2,7,14。2 .答案：39-3 =36, 1473=144, (36,144)=12, 12 的約數(shù)是 1,2,3,4,6,12 ,因?yàn)橛鄶?shù)為 3 要小 于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是4,6,12 ;3 .本題為一道余數(shù)與約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式的小綜合性題目。由題意所求的自然數(shù)一定是2008-10即1998的約數(shù)，同時(shí)還要滿足大于 10這個(gè)條件。這樣題目就轉(zhuǎn)化為 1998有多少 個(gè)大于10的約數(shù)，1998=2父33父37,共有(1 + 1) X (3+1) X (1 + 1) =16個(gè)約數(shù)，其中1 , 2, 3, 6, 9是比10

11、小的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有 11個(gè)。4 .我們知道18, 33的最小公倍數(shù)為18 , 33=198 ,所以每198個(gè)數(shù)一次.1198之間只有1, 2, 3,，17, 198(余O)這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù) 相同，而999+ 198=59,所以共有 5X18+9=99個(gè)這樣的數(shù).5.設(shè)這個(gè)三位數(shù)為s,它除以17和19的商分別為a和b,余數(shù)分別為 m和n,則s=17a +m =19b +n.根據(jù)題意可知a +m =b + n ,所以 s-(a+m) = s-(b + n),即 16a = 18b ,得8a =9b .所以a是9的倍數(shù)，b是8的倍數(shù).此時(shí)，由a + m = b

12、+ n知-81n-m=a_b=a_-a=-a .99由于s為三位數(shù)，最小為100,最大為999,所以100w17a+mw999,而1WmH ,所以 17a+1 <17a +m<999 , 100<17a+ m<17a+16 ,得至U 5<a<58,而 a是9的倍數(shù)，所以a最小為9,最大為54.1當(dāng)a =54時(shí)，n m= a 6 ,而nE18,所以mE12,故此時(shí)s最大為 917x54 +12=930;1當(dāng)a =9時(shí)，nm=a=1,由于m1,所以此時(shí)s取小為17M9+1 =154 . 9所以這樣的三位數(shù)中最大的是930,最小的是154.【五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展】趣

13、味入門一勇闖智慧島（二）余數(shù)定理（4）學(xué)刃目標(biāo)了解余數(shù)定理，會(huì)用余數(shù)定理解題1.掌握余數(shù)定理2,掌握同余定理1,若2836, 4582, 5164, 6522四個(gè)自然數(shù)都被同一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為 兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為2,有一個(gè)整數(shù)，用它去除70, 110, 160所得到的3個(gè)余數(shù)之和是 50,那么這個(gè)整數(shù)課后練習(xí)3.用自然數(shù)n去除63, 91, 129得到的三個(gè)余數(shù)之和為25,那么n=。答（即是該課程的課后測(cè)試）1 .兩位自然數(shù)ab與ba除以7都余1,并且a>b,求而父而.2 .學(xué)校新買來118個(gè)乒乓球，67個(gè)乒乓球拍和33個(gè)乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平 分給每個(gè)班級(jí)，那

14、么這三種物品剩下的數(shù)量相同.請(qǐng)問學(xué)校共有多少個(gè)班？3 .在除13511, 13903及14589時(shí)能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是 . 2003 .2-4 . 2 與2003的和除以7的余數(shù)是 .參考答案5 .號(hào)碼分別為101,126,173,193 的4個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每?jī)扇吮荣惖谋P數(shù) 是他們號(hào)碼的和被 3除所得的余數(shù).那么打球盤數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打了多少盤？1. ab -ba能被7整除，即（10a +b） （10b +a） =9 乂 （a b）能被7整除.所以只能有ab = 7 , 那么ab可能為92和81 ,驗(yàn)算可得當(dāng)ab =92時(shí)，ba =29滿足題目要求， ab a=9 2 29=

15、26682 .所求班級(jí)數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù).那么可知該數(shù)應(yīng)該為118-67=51和67 -33 =34的公約數(shù)，所求答案為173 .因?yàn)?1390313511 =392 , 1458913903=686,由于 13511, 13903, 14589 要被同一個(gè) 數(shù)除時(shí)，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個(gè)數(shù)整除.（392,686）=98,所以所求的最大整數(shù)是98.4 .找規(guī)律.用 7 除 2,22,23 ,24, 25 ,26 ,的余數(shù)分別是2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4,1, ,2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用 7除的余數(shù)為1; 2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的

16、 余數(shù)為2; 2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)，用7除的余數(shù)為4.因?yàn)? 2003 = 23次7電，所以220°3除 以7余4.又兩個(gè)數(shù)的積除以 7的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同.而 2003除以7余1,所以20032除以7余1 .故22003與20032的和除以7的余數(shù)是4+1=5 .5.本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計(jì)算 101 , 126, 173, 193除以3的余數(shù)分別為2, 0, 2, 1。那么任意兩名運(yùn)動(dòng)員的比賽盤數(shù)只需要用2, 0, 2, 1兩兩相加除以3即可。顯然126運(yùn)動(dòng)員打5盤是最多的?！疚迥昙?jí)數(shù)學(xué)思維拓展】趣味入門一勇闖智慧島（二）完全平方數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)認(rèn)

17、識(shí)完全平方數(shù)認(rèn)識(shí)完全平方數(shù)1.2.完全平方數(shù)的性質(zhì)完全平方數(shù)的解題技巧3.1. 1 + 1X2+1X2X3+1X2X3X 4+1X2X3X4X5 這個(gè)算式的得數(shù)能否是某個(gè)數(shù)的平方?2.我們知道：121=11： 12321 = 111： 1234321 = 11112都是完全平方數(shù)。那么， 121+ 12321 + 1234321+ + 12345678987654321 是不是完全平方數(shù)？3.判斷下面哪個(gè)是完全平方數(shù)? 108 224 625(4) 1033（即是該課程的課后測(cè)試）1,簡(jiǎn)答題：什么是完全平方數(shù)？2 .寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)3 . 一個(gè)數(shù)的完全平方有 39

18、個(gè)約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是多少？4 .從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以 72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？5 . 1016與正整數(shù)a的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，則 a的最小值是 參考答案1 .答案：把一個(gè)自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。2 . 一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)（次數(shù)）加1后所得的乘積.如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后為23 X 52 X 7，所以它的約數(shù)有（3+1） X（2+1） X （1+1）=4 X 3X2=24個(gè).（包括 1 和它自身）如果某個(gè)自然數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的所有質(zhì)因子的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)個(gè),這樣它們加1后均是奇數(shù)，所得的

19、乘積才能是奇數(shù),而所有質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)均是偶數(shù)個(gè)的 數(shù)為完全平方數(shù),即完全平方數(shù)（除0外）有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，反過來，有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù) 一定是完全平方數(shù).由以上分析知，我們所求的為360630之間有多少個(gè)完全平方數(shù)？18X 18=324,19 X 19=361,25 X 25=625,26 X 26=676,所以在 360630 之間的完全平 方數(shù)為 192,202,212,222,232,242,252.即360至IJ 630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)為361,400,441,484,529,576,625.3.設(shè)該數(shù)為P1a1父p2a2MMM PE，那么它的平方就是Pl2a1父P22a2刈IB Pl

20、",因此(2ai +1 )<(2a2 +1 p|M(2an +1 )=39 .由于 39 =1x39=3x13,所以，2al +1=3,2a2+1 =13 ,可得a1=1,a2 =6 ；故該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為（1 +1 y（6 +1 ）=14個(gè)；或者，2a1 +1 =39 ,可得a=19 ,那么該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為 19+1 =20個(gè) 所以這個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為 14個(gè)或者20個(gè).4完全平方數(shù)，其所有質(zhì)因數(shù)必定成對(duì)出現(xiàn).一32而72 =2父3 =2父6 M 6,所以滿足條件的數(shù)必為某個(gè)完全平萬(wàn)數(shù)的2倍,由于 2x31x31 =1922<2008<2父 32父 32= 2048

21、所以 2父12、2x222 . 一 一_.、 一. .2X31都滿足題意，即所求的?t足條件的數(shù)共有31個(gè).所以至少2)5.先將1016分解質(zhì)因數(shù)：1016=23父127,由于1016xa是一個(gè)完全平方數(shù)，為24父1272 ,故a最小為2 M127 =254【五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展】趣味入門一勇闖智慧島（二）完全平方數(shù)1學(xué)習(xí)目標(biāo)認(rèn)識(shí)完全平方數(shù)認(rèn)識(shí)完全平方數(shù)1.2.完全平方數(shù)的性質(zhì)3.完全平方數(shù)的解題技巧本節(jié)例題1 .觀察這組數(shù)1, 11, 111, 1111其中1是完全平方數(shù)，除1以外，你還能找到其它完全平方數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)給出一個(gè)。如果不能，請(qǐng)說明理由。2 .判斷下面各數(shù)是完全平方數(shù)嗎？ 136

22、6 3486000 625 （4） 786333 .兩個(gè)自然數(shù)的和是 75,它們的最大公約數(shù)是 25,試求這兩個(gè)數(shù)。4 . 1 100以內(nèi)的100個(gè)自然數(shù)中，質(zhì)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)的數(shù)有多少個(gè)？（即是該課程的課后測(cè)試）1 .已知 恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是。2 .已知自然數(shù)n滿足：12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，則n的最小值是。3 .考慮下列32個(gè)數(shù)：1!, 2!, 3!,，32!,請(qǐng)你去掉其中的一個(gè)數(shù)，使得其余各數(shù)的乘積為一個(gè)完全平方數(shù)，劃去的那個(gè)數(shù)是4 . A是一個(gè)兩位數(shù)，它的 6倍是一個(gè)三位數(shù) B,如果把B放在A的左邊或者右邊得到兩個(gè) 不同的五位數(shù)，并且這兩個(gè)五位數(shù)的差是一個(gè)完全平方數(shù)（

23、整數(shù)的平方），那么A的所有可能取值之和為。5 .已知ABCA是一個(gè)四位數(shù)，若兩位數(shù) 而是一個(gè)質(zhì)數(shù)，BC是一個(gè)完全平方數(shù)，CA是 一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為 1的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是 .參考答案1. 35 28 = 23父32父72 ,要使3528a是某個(gè)自然數(shù)的平方，必須使3528a各個(gè)不同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，由于其中質(zhì)因子3和7各有2個(gè)，質(zhì)因子2有3個(gè)，所以a為2可以使3528a是完全平方數(shù)，故 a至少為2.2 .先將12!分解質(zhì)因數(shù)：12!=210 M35 M52父7父11 ,由于12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)， 那么這個(gè)完全平方數(shù)是 12!的約數(shù)，那么最大可以為 210父34

24、父52,所以n最小為12!+（210父34父52）=3h7乂11=231.本題也可以這樣想，既然12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，12!的質(zhì)因數(shù)分解式中3, 7, 11的哥次是奇數(shù)，所以 n的最小值是3711=231.3 .設(shè)這32個(gè)數(shù)的乘積為A.A=1! 2! 3! 32! =(1!)2 2 (3!)2 4 (31!)2 3222_16=(1!父3!父|W31!)2 x(2 乂4-“I義32) =(1腎3兇H 乂 31!)2K2 x16!,所以，只要?jiǎng)澣?6!這個(gè)數(shù)，即可使得其余各數(shù)的乘積為一個(gè)完全平方數(shù).另外，由于16!=16黑15!,而16也是完全平方數(shù)，所以劃去15!也滿足題意.4.如果

25、把B放在A的左邊，得到的五位數(shù)為 100B+A=601A;如果把B放在A的 右邊，得到的五位數(shù)為 1000A+B=1006A;這兩個(gè)數(shù)的差為 1006A 601A = 405A ,是 一個(gè)完全平方數(shù)，而 405 =92父5 ,所以A是5與一個(gè)完全平方數(shù)的乘積.A又是一個(gè)兩位數(shù)，所以可以為5 M 22、 5 M32、5 M 42 , A的所有可能取值之和為 _2_2_25 25 35 4 =1455.本題綜合利用數(shù)論知識(shí)，因?yàn)锳B是一個(gè)質(zhì)數(shù)，所以B不能為偶數(shù)，且同時(shí)玩是一個(gè)完全平方數(shù)，則符合條件的數(shù)僅有16和36,所以可以確定 B為1或3, 0=6.由于CA是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為1的完全平方數(shù)之積

26、，在 6169中只有63和68符合條件，那么 A為3或8.那么AB可能為31, 33, 81 , 83,其中是質(zhì)數(shù)的有 31和83,所以滿足條件的四 位數(shù)有3163和8368.【五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展】趣味入門一勇闖智慧島(二)完全平方數(shù)(3)學(xué)刃目標(biāo)認(rèn)識(shí)完全平方數(shù)1 .認(rèn)識(shí)完全平方數(shù)2,完全平方數(shù)的性質(zhì)3 .完全平方數(shù)的解題技巧1. 123456787654321X (1 + 2+ 3+4 + 5 + 6+7+8+7+ 6+5+4+3+ 2+ 1)是 的平方。2. 1 2+ 22 + 32+ 20092+ 20102除以4的余數(shù)是多少？3.14444,問n等于多少，得到的數(shù)字是一個(gè)完全平方數(shù)？4

27、. 120與一個(gè)自然數(shù)的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)最小值是多少?Ir課后練習(xí)1 .三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，中間一個(gè)是完全平方數(shù)，將這樣的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積稱為“美妙數(shù)”.問：所有小于2008的美妙數(shù)的最大公約數(shù)是多少？2,記S =(1 22父3 WBn) +(4k +3),這里n>3.當(dāng)k在1至100之間取正整數(shù)值時(shí)， 有 個(gè)不同的k,使得S是一個(gè)正整數(shù)的平方.3.稱能表示成1+2+3+| + k的形式的自然數(shù)為三角數(shù).有一個(gè)四位數(shù) N,它既是三 角數(shù)，又是完全平方數(shù).則 N =.4.自然數(shù)的平方按大小排成1,4,9,16,25,36,49,，問：第612個(gè)位置的數(shù)字是幾?5. A是由2

28、002個(gè)“4”組成的多位數(shù)，即絲3,2002個(gè) 4A是不是某個(gè)自然數(shù)B的平方？如果是，寫出B;如果不是，請(qǐng)說明理由.參考答案1. 60 =3父4父5是一個(gè)美妙數(shù)，因此美妙數(shù)的最大公約數(shù)不會(huì)大于60 .任何三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，必有一個(gè)能為 3整除，所以，任何美妙數(shù)必有因子3.若中間的數(shù)是偶數(shù)，它又是完全平方數(shù)，必定能為4整除；若中間的數(shù)是奇數(shù)，則第一和第三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以任何美妙數(shù)必有因子4.另外，由于完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0, 1, 4, 5, 6, 9,若其個(gè)位是0和5,則中間的數(shù)能被 5整除；若其個(gè)位是1和 6,則第一個(gè)數(shù)能被 5整除；若其個(gè)位是 4和9,則第三個(gè)數(shù)能被 5整除.所以， 任何美妙數(shù)必有因子 5.由于3, 4, 5的最小公倍數(shù)是60,所以任何美妙數(shù)必有因 子60,故所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)至少是60.綜合上面分析，所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)既不能大于60,又至少是60,所以，只能是60.2. 一個(gè)平方數(shù)除