2015步步高高中數(shù)學文科第四章_4.6正弦定理、余弦定理及解三角形

1、§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C變形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(

2、r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.3在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin A<a<baba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解4.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖)(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等(3)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值1判斷下面結(jié)論是否正確(

3、請在括號中打“”或“×”)(1)在ABC中，A>B必有sin A>sin B()(2)若滿足條件C60°，AB，BCa的ABC有兩個，那么a的取值范圍是(，2)()(3)若ABC中，acos Bbcos A，則ABC是等腰三角形()(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形(×)(5)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系為180°.(×)2(2013·湖南)在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asin Bb，則角A等于()A. B. C. D.答案D解析在AB

4、C中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A為銳角，A.3(2013·陜西)設ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0<A<，得A，所以ABC為直角三角形4在ABC中，B60°，AC，則AB2BC的最大值為_答案2解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又A

5、C120°，AB2BC2sin C4sin(120°C)2(sin C2sin 120°cos C2cos 120°sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0°C120°，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.5一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為_ km.答案30解析如圖所示，依題意有AB15×46

6、0，MAB30°，AMB45°，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 (km)題型一正、余弦定理的簡單應用例1(1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，則A等于()A30° B60° C120° D150°(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，則sin Bsin C的最大值為()A0 B1 C. D.思維啟迪(1)由sin C2sin B利用正弦定理得b、c的關系，再利用余弦定理求A.(2)要求sin B

7、sin C的最大值，顯然要將角B，C統(tǒng)一成一個角，故需先求角A，而題目給出了邊角之間的關系，可對其進行化邊處理，然后結(jié)合余弦定理求角A.答案(1)A(2)B解析(1)sin C2sin B，由正弦定理得c2b，cos A，又A為三角形的內(nèi)角，A30°.(2)已知2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，根據(jù)正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又A為三角形的內(nèi)角，A120°.故sin Bsin Csin Bsin(60°B)cos Bsin Bsin(60°B

8、)，故當B30°時，sin Bsin C取得最大值1.思維升華(1)在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到(2)解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應用及角的范圍限制(1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cos C等于()A. B C± D.(2)已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，

9、若a1，b，AC2B，則角A的大小為_答案(1)A(2)解析(1)由正弦定理，將8b5c及C2B代入得，化簡得，則cos B，所以cos Ccos 2B2cos2B12×()21，故選A.(2)AC2B且ABC，B.由正弦定理知：sin A，又a<b，A<B，A.題型二正弦定理、余弦定理的綜合應用例2(2012·課標全國)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.思維啟迪利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用和差公式可求出A；面積公式和余弦定理相結(jié)合，可求出b，c.解(1)由

10、acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因為BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0<A<，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.思維升華有關三角形面積問題的求解方法：(1)靈活運用正、余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化(2)合理運用三角函數(shù)公式，如同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角公式等在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin

11、 Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當cos A0時，0<A<，A，ABC為直角三角形；當sin Asin B0時，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC為等腰三角形ABC為等腰三角形

12、或直角三角形題型三解三角形的實際應用例3某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10 n mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間思維啟迪本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設出所用時間t，找出等量關系，然后解三角形解如圖所示，根據(jù)題意可知AC10，ACB120°，設艦艇靠近漁輪所需的時間為t h，并在B處與漁輪相遇，則AB21t，BC9

13、t，在ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，所以212t210292t22×10×9t×，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以艦艇靠近漁輪所需的時間為 h此時AB14，BC6.在ABC中，根據(jù)正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8°或CAB158.2°(舍去)即艦艇航行的方位角為45°21.8°66.8°.所以艦艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近漁輪思維升華求解測量問題的關鍵是把測量目標納入到一個可解三角形中，

14、三角形可解，則至少要知道這個三角形的一條邊長解題中注意各個角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內(nèi)角表示出來，注意不要把角的含義弄錯，不要把這些角與要求解的三角形的內(nèi)角之間的關系弄錯在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂端對于山坡的斜度為15°，如圖所示，向山頂前進100 m后，又從B點測得斜度為45°，設建筑物的高為50 m求此山對于地平面的斜度的余弦值解在ABC中，BAC15°，CBA180°45°135°，AB100 m，所以ACB30°.由正弦定理，得，即BC.在BCD中，因為CD50，BC，CBD45

15、6;，CDB90°，由正弦定理，得，解得cos 1.因此，山對地面的斜度的余弦值為1.代數(shù)式化簡或三角運算不當致誤典例：(12分)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)，試判斷ABC的形狀易錯分析(1)從兩個角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補情形；(2)代數(shù)運算中兩邊同除一個可能為0的式子，導致漏解；(3)結(jié)論表述不規(guī)范規(guī)范解答解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos B·b22cos Asin B·a2，即a2co

16、s Asin Bb2sin Acos B4分方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin A·sin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.8分在ABC中，0<2A<2，0<2B<2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC為等腰或直角三角形12分方法二由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC為等腰或直角三角形12分溫馨提

17、醒(1)判斷三角形形狀要對所給的邊角關系式進行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶尤缓笈袛?；注意不要輕易兩邊同除以一個式子(2)在判斷三角形形狀時一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響方法與技巧1應熟練掌握和運用內(nèi)角和定理：ABC，中互補和互余的情況，結(jié)合誘導公式可以減少角的種數(shù)2正、余弦定理的公式應注意靈活運用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2Asin2Bsin2C2sin B·sin C·cos A，可以進行化簡或證明3合理利用換元法、代入法解決實際問題失誤與防范1在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角

18、求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進行分類討論2利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制.A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題1在ABC中，若A60°，B45°，BC3，則AC()A4 B2C. D.答案B解析由正弦定理得，所以AC2.2ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若<cos A，則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形答案A解析依題意得<cos A，sin C<sin Bcos A，所以sin(AB)<sin Bcos

19、A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A<0，所以cos Bsin A<0.又sin A>0，于是有cos B<0，B為鈍角，ABC是鈍角三角形3(2012·湖南)ABC中，AC，BC2，B60°，則BC邊上的高等于()A. B.C. D.答案B解析設ABa，則由AC2AB2BC22AB·BCcos B知7a242a，即a22a30，a3(負值舍去)BC邊上的高為AB·sin B3×.4(2013·遼寧)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin

20、 Bcos Ab，且ab，則B等于()A. B. C. D.答案A解析由條件得sin Bcos Csin Bcos A，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，從而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.5在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知b2c(b2c)，若a，cos A，則ABC的面積等于()A. B. C. D3答案C解析b2c(b2c)，b2bc2c20，即(bc)·(b2c)0，b2c.又a，cos A，解得c2，b4.SABCbcsin A×4×2× .二、填空題6(2013·安徽

21、)設ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，則角C_.答案解析由已知條件和正弦定理得：3a5b，且bc2a，則a，c2abcos C，又0<C<，因此角C.7在ABC中，若b5，B，tan A2，則a_.答案2解析由tan A2得sin A2cos A.又sin2Acos2A1得sin A.b5，B，根據(jù)正弦定理，有，a2.8如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在點A的同側(cè)的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°，則A，B兩點的距離為_答案50 m解析由正弦定理得，所以AB50.

22、三、解答題9(2013·北京)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解(1)在ABC中，由正弦定理，cos A.(2)由余弦定理，a2b2c22bccos A32(2)2c22×2c×則c28c150.c5或c3.當c3時，ac，AC.由ABC，知B，與a2c2b2矛盾c3舍去故c的值為5.10(2013·江西)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大?。?2)若ac1，求b的取值范圍解(1)由已知得cos(AB)cos Acos Bsin Ac

23、os B0即有sin Asin Bsin Acos B0，因為sin A0，所以sin Bcos B0，即cos Bsin B.因為0<B<，所以sin B>0，所以cos B>0，所以tan B，即B.(2)由余弦定理得b2a2c22accos B，因為ac1，cos B，所以b2(ac)23ac(ac)232(ac)2，b.又ac>b，b<1，b<1.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)1ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則等于()A2 B2 C. D.答案D解析asin Asin Bbcos2Aa，sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，sin Bsin A，.2有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長為()A1 B2sin 10°C2cos 10° Dcos 20°答案C解析如圖，ABC20°，AB1，ADC10°，ABD160°.在ABD中，由正弦定理得，ADAB·2cos 10°.