第23講方案優(yōu)化型綜合問題

1、數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講23方案優(yōu)化型綜合問題題型預(yù)測尋找問題的最優(yōu)解， 是這一類題目的共同特點(diǎn).解決問題的方法涉及均值不等式、單調(diào)性等求最值的方法， 有些時候也用窮舉法. 由于與實(shí)際問題聯(lián)系較緊密，此類問題在高考中往往以應(yīng)用題的面目出現(xiàn).范例選講例1某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全 部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加 50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的 車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 50元.數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講23數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講23當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的

2、月收益最大？最大月收(I)()益是多少？講解：3600 - 3000(I)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為=12，所以這時租出了 88輛車.50(U)設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為:數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講23數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講23f x = 100 -X -300°<50(x150 )-x-3000 匯50 .50數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講23數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講23整理得：x212f x162x-21000x-4050307050 .5050所以，當(dāng)x=4050時，f x最大，最大值為307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時，租賃公

3、司的月收益最大，最大月收益是 307050元.點(diǎn)評：實(shí)際問題的最值要注意自變量的取值范圍.例2.某工廠生產(chǎn)容積為了立方米的圓柱形無蓋容器，制造底面的材料每平方米30元，制造側(cè)面的材料每平方米20元，設(shè)計(jì)時材料的厚度及損耗 可以忽略不計(jì).（I ）把制造容器的成本y （元）表示成容器底面半徑 x （米）的函數(shù)， 并指出當(dāng)?shù)酌姘霃綖槎嗌贂r，制造容器的成本最低？求出最低成本；（n）若為某種特殊需要，要求容器的底面半徑不小于2 （米），此時最低成本為多少元？（精確到1元）講解：（I）設(shè)圓柱形容器的高為h，貝撫x2h = 3二.2所以，y =30 -：x220 2 二 xh=30 二 x2x因?yàn)閤 0，所

4、以，2 60兀f 2 1 1 '一y =30二 x230' lx230二 3 = 90二：283 兀，xI X X 丿等號當(dāng)且僅當(dāng)X2二丄，即X=1時取得.x（n ）當(dāng)X2時，由（I）可知，不能利用均值不等式來求解y的最小值,所以，我們可以考慮函數(shù)y=30：x2 的單調(diào)性.x任取 X1,X22,：），且設(shè) x, ： X2，則'2222、/2 % - y2 = 35片 + -X2 -=30兀（X| x2 ）捲 + x2 -1 XX2丿X1X2 丿2由于 2 < X1 <X2，所以，X1- X2： 0,X1X20，所以，yry?，X!X2所以，函數(shù)丫弋。&quo

5、t;2,6在區(qū)間2, ：）上單調(diào)遞增.x所以，當(dāng)x=2時，y取得最小值為：150 471 （元）.點(diǎn)評：運(yùn)用均值不等式要注意等號成立的條件.例3.小紅現(xiàn)在是初一的學(xué)生，父母準(zhǔn)備為他在銀行存20000元，作為5年后上大學(xué)的費(fèi)用，如果銀行整存整取的年利率如下：項(xiàng)目1年期2年期3年期5年期年利率n1.98%2.25%2.52%2.79%利息稅為20%，則小紅父母應(yīng)該選擇怎樣的存款方式， 可使5年后所獲收益 最大.請說明理由.講解：小紅父母存款的方式可以有多種選擇，但為了確保最大利潤，應(yīng)該遵 循如下原則：（1）5年結(jié)束時，所存款項(xiàng)應(yīng)該恰好到期（否則以活期記，損失 較大）；（2）如果存兩次（或兩次以上）

6、，則第 2次存款時，應(yīng)該將第1次存 款所得本息和全部存入銀行.為敘述方便，用Pn ,m表示把a(bǔ)元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和如：p+42表示先存2個1年期，再存一個2年期所得本息和.首先，可以考慮下面的問題：Pnm=Pn.n是否成立？即把a(bǔ)元本金，先存一 次n年期，再存一次m年期與先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和 是否相同？因?yàn)?R =a +a k rk， i=a 1 + k rk ，k飛丿15 kJ（4Y 4）所以，Pn m 二a 1 ng 1 m G 二 Pm nI 5人 5丿根據(jù)以上分析，我們只需考慮下面的幾種情況：P*卅扣備卅畑P卅+3，P卅七七，Pd5,P

7、七七，丘七七，丘七方法之一是直接計(jì)算，但運(yùn)算量相對較大為此，我們可以考慮下面的辦法：（1）比較P1與B的大小關(guān)系：因?yàn)镻+ = a14 1.98% 21.032a，5P2 二 a 1 4 2r2 二 a 1 彳 2 2.25% = 1.036a，55所以，P十B 所以，只需考慮上述八種情況中的：Pt ,R 2 3， l2 2 2， 13 3（2）比較丘出和P的大小.(4Y 4)R_2 =a .1+ 乂1.98%1+2江><2.25% *1.052a，55(4)R = a 1 3 2.52%1.060a，35所以，F(xiàn)2 .1<F3 所以，只需比較 R 5 , P2 2 2 ,P

8、3 3 -因?yàn)椋篜145 =a U+«x1.98% f 1 +么x5x2.79%".129 a ,I 5八5丿P33=a 11 4 2 2.25% 351.112a ,4 3 2.52%51.125a所以，P*最大，即小紅父母應(yīng)該選擇先存一次1年期，再存一次5年期（或 先存一次5年期，再存一次1年期）獲利最多這與我們通常的認(rèn)識是一致的.點(diǎn)評：本題的目的是通過分析、計(jì)算尋找問題的最優(yōu)解然而，如果通過窮 舉得出結(jié)論，計(jì)算可能就較為復(fù)雜了，因此，需要優(yōu)化的不只是結(jié)果，還有運(yùn)算 的過程.咼考真題1. （ 2001年上海高考題）用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對用一定量的 水清洗一次的

9、效果作如下假定：用一個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的 1，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上設(shè)用x單位量2的水清洗一次 后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f x .（I）試規(guī)定f 0的值，并解釋其實(shí)際意義；（U）試根據(jù)假定寫出函數(shù)f x應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；1（川）設(shè)f x 飛，現(xiàn)有a a 0單位量的水，可以清洗一次，也可以1 +x把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較 少？說明理由.2. （ 2003年上海春季高考）在一次人才招聘會上，有 A、B兩家公司分別 開出他們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資數(shù)為150

10、0元，以后每年月工資 比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資數(shù)為 2000元，以后每年 月工資在上一年的月工資的基礎(chǔ)上遞增 5%.設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時 錄取，試問：（I）若某人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？（U）該人打算連續(xù)在一家公司工作 10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng) 聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其它因素），該人應(yīng)該選擇那家公司，為什么？（川）在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元？（精 確到1元），并說明理由.答案與提示：1.（1） f 0 =1表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農(nóng)藥量將保持原樣；（U）函數(shù)f x應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：f 0 “,f 1且0 ：