多種辦法證明勾股定理

1、多種方法證明勾股定理【證法11 （課本上的證明方法）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形 。從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是 a+b,所以面積相等。即99191a +b +4M,ab=c +4父5ab,整理得 a2+b2 = c2【證法2】（中國(guó)古代數(shù)學(xué)家鄒元治的證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形， 則每個(gè)直角三角形所示形狀，使在一條直線的面積等于。把這四個(gè)直悖照形拼成如圖 A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn) 上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上。.RtAHAER

2、tAEBF, ./AHE= ZBEFo. / AEH+ / AHE=90o, ./ AEH+ / BEF=90o。 ./ HEF=180o 90o=90d 四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.它的面積等于c2. RtAGDHRt AHAE, ./ HGD= / EHA 。. / HGD+ /GHD=90o, ./ EHA+ / GHD=90o。又. / GHE=90o, ./ DHA=90o+90o=180o。2ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正萬(wàn)形，它的面積等于（a+b）.（a +b 2 = 4 Cab +c222,22 。 a +b =c ?！咀C法3】（三國(guó)時(shí)期趙爽的證明）c為斜邊作四個(gè)全

3、的面積等于。把這以a、b為直角邊（b>a）,以 等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形 四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀ab。2. RtADAHRtAABE, ./ HDA= ZEABo. / HAD+ / HAD=90o , ./ EAB+/ HAD=90o ,形，它的面積等于 . ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方2c。.EF=FG=GH=HE=b a,/HEF=90o2. EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正萬(wàn)形，它的面積等于（b-a）.1.4 x - ab +(b -a 2222 a + b =c .【證法4】（1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形

4、，則每個(gè)直角三角形的面積等于。把這兩個(gè)直娜角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B三點(diǎn)在一條直線上。T | 一. Rt EAD 二 Rt CBE, ./ADE=/BEC。. / AED+/ ADE=90o, ./AED+/BEC=90o。 ./ DEC=180o90o=90d A DEC是一個(gè)等腰直角三角形, _1 2它的面積等于1c2又. / DAE=90o, / EBC=90o, . AD / BCABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積凈。+bf1 .2 c 112一（a 才b） =2父一ab+ c2 22 2.22 a b =c 。做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、caBb,斜

5、邊長(zhǎng)為c。使D、E、F在一DF于點(diǎn)P。AGEFRt A【證法5】（今安徽省宣城市宣州區(qū)清代數(shù)學(xué)家梅文鼎的證明）把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，條直線上。過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線交.D、E、F在一條直線上，且RtEBD, ./ EGF=/BED,. / EGF+/ GEF=90 , . / BED+/ GEF=90 , ./ BEG=180o90o=90Cb又.AB=BE=EG=GA=c , . ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形 . / ABC+/CBE=90o。. RtAABCRtAEBD, ./ABC=/EBD。 ./ EBD+/CBE=90o。 r i一一即/ CBD=90o。又. / BDE=9

6、0o, / BCP=90o,BC=BD=a。 . BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S,則日 § 12ab1ab, 2 2 2 . ,22 a +b =c ?！咀C法6】（今杭州清代數(shù)學(xué)家項(xiàng)明達(dá)的證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b （b>a）,斜邊長(zhǎng)為c。再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形，使 E、A、C 三點(diǎn)在一條直線上。過(guò)點(diǎn)Q作QP / BC ,交AC于點(diǎn)P 過(guò)點(diǎn)B作BMXPQ,垂足為M;再過(guò) F作FNXPQ,垂足為No . / BCA=90o, QP/BC, ./ M

7、PC=90o, . BM ±PQ, ./ BMP=90o, . BCPM 是一個(gè)矩形，即/ MBC=90o. . / QBM+ / MBA= / QBA=90o,/ ABC+ / MBA= / MBC=90o , ./ QBM= / ABC, 又. /BMP=90o, /BCA=90o, BQ=BA=c, . RtABMQRtABCAo同理可證 RtAQNFRtA AEFo從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4（梅文鼎證明）。做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,H、C、B【證法7】（古希臘的數(shù)學(xué)家歐幾里得的證明）. AF=AC , AB=AD ,三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、

8、CD.過(guò) C 作 CLLDE, 交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L. . AFABWAGAD, FAB的面積中2,O面積的一半, GAD的面積等于矩形ADLM矩形ADLM的面積=a2。同理可證，矩形 MLEB的面積=b2.正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積,22,22,22 c = a +b ） R|J a +b = c 。【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b,斜邊AB的長(zhǎng)為c,過(guò)點(diǎn)C作CDXAB,垂足是在 ADC和 ACB中,. / ADC= / ACB=90o, / CAD= / BAC, ADCs ACB.AD

9、 : AC=AC : AB,即 AC2 = AD AB o同理可證，ACDBAACB,從而CT WABAC.2, BCa2= aD= (Db ，ab=ab2【證法9】（西周朝代楊作玫的證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a、b （b>a）,斜邊長(zhǎng) 為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形。過(guò)A作AF，AC, AF交GT于F, AF交DT于R。過(guò)B作BPXAF,垂足為P。過(guò)D作DE與CB的 延長(zhǎng)線垂直，垂足為 E, DE交AF于H。. /BAD=90o, / PAC=90o, ./ DAH= / BAC。又. / DHA=90o , / BCA=90

10、o,AD=AB=c , . RtADHARtABCAo .DH=BC=a, AH=AC=b。 由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形,所以 RtAAPBRt ABCA .即 PB= CA=b, AP=a,從而 PH=b -a。. Rt DGT 里 Rt BCA, RtADHARtA BCA。 . RtADGTRtADHAo . DH=DG=a , / GDT= / HDA。 又. / DGT=90o , / DHF=90o ,/ GDH= / GDT+ / TDH= / HDA+ / TDH=90o , . DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形。.GF=FH=a .TFXAF, TF=GT GF=b a.

11、.TFPB是一個(gè)直角梯形，上底 TF=b a,下底BP=b,高FP=a+ （b a）用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為21b - ab2=Si +S2 校 +S4 +S5 1 I,，S8= ,S3S4 = 2 b b。a b , b - a ,1S5 = Sg ' S9212_63= oS b - ab - Sgb - Si - Sg2把代入，得b2 0=5b2 a2 a2 +b2 = c2【證法10（今江蘇蘇州市元和縣古代數(shù)學(xué)家李銳的證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為邊的長(zhǎng)為Co做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c 們拼成如圖所示形狀，使 A、E、G三點(diǎn) 用數(shù)字表示面

12、積的編號(hào)（如圖）。. / TBE= / ABH=90o, . / TBH= / ABE.又. / BTH= / BEA=90o,BT=BE=b , . RtAHBTRtAABEo . HT=AE=a。. GH=GTHT=ba。又. / GHF+ / BHT=90o,/ DBC+ / BHT= / TBH+ / BHT=90o, ./GHF=/DBC。. DB=EBED=b a,/ HGF= / BDC=90o, . RtAHGFRtABDC JP S7 =S2。過(guò) Q作 QMAG,垂足是 M.由/ BAQ=/BEA=90o,可知/ ABE= /QAM ,而 AB=AQ=c,所以 Rt ABER

13、t QAM。又 RtA HBT Rt ABE.所 以 RtAHBTRtAQAM ,即。S8=Ss由 Rt AABERt AQAM ,又得 QM=AE=a , / AQM= / BAE。. / AQM+ / FQM=90o , / BAE+ / CAR=90o, / AQM= / BAE, ./ FQM= / CAR。又. / QMF= /ARC=90o, QM=AR=a ,.RtAQMFRtAARC, SbSeb2 = S3s7Ssc2 ,=。S2 s3 s4 s5 a2 ; s S6一一 J 一 一一又S7 S2Ss S5 S4 - Seat b2,s Se S3 s7 s8S1 S4 s3

14、 S2 = S5【證法11（利用切割線定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊BC=a, AB=c。如圖，以B為圓心a為半徑作 AB的延長(zhǎng)線分別于D、E,則BD=BE=BC=a。因?yàn)? BCA=90o,點(diǎn)C在。B上，所以AC是。B的切線。由切割 線定理，得 =AB BE AB - BD即 b2 =c2 .a2,2.22a + b =c 。?【證法12（利用多列米定理證明）在Rt A ABC中，設(shè)直角邊 BC=a, AC=b,斜邊 AB=c （如圖）。過(guò)點(diǎn)A作AD / CB,過(guò)點(diǎn)B作BD/ CA,則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓。根據(jù)多 列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和

15、，有AB DC = AD，BC 十 AC BD ,AB=DC=c, AD=BC=a,AC=BD=b,AB2 =BC2 +AC2 ,即 c2 =a2 +b2 , /. a2 + b2 =c2。?【證法13（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在Rt A ABC中，設(shè)直角邊 BC=a, AC=b,斜邊 AB=c。作Rt A ABC的內(nèi)切圓 OO,切點(diǎn)分別為D、E、F （如圖），設(shè)。的半徑為r。. AE=AF , BF=BD, CD=CE ,AC BC - AB = AE CE BD CD - AF BF=CE CD =r+r=2r,B a D c即 a , b - c = 2r ,.a b = 2r c o

16、(a + b 2 =(2r +c 2 ,即 a2 b2 2ab = 4 r2 rc , c2 ,-1 ,. , S . ABC = 2 ab2ab 尸 4S.abc.c cc cl 11 .1.又.S abc - S aobSboc S Aoe(5r= ar br a bc r22221 c22 2r c c r = r rc ,4(r2 +rc )=4S勢(shì)bc ,2_ _/. 4 r rc = 2ab , 2.2_. 一. 2.2. 22 a +b +2ab =2ab + c ) a +b =c .【證法14(利用反證法證明)如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b,斜邊

17、AB的長(zhǎng) 為c,過(guò)點(diǎn)C作CDXAB,垂足是Do假設(shè)a2+b2=c2,即假設(shè)AC2 +BC2 #AB2,則由AB2 = AB AB = AB AD BD = AB AD AB BD可知 AC2 ¥AB ,ad ,或者 BC2 #ABBD.即 AD : ACAC : AB,或者 BD : BC?BC : AB。在 ADC和 ACB中， / A=/A,. .若 AD : ACAC : AB,則 / ADC 豐 / ACB。在A CDB和 ACB中, / B=/B, 若 BD : BCBC : AB,則 /CDB” ACB.又. / ACB=90o, ./ADC?90o, /CDB?90o。

18、這與作法CDAB矛盾.所以，AC2十BC2# AB2的假設(shè)不能成立 a2 +b2 =c2?！咀C法15】（英國(guó)古代數(shù)學(xué)家辛卜松的證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a、b,斜邊的長(zhǎng)為c。作邊長(zhǎng)是a+b的正 方形ABCD。把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分， 則正方形ABCD的 面積為；把正方形ABCD劃分域th方自圖而用2ab個(gè)部分， 則正方形ABCD的面積(a + b 2 =4 父 1ab +c2 22=2ab +c 。a2 b2 2 ab = 2ab c2, /. a2 b2 = c2?【證法16（中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家陳杰的證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b （b>a）,斜邊的長(zhǎng)為c。做兩個(gè)邊長(zhǎng)分如圖所示形狀, 表小面積的編DC ,貝U AD=c別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成 使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上。用數(shù)字 號(hào)（如圖）。在EH=b上截取ED=a,連結(jié)DA、. EM=EH+HM=b