第8章多元函數微分法及其應用.

1、第八章多元函數微分法及其應用本章主要內容：1. 多元函數及其定義域、平面點集、重極限與累次極限、連續(xù)性、偏導數與全微分等基本概念,以及它們的相互關系。2. 多元函數微分學的基本定理、微分法則與計算公式。3. 隱函數存在定理及其微分法，方向導數與梯度的基本知識。4. 多元函數的幾何應用與極值。§8 .1多元函數的基本概念教學目標與教學要求1. 了解多元函數及多元函數的極限與連續(xù)的有關概念；2. 了解在有界閉域上連續(xù)的多元函數的性質；3. 會求多元函數的定義域；4. 會求較簡單的二元函數的極限；5. 會判斷二元函數的連續(xù)性。教學重點與難點求重極限的主要方法（用夾逼法則，運用連續(xù)性，用定義

2、論證，換元化為一元函數求 極限）教學方法與手段多媒體互動教學教學內容1 .平面點集n維空間2 .多元函數概念3 .多元函數的極限4 .多元函數的連續(xù)性一、平面點集n維空間1 .平面點集 由平面解析幾何知道.當在平面上引入了一個直角坐標系后.平面上的點P與有 序二元實數組(X. y)之間就建立了一一對應，于是.我們常把有序實數組(X . y) 與平面上的點P視作是等同的，這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面，二元的序實數組(x . y)的全體.即R=R R=( x y)lx y R就表示坐標平面坐標平面上具有某種性質P的點的集合.稱為平面點集.記作X . y)| ( X y)具有性質 P.例如.平

3、面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是3( x . y)| x2 y2： r2.如果我們以點P表示(x y).以| Op表示點P到原點0的距離.那么集合C可表 成C=P| | Op ：r.鄰域設P0(xo. yo)是xOy平面上的一個點.是某一正數.與點Po(xo. yo)距離小于：的點 P (xy)的全體.稱為點Po的鄰域.記為U ( Po,.即:-或.鄰域的幾何意義：U( Po.-：)表示xOy平面上以點Po(xo. yo)為中心、: >0為半徑 的圓的內部的點P ( x . y)的全體，點Po的去心鄰域.記作L即加胡胡0<|肚).注：如果不需要強調鄰域的半徑一則用U(

4、 Po)表示點Po的某個鄰域點Po的去心鄰域記作 .點與點集之間的關系：任意一點P R2與任意一個點集E氏之間必有以下三種關系中的一種： (1)內點：如果存在點P的某一鄰域U(P)使得U(P) E則稱P為E的內點外點：如果存在點P的某個鄰域U(P).使得U(P)- E=._.則稱P為E的外點.邊界點：如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點.也有不屬于E的點.則稱P 點為E的邊點.E的邊界點的全體.稱為E的邊界.記作；：EE的內點必屬于E E的外點必定不屬于 E而E的邊界點可能屬于E.也可能不屬 于E .聚點如果對于任意給定的:0點P的去心鄰域內總有E中的點.則稱P是E 的聚點，由聚點的定義可知.點

5、集E的聚點P本身.可以屬于E.也可能不屬于E .例如.設平面點集E=( x . y)|1 ：x2 y2乞2.滿足1 x y2 2的一切點(x . y)都是E的內點滿足x2 y1的一切點(x . y)都是 E的邊界點.它們都不屬于E-滿足x /=2的一切點(x . y)也是E的邊界點.它 們都屬于E點集E以及它的界邊:E上的一切點都是E的聚點.開集：如果點集E的點都是內點.則稱E為開集閉集：如果點集的余集Ec為開集.則稱E為閉集開集的例子：E-( x . y)|1< x2 y2<2.閉集的例子：E-( x. y)|1 x2 y2豈2.集合( x . y)|1 x2 y2既非開集也非閉

6、集連通性：如果點集E內任何兩點.都可用折線連結起來且該折線上的點都屬于 E則稱E為連通集.區(qū)域(或開區(qū)域):連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域例如E二( x. y)|1 ：x“y2：2.閉區(qū)域：開區(qū)域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區(qū)域例如E二( x. y)|1 <x2 y2.有界集：對于平面點集E.如果存在某一正數r .使得E U(O r).其中O是坐標原點.則稱E為有界點集無界集：一個集合如果不是有界集.就稱這集合為無界集，例如.集合(x.y)|1 <x2 y<2是有界閉區(qū)域集合(x.y)l x y 1是無界開區(qū) 域集合( x . y)| x y_1是無界閉區(qū)域2 . n維空間

7、設n為取定的一個自然數.我們用R表示n元有序數組(xi. X2. . Xn)的全體 所構成的集合.即R=RxRh Xi . X2.Xn)| Xi 匕 R. i =1 . 2 . * n，Rn中的元素(Xi. X2. Xn)有時也用單個字母x來表示.即X=(Xi . X2. . X n),當所有的Xi (i =1 . 2 .n)都為零時稱這樣的元素為R1中的零元記為0或O，在解析幾何中通過直角坐標.戍或R3)中的元素分別與平面(或空間)中 的點或向量建立對應.因而R中的元素x=(Xi. X2. Xn)也稱為Ff中的一個點或一個n維向量.Xi稱為點X的第i個坐標或n維向量x的第i個分量，特 別地.

8、R1中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量.為了在集合F中的元素之間建立聯系.在F中定義線性運算如下：設x=(x xXn) y=(yi. yyn)為F1中任意兩個元素. R.規(guī)定x y=(xry 1X2y 2Xnyn)x=(XiX2Xn).這樣定義了線性運算的集合 Rn稱為n維空間R1 中點 x=(xi. X2. Xn)和點 y=(yi y2.yn)間的距離.記作(x. y).規(guī)定處)二J(礦廠+(召 兒)'.顯然 n=1 2 . 3時.上術規(guī)定與數軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距 離一至F中元素x=(Xi. X2. . Xn)與零元0之間的距離P(x. 0)記作| x|(

9、在R、R2、 F中通常將| x|記作|x|).即II訓卜曲+*+ £ .采用這一記號.結合向量的線性運算.便得II工-y 11=/礦W+(可乃尸+ , +乩-W二加工丿).在n維空間戌中定義了距離以后.就可以定義R中變元的極限設 x=(Xi. X2 - - Xn) . a=(ai. a2 - an) R如果II x-a| >0則稱變元x在Rn中趨于固定元a.記作x >a .顯然X a ：= x ir ai. X2 > a2 ； ； - Xn > an .在Rn中線性運算和距離的引入.使得前面討論過的有關平面點集的一系列概念.可以方便地引入到n(n_3)維空間中

10、來例如.設a=(ai. a?. Rn.是某一正數.則n維空間內的點集U(a.、)訊x| x Rn.(x. ap： 就定義為Rn中點a的鄰域.以鄰域為基礎.可以定義點集的內點、外點、邊界 點和聚點以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念，二多元函數概念例1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h之間具有關系Vr2h這里當r、h在集合( r . h ) | r>0. h>0內取定一對值(r . h)時.V對應的值 就隨之確定例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系其中R為常數這里.當V、T在集合( V T) | V >o. T>0內取定一對值(V. T)時 p的對應

11、值就隨之確定，例3設R是電阻R、R并聯后的總電阻.由電學知道.它們之間具有關系這里.當R、R在集合( Ri. R2) | R i>0. R2>0內取定一對值(Ri . R2)時.R的對 應值就隨之確定，定義1設D是R2的一個非空子集.稱映射f ： DR為定義在D上的二元函數 通常記為z=f (x. y) .( x . y) D(或 z=f(P) . D)其中點集D稱為該函數的定義域.x.y稱為自變量.z稱為因變量上述定義中.與自變量x、y的一對值(x.y)相對應的因變量z的值.也稱為f在 點(x . y)處的函數值.記作f (x . y).即z=f (x . y).值域：f(D)N

12、z| z=f(x.y). (x.y)wD.函數的其它符號：z=z(x. y) . z=g(x. y)等類似地可定義三元函數u=f (x. y. z) . ( x. y . z)D以及三元以上的函數,一般地把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內的點集D.映射f : DR就 稱為定義在D上的n元函數.通常記為U#(Xl . X2 . . Xn) . ( Xi . X2 . . Xn) D.或簡記為U#(X) X=(X1 . X2 .： ，:Xn) D也可記為U 彳(P) P( Xi X2 .： ，.：Xn) D .關于函數定義域的約定：在一般地討論用算式表達的多元函數U=f (x)時.就以使這個

13、算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數的自然定義域因而對這類函數它的定義域不再特別標出例如.函數z=ln( X y)的定義域為( X . y)| X y>0(無界開區(qū)域) 函數z=arcsin( x2+y2)的定義域為( x . y)| x2+y2蘭1(有界閉區(qū)域),二元函數的圖形：點集( x. y . z)| z=f (x . y) . (x.y)D稱為二元函數z=f (x. y) 的圖形.二元函數的圖形是一張曲面.例如 ax by c是一張平面.而函數z=x2+y2的圖形是旋轉拋物面，三.多元函數的極限與一元函數的極限概念類似.如果在P(x . y) > Po(x&#

14、176;. yo)的過程中.對應的函數 值f(x.y)無限接近于一個確定的常數 A則稱A是函數f(x.y)當(x.y)(x。. y 0)時的極限.定義2設二元函數f(P)孑(x. y)的定義域為D Po(xo. yo)是D的聚點.如果存在常數Aa對于任意給定的正數 總存在正數：.使得當''1'' 1時.都有|f(P)T =|f(x .y) -A 一成立.則稱常數A為函數f(x. y)當(x.y)(x。. yo)時的極限.記為lim= A' -或 f(x y)；A ( x y)； (xo y。)也記作lim fP)=A:Y 打或 f (P) A( P &g

15、t; Po),上述定義的極限也稱為二重極限fy)二 X +於)sin 亠rd = 0例 4.設1.'.求證：.證因為1/(砂-。冃(*+尸)血詁廠0|廿+長1伽*戸可見- ；>o 取一匚.則當即二二訂，時總有| f (x . y) 一0| :;.11H1 /(扎刃二0因此、二.必須注意(1)二重極限存在.是指P以任何方式趨于Po時.函數都無限接近于A 如果當P以兩種不同方式趨于Po時.函數趨于不同的值.則函數的極限不存 在討論n在點(0. 0) 有無極限?提示：當點P(x . y)沿x軸趨于點(0.0)時.lim/(0)=lim 0 = 03)視叩)wOwO ;當點P(x . y

16、)沿y軸趨于點(0 . 0)時 曲岀畑也I當點P (x . y)沿直線y=kx有l(wèi)im孑殳-lim2 =訕 *+ V" I。F +好* 1+匸J1%因此.函數f (x . y)在(0 . 0)處無極限“極限概念的推廣：多元函數的極限 多元函數的極限運算法則：與一元函數的情況類似Inn啦L蚯迥型尸ta廻型解：、Bm y=1 2=2四.多元函數的連續(xù)性定義3設二元函數f(P) =f ( x y)的定義域為D Po(xo. yo)為D的聚點.且Po D ，如果則稱函數f ( X . y)在點R(X0. yo)連續(xù)如果函數f ( x . y)在D的每一點都連續(xù).那么就稱函數f (x. y)在

17、D上連續(xù).或 者稱f ( x . y)是D上的連續(xù)函數，二元函數的連續(xù)性概念可相應地推廣到n元函數f(P)上去例6設f (x, y)二sin x .證明f (x . y)是R2上的連續(xù)函數證 設 R(Xo. y°) R2 , - ； .0 .由于 sin x 在 xo處連續(xù).故二心0 .當 | x-x°| ：、；時.有|sin xsin Xo| :以上述-作Po的、鄰域qPo.).則當P(x . yr U( R，)時.顯然 | f (x . y) -f (x yo)| =|sin xsin x°| ：；.即f (x . y) =sin x在點Po(x°.

18、 yo)連續(xù).由Po的任意性知.sin x作為x. y的二 元函數在R2上連續(xù)證對于任意的Po(xo.yo)，R因為limsm x=sinzQ=/（0）所以函數f(x,y)=sin x在點Po(Xo.yo)連續(xù).由P的任意性知 sin x作為x. y 的二元函數在R2上連續(xù)類似的討論可知.一元基本初等函數看成二元函數或二元以上的多元函數時.它們在各自的定義域內都是連續(xù)的， 定義4設函數f(x.y)的定義域為D. Po(xo.yo)是D的聚點如果函數f(x.y)在 點Po(Xo. yo)不連續(xù).則稱Po(Xo. yo)為函數f (x . y)的間斷點.例如/(和)二函數其定義域D=R qo .

19、0)是D的聚點，f(x. y)當(x. y)T (0 . 0)時的極限不存在. 所以點qo . 0)是該函數的一個間斷點，1sin =又如.函數 X.其定義域為 x( X. y)| x2+y=i.圓周C( x y)| x2y =1上的點都是D的聚點.而f(x.y)在C上沒有定義.當然f(x. y)在C上各 點都不連續(xù)所以圓周C上各點都是該函數的間斷點.注：間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點-連續(xù)函數的商在分母不為可以證明.多元連續(xù)函數的和、差、積仍為連續(xù)函數 零處仍連續(xù)多元連續(xù)函數的復合函數也是連續(xù)函數多元初等函數：與與一元初等函數類似.多元初等函數是指可用一個式子所表示的多元函數這個式子是

20、由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限 次的四則運算和復合運算而得到的，例如總 .sin( x+y).，屛護+'都是多元初等函數,一切多元初等函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的，所謂定義區(qū)域是指包含在定義域 內的區(qū)域或閉區(qū)域， 由多元連續(xù)函數的連續(xù)性.如果要求多元連續(xù)函數f(P)在點P0處的極限.而該點 又在此函數的定義區(qū)域內.則解：函二是初等函數.它的定義域為D=( x y)| x=0 y=0.Po(1 . 2)為D的內點.故存在Po的某一鄰域U(Po)uD.而任何鄰域都是區(qū)域.所以U(Po)是f (x . y)的一個定義區(qū)域.因此r 忸 t/QRQ lim陰一般地.求叮時.如果f

21、(P)是初等函數.且Po是f(P)的定義域的內點.則f(P)在點Po處連續(xù).于是如丿叮(坊)1O所T例8求，-.曲何T二曲(歷不業(yè)兩+D二血 1.= 1解：、1 -.-多元連續(xù)函數的性質：性質1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數.必定 在D上有界.且能取得它的最大值和最小值性質1就是說若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).則必定存在常數M 0.使得對一 切P D.有|f(P)| <M且存在Pi、P 2 D使得f (Pi)二maxf(P)| P D . f(P2)二minf (P)| P D.性質2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數必取得介于最大值和最小 值之間的

22、任何值§8 , 2偏導數教學目標與教學要求1掌握偏導數、高階偏導數的有關概念及計算方法。2 熟練掌握偏導數、高階偏導數的計算方法（含分段函數在銜接點處的導數）教學重點與難點求解多元函數 了 的偏導數的方法教學方法與手段多媒體互動教學教學內容1 偏導數的定義及其計算法2 高階偏導數（一）、偏導數的定義及其計算法對于二元函數z=f（x . y）.如果只有自變量x變化.而自變量y固定.這時它就是 x的一元函數.這函數對x的導數.就稱為二元函數z=f（x. y）對于x的偏導數定義 設函數z二f（x.y）在點（xo.yo）的某一鄰域內有定義當y固定在y而x在x 0處有增量ux時.相應地函數有增

23、量f (Xo x . yo) -f (Xo. yo).如果極限曲 /（閉+X兀）-/（；%）AwOLx存在則稱此極限為函數z=f （x . y）在點（Xo. yo）處對x的偏導數.記作例如/（殆+兀旳）-了 （和用）Ax類似地.函數Z=f（x. y）在點（Xo. yo）處對y的偏導數定義為血/（殆妣+V）-/（菇必）如iAy記作dz.或 f y( Xo . yo),偏導函數：如果函數z=f （x. y）在區(qū)域D內每一點（x. y）處對x的偏導數都存在 那么這個偏導數就是x、y的函數.它就稱為函數z=f（x.y）對自變量丄的偏導函 數.記作辺£Sr . dx偏導函數的定義式亠 類似地可

24、定義函數zf（x.y）對y的偏導函數.記為 創(chuàng).砂.Zy 或朋3 偏導函數的定義式亠 求匕時.只要把y暫時看作常量而對x求導數求時.只要把x暫時看作常 量而對y求導數 討論：下列求偏導數的方法是否正確?£ （帀=Z （兀為卜呵 X （切鈕）二厶（兀刃卜呦 尸片.r.fn（奄Jh）=（兀h（j>7q）=【喬/（帀J）山-J,偏導數的概念還可推廣到二元以上的函數，例如三元函數u=f（x.y.z）在點（x.yz）處對x的偏導數定義為Ax.它們的求法也仍舊是一元函其中（x. y . z）是函數u=f（x . y. z）的定義域的內點 數的微分法問題，例1求z=x2+3xy+y2在點（1

25、 . 2）處的偏導數.解；=21+3 2=87=2dz¥網=31+2-2=7尸2例2求z =x2sin 2 y的偏導數x Sz* 1 寵例3設 mV.求證h：；空二冊“孚Slnx證蘭莘 + 丄莘二丄護 In x- + ?-2z y dx In x qy y In x例4求”廠+廠_一的偏導數祁一 X _x dr y J 解山 ” :.；丁:例5已知理想氣體的狀態(tài)方程為 pV=RT(R為常數).dp dv dr 1求證：" :丁兀AT壘一型證因為""廠 'Pd_R3T7 ;所以引 3V dT_ RT R V_ PT麗厲哥戸E厘一-莎例5說明的問題：

26、偏導數的記號是一個整體記號.不能看作分子分母之商二元函數z=f(x.y)在點(xo.yo)的偏導數的幾何意義：fx(Xo. y°)斗f (x. y。) x是截線z=f (x. y°)在點M處切線Tx對x軸的斜率,fy(xo. yo)二f(xo. y) y是截線z=f (xo. y)在點M處切線Ty對y軸的斜率偏導數與連續(xù)性：對于多元函數來說即使各偏導數在某點都存在也不能保證 函數在該點連續(xù)例如-f(xty)2+y20x2+y2 = 0在點(0 0)有.fx(0 . 0) =0. fy(O . 0) =0 但函數在點(0 . 0)并不連續(xù)提示當點P(x . y)沿x軸趨于點(

27、0 . 0)時.有曲了(硼)二lim f(xt O)=lim 0-0(v)->(00)0； 當點P(x. y)沿直線y=kx趨于點(0 . 0)時有tai是=曲詩二二厶 (砂)t +yA x->o r】+H因此"醞燉不存在.故函數f(x.y)在(0.0)處不連續(xù).偏導函數的定義式/(S+3)-了(和)0類似地可定義函數z=f(x.y)對y的偏導函數記為 創(chuàng).砂.Zy 或£呦(二)高階偏導數設函數z=f (x . y)在區(qū)域D內具有偏導數等立(砒)青=朋為那么在D內fx(x. y)、f y(x. y)都是x y的函數如果這兩個函數的偏導數也存 在則稱它們是函數zf

28、 (x . y)的二偏導數按照對變量求導次序的為同有下列 四個二階偏導數如果函數z二f(x.y)在區(qū)域D內的偏導數fx(x.y)、fy(x . y)也具有偏導數則它們的偏導數稱為函數z=f (x . y)的二階偏導數.按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數鏑寺仏(和)靄疇(2)d _d2z e 亂 d d2! d /fey、昇砂"砂弘勿dy2d2z d2z莊二和"同樣可得三階、四階、以及n階偏導數 二階及二階以上的偏導數統(tǒng)稱為高階偏導數例 6 設 z =x3y2_3xy3-xy 1 .求 、宀解'"dxdyd2z _ d2z由例6觀察到的問題：【；

29、、d2z dz定理 如果函數Z =f(x . y)的兩個二階混合偏導數二及":在區(qū)域D內連續(xù) 那么在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數必相等.類似地可定義二元以上函數的高階偏導數.見 I % = °例7驗證函數二-二一 滿足方程證因為.所以dz_x_ 鬼二丿護£_ （F+護）-X 2x_ 護_兀2 護 （F+護）2 （F+b）2% (*+沖-y勿 2 喬.(F+疔_齊爭因此1十*戲十為二。例8 證明函數一 滿足方程尺 /其中du 1 dr lx x _ _ . 證'' 宀T ：'-、滬刃_ _ 1丄3片dr _13z2dhi=_ 1 , 3y2色

30、_丄亠變同理-§ 8 , 3全微分及其應用教學目標與教學要求1掌握全微分的概念、應用及計算方法；2 .會求多元函數的全微分；3會判斷二元函數在一點的可微性。教學重點與難點多元函數在一點的可微性是難點教學方法與手段多媒體互動教學教學內容1 全微分的定義及其計算法2 .全微分在近似計算中的應用一、全微分的定義根據一元函數微分學中增量與微分的關系有 偏增量與偏微分f(x ：x y) _f(x .y) fx(x .y) .：x f (x x . y) -f (x . y)為函數對x的偏增量.f x(x . y x為函數對x的偏微分f(x .y .y) -f (x . y) fy(x .小逍f

31、 (x . y ：y) -f (x . y)為函數)對y的偏增量.f y(x . y). ：y為函數對y的偏微分全增量：.：z = f (x :x y y) -f (x. y),計算全增量比較復雜.我們希望用x、厶y的線性函數來近似代替之.定義 如果函數z =f (x . y)在點(X . y)的全增量-z = f (x lx y =y) -f (x. y)可表示為(p-0護+(4 )其中A、B不依賴于厶x> y而僅與x、y有關.則稱函數z=f(x. y)在點(x. y)可微分.而稱A x B y為函數z=f (x . y)在點(x . y)的全微分.記作dz即dz 4x B y如果函數

32、在區(qū)域D內各點處都可微分那么稱這函數在D內可微分可微與連續(xù)：可微必連續(xù)但偏導數存在不一定連續(xù)這是因為.如果z=f(x.y)在點(x. y)可微.則z = f (x x y y) -f (x. y)二A ：x B y o()lira Az=O于是° - '.曲幾+&+3)二血MQ)+閔二/gy)從而因此函數zh(x.y)在點(x.y)處連續(xù) 可微條件定理1(必要條件)&生如果函數Z二f(x. y)在點(x. y)可微分.則函數在該點的偏導數二、；必定存在且函數z=f(x.y)在點(x . y)的全微分為證 設函數z=f (x . y)在點P(x . y)可微分，

33、于是.對于點P的某個鄰域內的任意一 點 P (x ：x . y)y).有，zAx By o( ).特別當 7=0 時有f ( x =x . y) -f (x . y) =Ax o(| 二x|).上式兩邊各除以 議 再令歆0而取極限.就得從而偏導數昭存在.且二dzdz同理可證偏導數宀存在且人簡要證明：設函數z=f (x . y)在點(x . y)可微分.于是有厶z=A)x - B y o( ).特別 當 'y =0時有f ( x =x . y) -f (x . y)二A=x o(| 二x|).上式兩邊各除以x再令歆0而取極限就得lim 空竺土如也血卅辿gAs-oA 孟M3Ax、生 = A

34、 ± 色胡論色&+空3從而二存在.且；同理宀存在.且"所以兒偏導數丄：、宀存在是可微分的必要條件.但不是充分條件 例如0*+戸二 ° 在點(0.0)處雖然有 fx(0.0)=0 及 fy(0. 0)=0.但函數在(0 .0)不可微分.即Az-fx(0 . 0) Ax+fy(0 . 0)紉不是較P高階的無窮 小.這是因為當(&. y)沿直線y=x趨于(0 . 0)時.加-【人(0,0)加+上(0.0) Ay _Ax ®_J 0p二(&尸+(3)廠(A滬十仏x)廠2定理2(充分條件)如果函數z =f (x . y)的偏導數:二、宀在點

35、(x . y)連續(xù).則函數在該點可微分定理1和定理2的結論可推廣到三元及三元以上函數.按著習慣X、厶y分別記作dx、dy并分別稱為自變量的微分.則函數z=f(x. y) 的全微分可寫作二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合疊 加原理疊加原理也適用于二元以上的函數.例如函數U二f ( X. y . z)的全微分 為du =字必+卑心血辦 dy dz例1計算函數z狀2y y2的全微分龐_2x解因為J】'' 所以 dz =2xydx (x2 2y) dy .例2計算函數Z£xy在點(2 . 1)處的全微分，解因為-.y = z+sin 厶+w 朋

36、例3計算函數一的全微分色=1解因為兒二、全微分在近似計算中的應用當二元函數Z=f (x. y)在點P ( x. y)的兩個偏導數f x ( X. y) . f y(x. y)連續(xù)并且| &| . |也y|都較小時有近似等式z ： dz= f x ( x . y) ：x f y (x y) ：y即 f ( x =x . y =y) : f (x . y) f x ( x . y) ：x f y (x . y) ：y .我們可以利用上述近似等式對二元函數作近似計算 例4有一圓柱體受壓后發(fā)生形變它的半徑由20cm增大到20,05cm.高度由1OOcu減少到99cm求此圓柱體體積變化的近似值解

37、設圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V則有V實 r2h .已知r=20. h=100. ArR, 05 . Ah1 ,根據近似公式.有2心VQVV心r +V,Ah=2兀rh Ar +nr 心h=2欣20"00漢0,05 +曲202沢(-1) =-200兀(cm3),即此圓柱體在受壓后體積約減少了 200： cm3.例5計算(1 , 04)2,02的近似值，解 設函數f ( x . y) =x y，顯然.要計算的值就是函數在x=1 04 y=2 02時的函數值 f(1 04.2 02),取 x=1 y=2 ：x=0 04 ：y=0 02.由于f ( x lx . y iy) ： f

38、(x . y) f x(x . y)二x f y(x. y)yy _jy二x yx x x In x y所以2 02 2 2 1 2(1 04).胡 +2x1 r004+1 x|nl 匯0 02=1 08.例6利用單擺擺動測定重力加速度 g的公式是現測得單擺擺長l與振動周期T分別為l=100土 0.1cm、T=2± 0.004s問由于測定l與T的誤差而引起g的絕對誤差和相對誤差各為多少？解 如果把測量l與T所產生的誤差當作| l |與| T|,則利用上述計算公式所 產生的誤差就是二元函數-的全增量的絕對值| g|.由于l| | A T|都很小因此我們可以用dg來近似地代替A g 這樣

39、就得到g的誤差為嘟血礙心+孰T 魯+孰S t=0.004代入上式如果自變量x、y的其中“與5為I與T的絕對誤差.把I =100 T=2,、“=0.1, 得g的絕對誤差約為二4朮出+2響504)s 22 23=0.腫=4 93伽總).從上面的例子可以看到.對于一般的二元函數z=f(x, y ), 絕對誤差分別為'X、“即| X I L x, | y I 4 y,則z的誤差血網必冃Jai+|aX|從而得到z的絕對誤差約為dzdxz的相對誤差約為§8 4多元復合函數的求導法則教學目標與教學要求熟練掌握多元復合函數的求導法則。教學重點與難點多元復合函數的求導法則。教學方法與手段多媒體

40、互動教學教學內容多元復合函數的求導法則。dz設 Z二f(U . V).而 U二(t) . V二(t).如何求二？設 z=f (u . V).而 u二(x y) . v= (x y).如何求 二和"？1 復合函數的中間變量均為一元函數的情形定理1如果函數u=F(t)及V= (t)都在點t可導.函數z=f(u. V)在對應點(U. V) 具有連續(xù)偏導數則復合函數Z=f (th ' (t)在點t可導且有空二生包+生空dt du dt dv dt ,簡要證明1：因為Z=f(u.v)具有連續(xù)的偏導數.所以它是可微的.即有込李血+李旳du 命又因為u=（t）及v仝r（t）都可導.因而可微

41、.即有出、 df 、代入上式得込空空如空空出二座敗+理型妙 du dt dv dt du dt dv dtdz dz du t dz dvF,_從而丄 簡要證明2 :當t取得增量厶t時.u、v及z相應地也取得增量厶u、厶v及厶z .由z=f（u.v）、u=F（t）及vr（t）的可微性.有證爭+孰+血）魯務山乜血）+尋務血）+啲=4%務瓠婆唏如側du at uv at du uvAz_& du丄氐 加丄r空丄汰。（山）丄o（P） 礦無h爲石丸石+訂飛t+tt .令t >0上式兩邊取極限.即得dz dz du t dz dv dt du dt Sv* dt ,注 -推廣 設 z二f

42、( u . v . w) u= (t) . V- (t) . w (t).則 Z二f (t) . (t) . ，(t ) 對t的導數為：Sz dz du , dzdv . & dw二+dt du dt ddt 加力"dz上述工稱為全導數2 .復合函數的中間變量均為多元函數的情形 定理2如果函數uC(x . y) . v- (x y)都在點(x . y)具有對x及y的偏導數.函 數z=f(u.v)在對應點(u.v)具有連續(xù)偏導數.則復合函數z=f (x, y) , ' (x y)在點(x. y)的兩個偏導數存在.且有推廣:設 z(u . V . w) u二(x . y)

43、 . v= (x . y) . w (x . y).則生二生魚+理理+魚創(chuàng) 迦二童理+世色+魚西 ara/&瓦東喬凍.刼*步加創(chuàng).討論(1)設 z=f (u . v) . u= (x . y) . v=： (y).則"？宀 ？&du 遡二迦魚+生世提示' 空 ±_ 設 z=f (u . x . y).且 u二(X. y).則 I ?宀 ？ 埜二址型+埜辺二宣迦+堂提示 ；：-''& © &這里h與K.是不同的L是把復合函數Z=f (x . y) . x . y中的y看作不變而對x的偏導數二是把f (u . x

44、 . y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數.與-也朋類似的區(qū)別3復合函數的中間變量既有一元函數.又有多元函數的情形定理3如果函數uC(x . y)在點(x . y)具有對x及對y的偏導數.函數v？(y) 在點y可導.函數z=f(u.v)在對應點(u.v)具有連續(xù)偏導數.則復合函數z=f (x y) . ' (y)在點(x. y)的兩個偏導數存在.且有dz_dz du dv例1 設 z=eusin v . u=xy . v=xy .求丄 和 八.uu=e sin v y e cos v 1二exyy sin( x y) cos( x y)dz_dz du dzdy du dy dyuu

45、=e sin v x e cos v 1 =exy x sin( x y) cos(x y).du 魚例2設/而f二一茁甘，求王和j ,="護 + 血 f 護-2x $in y=2x+(l+2Q$inb)討+尸+人巧du dfdf dz一二=+dy dy dz dy=用 +&護 f+F -x2 cosy= 2(y+/sin ycoy)&" +，知也、例3設z刃v sin t .而u=d . v=cos t .求全導數土，盤=也出/ +龐世+極解丄 £ 一匚 L“ ：!=v e u ( -sin t) cos t=e cos t -efsin t c

46、os t=e (cos t -sin t) cos t .例4設wf (x y z . xyz) . f具有二階連續(xù)偏導數.求匕及氓壬,解令 u 二x y z . v 二xyz .貝U wf (u v).二fn+曲+朋+唏I+，左二用+W+泌+皿+說徒例5設u二f (x . y)的所有二階偏導數連續(xù).把下列表達式轉換成極坐標系中的形 式：解 由直角坐標與極坐標間的關系式得u=f (x . y) =f ( ?cos B . 'sin 0) =F( . 9 ).y其中 x - -cos 0 . y-sin 0=arctan-1 ,應用復合函數求導法則.得生蟲+也空=竽魯厶=迦說一也連 dp

47、 dx d& dx dp p S& fr dp d& pdu _ du dp du d& _ du y dtt x _ ducosdy dp Sy d0dp pf? %恥 dd p兩式平方后相加得再求二階偏導數得_ d f 迪、dp d 屈、d& 護二訝認石*麗(認忘dp dp d9 p '-豁辭dd dpsin sin 5S_cog2g_2 3紜 為 汕滬rB A+魚 2$in 0co$0十 5u sin 090 嚴 dp p .同理可得dhi _ 角心 2 口丄 j % sin decsd丄 cos滬 a h r Sill 0 "r

48、 乙 忌川rq滬 dp2 dpde p8護 p2_魚 2$in0cos& | du d& f? dp p兩式相加.得uu_fu , 1 - 1 幾 dx2 dy1 dp2 p f? d&2S_cog2g_2 3紜 為 汕滬全微分形式不變性：設z =f (U . V)具有連續(xù)偏導數.則有全微分 毎2如果z=f(u.v)具有連續(xù)偏導數而u= (x.y) . v= (x . y)也具有連續(xù)偏導數 則=(a? %+業(yè)狗du 3x dvdx-)必+(dz也*陸du dy 3vS_cog2g_2 3紜 為 汕滬S_cog2g_2 3紜 為 汕滬& fdu j ,du r.

49、, dz.dv , G 八二軸+執(zhí)du由此可見.無論z是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數.它的全微分形 式是一樣的這個性質叫做全微分形式不變性例6設z=e usin v u二x yvxy利用全微分形式不變性求全微分，廠-二幾二廠uu解:e sin vdu e cos v dv=e usin v(y dx x dy ) e ucos v(dx dy)=(ye usin v e ucos v) dx (xe usin v e ucos v ) dyxyxy=e y sin( x y) cos(x y) dx e x sin( x y) cos(x y) dy .§ 8.5隱函數的

50、求導法則教學目標與教學要求1掌握一個方程，方程組情形的隱函數求導公式；2 會求由一個方程確定的隱函數的導數(含二階)；3 會求由方程組確定的隱函數的導數(一階)教學重點與難點1了解隱函數(組)存在定理的三個條件和三個結論;2掌握求導(或偏導數)的公式和方法；3 掌握隱函數(組)求導的三種方法。教學方法與手段多媒體互動教學教學內容1.由一個方程確定的隱函數的導數一、一個方程的情形隱函數存在定理1設函數F(x . y)在點Hxo. y°)的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數.F(x°. y°) =0. Fy(x°. y°) -0.則方程F(x . y) =0

51、在點(X。. y°)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具 有連續(xù)導數的函數y=f(x).它滿足條件y°=f(x。).并有求導公式證明：將y =f (X)代入F( x . y) =0.得恒等式F(x. f (x)三0等式兩邊對x求導得塑+塑處0&dx由于Fy連續(xù)且Fy(x°. y°) =0 .所以存在(X。. y°)的一個鄰域.在這個鄰域同Fy -0 于是得例1驗證方程x2*y2_1=0在點(0 . 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、 當x=0時y=1的隱函數y二f(x).并求這函數的一階與二階導數在 x=0的值解 設 F(x .

52、 y) =4/_1.則 Fx=2x. Fy=2y F(0 . 1) =0. Fy(0.1) =2卻，因此由定理 1 可知方程x2"2-1R在點(0 . 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、 當x =0時y=1的隱函數y=f (x).型二一垃變 =0必巧 7必口 ；W y1 y2 / ,d2y隱函數存在定理還可以推廣到多元函數，一個二元方程F(x . y) =0可以確定一個 一元隱函數.一個三元方程F(x . y . z) =0可以確定一個二元隱函數.隱函數存在定理2設函數F( x y z)在點P(xo. y。. Zo)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數.且F(x。. y°Z

53、o) =0. Fz(Xo. yo. Zo) -0 .則方程 F(x . y. z) =0在點(x。. y。Zo)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數z=f (x . y).它滿足條件Zo二f(Xo. yo) 并有公式的證明:將z=f (x . y)代入F(x y z) =0得F(x y f(x y)三0將上式兩端分別對x和y求導.得因為Fz連續(xù)且Fz(xoyozo)=0.所以存在點(xoyoZo)的一個鄰域.使Fz=0于是得d2z例 2.設 x2 y2 z4z求 W解 設 F(x . y . z) = x 2 y2 z2-4z .則 Fx=2x Fy=2z-4洗二丄二2x 二

54、 x dx Fs 2z-4 2-z決畤 _(r+H盤)_g-護“冠(2-z)2(2-z)2(2-z)3二、方程組的情形在一定條件下.由個方程組F(x . y . u . v) =0 . qx . y . u. v) =0可以確定一對二元 函數u=u(x . y) . v=v(x . y).例如方程xuyv=0和yuxv = 1可以確定兩個二元函x V-U 事實上.xu-yv=0 =:=艸+著込"二1y 二y 二 xi2+y2 F+尹如何根據原方程組求u v的偏導數?隱函數存在定理3 設F(x . y . u. v)、qx . y. u . v)在點P(x。. y0.u0.v0)的某一鄰域內具有對各個變 量的連續(xù)偏導數又F(x。. y。. u。. V。)