第8章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用.

1、第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用本章主要內(nèi)容：1. 多元函數(shù)及其定義域、平面點(diǎn)集、重極限與累次極限、連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)與全微分等基本概念,以及它們的相互關(guān)系。2. 多元函數(shù)微分學(xué)的基本定理、微分法則與計(jì)算公式。3. 隱函數(shù)存在定理及其微分法，方向?qū)?shù)與梯度的基本知識(shí)。4. 多元函數(shù)的幾何應(yīng)用與極值。§8 .1多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求1. 了解多元函數(shù)及多元函數(shù)的極限與連續(xù)的有關(guān)概念；2. 了解在有界閉域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)；3. 會(huì)求多元函數(shù)的定義域；4. 會(huì)求較簡單的二元函數(shù)的極限；5. 會(huì)判斷二元函數(shù)的連續(xù)性。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)求重極限的主要方法（用夾逼法則，運(yùn)用連續(xù)性，用定義

2、論證，換元化為一元函數(shù)求 極限）教學(xué)方法與手段多媒體互動(dòng)教學(xué)教學(xué)內(nèi)容1 .平面點(diǎn)集n維空間2 .多元函數(shù)概念3 .多元函數(shù)的極限4 .多元函數(shù)的連續(xù)性一、平面點(diǎn)集n維空間1 .平面點(diǎn)集 由平面解析幾何知道.當(dāng)在平面上引入了一個(gè)直角坐標(biāo)系后.平面上的點(diǎn)P與有 序二元實(shí)數(shù)組(X. y)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)，于是.我們常把有序?qū)崝?shù)組(X . y) 與平面上的點(diǎn)P視作是等同的，這種建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面，二元的序?qū)崝?shù)組(x . y)的全體.即R=R R=( x y)lx y R就表示坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合.稱為平面點(diǎn)集.記作X . y)| ( X y)具有性質(zhì) P.例如.平

3、面上以原點(diǎn)為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是3( x . y)| x2 y2： r2.如果我們以點(diǎn)P表示(x y).以| Op表示點(diǎn)P到原點(diǎn)0的距離.那么集合C可表 成C=P| | Op ：r.鄰域設(shè)P0(xo. yo)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn).是某一正數(shù).與點(diǎn)Po(xo. yo)距離小于：的點(diǎn) P (xy)的全體.稱為點(diǎn)Po的鄰域.記為U ( Po,.即:-或.鄰域的幾何意義：U( Po.-：)表示xOy平面上以點(diǎn)Po(xo. yo)為中心、: >0為半徑 的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P ( x . y)的全體，點(diǎn)Po的去心鄰域.記作L即加胡胡0<|肚).注：如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑一則用U(

4、 Po)表示點(diǎn)Po的某個(gè)鄰域點(diǎn)Po的去心鄰域記作 .點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系：任意一點(diǎn)P R2與任意一個(gè)點(diǎn)集E氏之間必有以下三種關(guān)系中的一種： (1)內(nèi)點(diǎn)：如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P)使得U(P) E則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)：如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P).使得U(P)- E=._.則稱P為E的外點(diǎn).邊界點(diǎn)：如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn).也有不屬于E的點(diǎn).則稱P 點(diǎn)為E的邊點(diǎn).E的邊界點(diǎn)的全體.稱為E的邊界.記作；：EE的內(nèi)點(diǎn)必屬于E E的外點(diǎn)必定不屬于 E而E的邊界點(diǎn)可能屬于E.也可能不屬 于E .聚點(diǎn)如果對(duì)于任意給定的:0點(diǎn)P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn).則稱P是E 的聚點(diǎn)，由聚點(diǎn)的定義可知.點(diǎn)

5、集E的聚點(diǎn)P本身.可以屬于E.也可能不屬于E .例如.設(shè)平面點(diǎn)集E=( x . y)|1 ：x2 y2乞2.滿足1 x y2 2的一切點(diǎn)(x . y)都是E的內(nèi)點(diǎn)滿足x2 y1的一切點(diǎn)(x . y)都是 E的邊界點(diǎn).它們都不屬于E-滿足x /=2的一切點(diǎn)(x . y)也是E的邊界點(diǎn).它 們都屬于E點(diǎn)集E以及它的界邊:E上的一切點(diǎn)都是E的聚點(diǎn).開集：如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn).則稱E為開集閉集：如果點(diǎn)集的余集Ec為開集.則稱E為閉集開集的例子：E-( x . y)|1< x2 y2<2.閉集的例子：E-( x. y)|1 x2 y2豈2.集合( x . y)|1 x2 y2既非開集也非閉

6、集連通性：如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn).都可用折線連結(jié)起來且該折線上的點(diǎn)都屬于 E則稱E為連通集.區(qū)域(或開區(qū)域):連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域例如E二( x. y)|1 ：x“y2：2.閉區(qū)域：開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域例如E二( x. y)|1 <x2 y2.有界集：對(duì)于平面點(diǎn)集E.如果存在某一正數(shù)r .使得E U(O r).其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).則稱E為有界點(diǎn)集無界集：一個(gè)集合如果不是有界集.就稱這集合為無界集，例如.集合(x.y)|1 <x2 y<2是有界閉區(qū)域集合(x.y)l x y 1是無界開區(qū) 域集合( x . y)| x y_1是無界閉區(qū)域2 . n維空間

7、設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù).我們用R表示n元有序數(shù)組(xi. X2. . Xn)的全體 所構(gòu)成的集合.即R=RxRh Xi . X2.Xn)| Xi 匕 R. i =1 . 2 . * n，Rn中的元素(Xi. X2. Xn)有時(shí)也用單個(gè)字母x來表示.即X=(Xi . X2. . X n),當(dāng)所有的Xi (i =1 . 2 .n)都為零時(shí)稱這樣的元素為R1中的零元記為0或O，在解析幾何中通過直角坐標(biāo).戍或R3)中的元素分別與平面(或空間)中 的點(diǎn)或向量建立對(duì)應(yīng).因而R中的元素x=(Xi. X2. Xn)也稱為Ff中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量.Xi稱為點(diǎn)X的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量x的第i個(gè)分量，特 別地.

8、R1中的零元0稱為Rn中的坐標(biāo)原點(diǎn)或n維零向量.為了在集合F中的元素之間建立聯(lián)系.在F中定義線性運(yùn)算如下：設(shè)x=(x xXn) y=(yi. yyn)為F1中任意兩個(gè)元素. R.規(guī)定x y=(xry 1X2y 2Xnyn)x=(XiX2Xn).這樣定義了線性運(yùn)算的集合 Rn稱為n維空間R1 中點(diǎn) x=(xi. X2. Xn)和點(diǎn) y=(yi y2.yn)間的距離.記作(x. y).規(guī)定處)二J(礦廠+(召 兒)'.顯然 n=1 2 . 3時(shí).上術(shù)規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標(biāo)系下平面及空間中兩點(diǎn)間的距 離一至F中元素x=(Xi. X2. . Xn)與零元0之間的距離P(x. 0)記作| x|(

9、在R、R2、 F中通常將| x|記作|x|).即II訓(xùn)卜曲+*+ £ .采用這一記號(hào).結(jié)合向量的線性運(yùn)算.便得II工-y 11=/礦W+(可乃尸+ , +乩-W二加工丿).在n維空間戌中定義了距離以后.就可以定義R中變?cè)臉O限設(shè) x=(Xi. X2 - - Xn) . a=(ai. a2 - an) R如果II x-a| >0則稱變?cè)獂在Rn中趨于固定元a.記作x >a .顯然X a ：= x ir ai. X2 > a2 ； ； - Xn > an .在Rn中線性運(yùn)算和距離的引入.使得前面討論過的有關(guān)平面點(diǎn)集的一系列概念.可以方便地引入到n(n_3)維空間中

10、來例如.設(shè)a=(ai. a?. Rn.是某一正數(shù).則n維空間內(nèi)的點(diǎn)集U(a.、)訊x| x Rn.(x. ap： 就定義為Rn中點(diǎn)a的鄰域.以鄰域?yàn)榛A(chǔ).可以定義點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界 點(diǎn)和聚點(diǎn)以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念，二多元函數(shù)概念例1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系Vr2h這里當(dāng)r、h在集合( r . h ) | r>0. h>0內(nèi)取定一對(duì)值(r . h)時(shí).V對(duì)應(yīng)的值 就隨之確定例2 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p、體積V和絕對(duì)溫度T之間具有關(guān)系其中R為常數(shù)這里.當(dāng)V、T在集合( V T) | V >o. T>0內(nèi)取定一對(duì)值(V. T)時(shí) p的對(duì)應(yīng)

11、值就隨之確定，例3設(shè)R是電阻R、R并聯(lián)后的總電阻.由電學(xué)知道.它們之間具有關(guān)系這里.當(dāng)R、R在集合( Ri. R2) | R i>0. R2>0內(nèi)取定一對(duì)值(Ri . R2)時(shí).R的對(duì) 應(yīng)值就隨之確定，定義1設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集.稱映射f ： DR為定義在D上的二元函數(shù) 通常記為z=f (x. y) .( x . y) D(或 z=f(P) . D)其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域.x.y稱為自變量.z稱為因變量上述定義中.與自變量x、y的一對(duì)值(x.y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值.也稱為f在 點(diǎn)(x . y)處的函數(shù)值.記作f (x . y).即z=f (x . y).值域：f(D)N

12、z| z=f(x.y). (x.y)wD.函數(shù)的其它符號(hào)：z=z(x. y) . z=g(x. y)等類似地可定義三元函數(shù)u=f (x. y. z) . ( x. y . z)D以及三元以上的函數(shù),一般地把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間Rn內(nèi)的點(diǎn)集D.映射f : DR就 稱為定義在D上的n元函數(shù).通常記為U#(Xl . X2 . . Xn) . ( Xi . X2 . . Xn) D.或簡記為U#(X) X=(X1 . X2 .： ，:Xn) D也可記為U 彳(P) P( Xi X2 .： ，.：Xn) D .關(guān)于函數(shù)定義域的約定：在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)U=f (x)時(shí).就以使這個(gè)

13、算式有意義的變?cè)獂的值所組成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域因而對(duì)這類函數(shù)它的定義域不再特別標(biāo)出例如.函數(shù)z=ln( X y)的定義域?yàn)? X . y)| X y>0(無界開區(qū)域) 函數(shù)z=arcsin( x2+y2)的定義域?yàn)? x . y)| x2+y2蘭1(有界閉區(qū)域),二元函數(shù)的圖形：點(diǎn)集( x. y . z)| z=f (x . y) . (x.y)D稱為二元函數(shù)z=f (x. y) 的圖形.二元函數(shù)的圖形是一張曲面.例如 ax by c是一張平面.而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面，三.多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限概念類似.如果在P(x . y) > Po(x&#

14、176;. yo)的過程中.對(duì)應(yīng)的函數(shù) 值f(x.y)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù) A則稱A是函數(shù)f(x.y)當(dāng)(x.y)(x。. y 0)時(shí)的極限.定義2設(shè)二元函數(shù)f(P)孑(x. y)的定義域?yàn)镈 Po(xo. yo)是D的聚點(diǎn).如果存在常數(shù)Aa對(duì)于任意給定的正數(shù) 總存在正數(shù)：.使得當(dāng)''1'' 1時(shí).都有|f(P)T =|f(x .y) -A 一成立.則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x. y)當(dāng)(x.y)(x。. yo)時(shí)的極限.記為lim= A' -或 f(x y)；A ( x y)； (xo y。)也記作lim fP)=A:Y 打或 f (P) A( P &g

15、t; Po),上述定義的極限也稱為二重極限fy)二 X +於)sin 亠rd = 0例 4.設(shè)1.'.求證：.證因?yàn)?/(砂-。冃(*+尸)血詁廠0|廿+長1伽*戸可見- ；>o 取一匚.則當(dāng)即二二訂，時(shí)總有| f (x . y) 一0| :;.11H1 /(扎刃二0因此、二.必須注意(1)二重極限存在.是指P以任何方式趨于Po時(shí).函數(shù)都無限接近于A 如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于Po時(shí).函數(shù)趨于不同的值.則函數(shù)的極限不存 在討論n在點(diǎn)(0. 0) 有無極限?提示：當(dāng)點(diǎn)P(x . y)沿x軸趨于點(diǎn)(0.0)時(shí).lim/(0)=lim 0 = 03)視叩)wOwO ;當(dāng)點(diǎn)P(x . y

16、)沿y軸趨于點(diǎn)(0 . 0)時(shí) 曲岀畑也I當(dāng)點(diǎn)P (x . y)沿直線y=kx有l(wèi)im孑殳-lim2 =訕 *+ V" I。F +好* 1+匸J1%因此.函數(shù)f (x . y)在(0 . 0)處無極限“極限概念的推廣：多元函數(shù)的極限 多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則：與一元函數(shù)的情況類似Inn啦L蚯迥型尸ta廻型解：、Bm y=1 2=2四.多元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)f(P) =f ( x y)的定義域?yàn)镈 Po(xo. yo)為D的聚點(diǎn).且Po D ，如果則稱函數(shù)f ( X . y)在點(diǎn)R(X0. yo)連續(xù)如果函數(shù)f ( x . y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù).那么就稱函數(shù)f (x. y)在

17、D上連續(xù).或 者稱f ( x . y)是D上的連續(xù)函數(shù)，二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去例6設(shè)f (x, y)二sin x .證明f (x . y)是R2上的連續(xù)函數(shù)證 設(shè) R(Xo. y°) R2 , - ； .0 .由于 sin x 在 xo處連續(xù).故二心0 .當(dāng) | x-x°| ：、；時(shí).有|sin xsin Xo| :以上述-作Po的、鄰域qPo.).則當(dāng)P(x . yr U( R，)時(shí).顯然 | f (x . y) -f (x yo)| =|sin xsin x°| ：；.即f (x . y) =sin x在點(diǎn)Po(x°.

18、 yo)連續(xù).由Po的任意性知.sin x作為x. y的二 元函數(shù)在R2上連續(xù)證對(duì)于任意的Po(xo.yo)，R因?yàn)閘imsm x=sinzQ=/（0）所以函數(shù)f(x,y)=sin x在點(diǎn)Po(Xo.yo)連續(xù).由P的任意性知 sin x作為x. y 的二元函數(shù)在R2上連續(xù)類似的討論可知.一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時(shí).它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是連續(xù)的， 定義4設(shè)函數(shù)f(x.y)的定義域?yàn)镈. Po(xo.yo)是D的聚點(diǎn)如果函數(shù)f(x.y)在 點(diǎn)Po(Xo. yo)不連續(xù).則稱Po(Xo. yo)為函數(shù)f (x . y)的間斷點(diǎn).例如/(和)二函數(shù)其定義域D=R qo .

19、0)是D的聚點(diǎn)，f(x. y)當(dāng)(x. y)T (0 . 0)時(shí)的極限不存在. 所以點(diǎn)qo . 0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，1sin =又如.函數(shù) X.其定義域?yàn)?x( X. y)| x2+y=i.圓周C( x y)| x2y =1上的點(diǎn)都是D的聚點(diǎn).而f(x.y)在C上沒有定義.當(dāng)然f(x. y)在C上各 點(diǎn)都不連續(xù)所以圓周C上各點(diǎn)都是該函數(shù)的間斷點(diǎn).注：間斷點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)也可能是曲線上的點(diǎn)-連續(xù)函數(shù)的商在分母不為可以證明.多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù) 零處仍連續(xù)多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)多元初等函數(shù)：與與一元初等函數(shù)類似.多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)這個(gè)式子是

20、由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限 次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的，例如總 .sin( x+y).，屛護(hù)+'都是多元初等函數(shù),一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，所謂定義區(qū)域是指包含在定義域 內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域， 由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性.如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處的極限.而該點(diǎn) 又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi).則解：函二是初等函數(shù).它的定義域?yàn)镈=( x y)| x=0 y=0.Po(1 . 2)為D的內(nèi)點(diǎn).故存在Po的某一鄰域U(Po)uD.而任何鄰域都是區(qū)域.所以U(Po)是f (x . y)的一個(gè)定義區(qū)域.因此r 忸 t/QRQ lim陰一般地.求叮時(shí).如果f

21、(P)是初等函數(shù).且Po是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn).則f(P)在點(diǎn)Po處連續(xù).于是如丿叮(坊)1O所T例8求，-.曲何T二曲(歷不業(yè)兩+D二血 1.= 1解：、1 -.-多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù).必定 在D上有界.且能取得它的最大值和最小值性質(zhì)1就是說若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).則必定存在常數(shù)M 0.使得對(duì)一 切P D.有|f(P)| <M且存在Pi、P 2 D使得f (Pi)二maxf(P)| P D . f(P2)二minf (P)| P D.性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小 值之間的

22、任何值§8 , 2偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求1掌握偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念及計(jì)算方法。2 熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法（含分段函數(shù)在銜接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)求解多元函數(shù) 了 的偏導(dǎo)數(shù)的方法教學(xué)方法與手段多媒體互動(dòng)教學(xué)教學(xué)內(nèi)容1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法2 高階偏導(dǎo)數(shù)（一）、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法對(duì)于二元函數(shù)z=f（x . y）.如果只有自變量x變化.而自變量y固定.這時(shí)它就是 x的一元函數(shù).這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù).就稱為二元函數(shù)z=f（x. y）對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)函數(shù)z二f（x.y）在點(diǎn)（xo.yo）的某一鄰域內(nèi)有定義當(dāng)y固定在y而x在x 0處有增量ux時(shí).相應(yīng)地函數(shù)有增

23、量f (Xo x . yo) -f (Xo. yo).如果極限曲 /（閉+X兀）-/（；%）AwOLx存在則稱此極限為函數(shù)z=f （x . y）在點(diǎn)（Xo. yo）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).記作例如/（殆+兀旳）-了 （和用）Ax類似地.函數(shù)Z=f（x. y）在點(diǎn)（Xo. yo）處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為血/（殆妣+V）-/（菇必）如iAy記作dz.或 f y( Xo . yo),偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)z=f （x. y）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)（x. y）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在 那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù).它就稱為函數(shù)z=f（x.y）對(duì)自變量丄的偏導(dǎo)函 數(shù).記作辺£Sr . dx偏導(dǎo)函數(shù)的定義式亠 類似地可

24、定義函數(shù)zf（x.y）對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù).記為 創(chuàng).砂.Zy 或朋3 偏導(dǎo)函數(shù)的定義式亠 求匕時(shí).只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)求時(shí).只要把x暫時(shí)看作常 量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù) 討論：下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確?£ （帀=Z （兀為卜呵 X （切鈕）二厶（兀刃卜呦 尸片.r.fn（奄Jh）=（兀h（j>7q）=【喬/（帀J）山-J,偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)，例如三元函數(shù)u=f（x.y.z）在點(diǎn)（x.yz）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為Ax.它們的求法也仍舊是一元函其中（x. y . z）是函數(shù)u=f（x . y. z）的定義域的內(nèi)點(diǎn) 數(shù)的微分法問題，例1求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)（1

25、 . 2）處的偏導(dǎo)數(shù).解；=21+3 2=87=2dz¥網(wǎng)=31+2-2=7尸2例2求z =x2sin 2 y的偏導(dǎo)數(shù)x Sz* 1 寵例3設(shè) mV.求證h：；空二冊(cè)“孚Slnx證蘭莘 + 丄莘二丄護(hù) In x- + ?-2z y dx In x qy y In x例4求”廠+廠_一的偏導(dǎo)數(shù)祁一 X _x dr y J 解山 ” :.；丁:例5已知理想氣體的狀態(tài)方程為 pV=RT(R為常數(shù)).dp dv dr 1求證：" :丁兀AT壘一型證因?yàn)?quot;"廠 'Pd_R3T7 ;所以引 3V dT_ RT R V_ PT麗厲哥戸E厘一-莎例5說明的問題：

26、偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào).不能看作分子分母之商二元函數(shù)z=f(x.y)在點(diǎn)(xo.yo)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：fx(Xo. y°)斗f (x. y。) x是截線z=f (x. y°)在點(diǎn)M處切線Tx對(duì)x軸的斜率,fy(xo. yo)二f(xo. y) y是截線z=f (xo. y)在點(diǎn)M處切線Ty對(duì)y軸的斜率偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性：對(duì)于多元函數(shù)來說即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在也不能保證 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)例如-f(xty)2+y20x2+y2 = 0在點(diǎn)(0 0)有.fx(0 . 0) =0. fy(O . 0) =0 但函數(shù)在點(diǎn)(0 . 0)并不連續(xù)提示當(dāng)點(diǎn)P(x . y)沿x軸趨于點(diǎn)(

27、0 . 0)時(shí).有曲了(硼)二lim f(xt O)=lim 0-0(v)->(00)0； 當(dāng)點(diǎn)P(x. y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0 . 0)時(shí)有tai是=曲詩二二厶 (砂)t +yA x->o r】+H因此"醞燉不存在.故函數(shù)f(x.y)在(0.0)處不連續(xù).偏導(dǎo)函數(shù)的定義式/(S+3)-了(和)0類似地可定義函數(shù)z=f(x.y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)記為 創(chuàng).砂.Zy 或£呦(二)高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f (x . y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)等立(砒)青=朋為那么在D內(nèi)fx(x. y)、f y(x. y)都是x y的函數(shù)如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存 在則稱它們是函數(shù)zf

28、 (x . y)的二偏導(dǎo)數(shù)按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的為同有下列 四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)z二f(x.y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x.y)、fy(x . y)也具有偏導(dǎo)數(shù)則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f (x . y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)鏑寺仏(和)靄疇(2)d _d2z e 亂 d d2! d /fey、昇砂"砂弘勿dy2d2z d2z莊二和"同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)例 6 設(shè) z =x3y2_3xy3-xy 1 .求 、宀解'"dxdyd2z _ d2z由例6觀察到的問題：【；

29、、d2z dz定理 如果函數(shù)Z =f(x . y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)二及":在區(qū)域D內(nèi)連續(xù) 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).見 I % = °例7驗(yàn)證函數(shù)二-二一 滿足方程證因?yàn)?所以dz_x_ 鬼二丿護(hù)£_ （F+護(hù)）-X 2x_ 護(hù)_兀2 護(hù) （F+護(hù)）2 （F+b）2% (*+沖-y勿 2 喬.(F+疔_齊爭因此1十*戲十為二。例8 證明函數(shù)一 滿足方程尺 /其中du 1 dr lx x _ _ . 證'' 宀T ：'-、滬刃_ _ 1丄3片dr _13z2dhi=_ 1 , 3y2色

30、_丄亠變同理-§ 8 , 3全微分及其應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求1掌握全微分的概念、應(yīng)用及計(jì)算方法；2 .會(huì)求多元函數(shù)的全微分；3會(huì)判斷二元函數(shù)在一點(diǎn)的可微性。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)多元函數(shù)在一點(diǎn)的可微性是難點(diǎn)教學(xué)方法與手段多媒體互動(dòng)教學(xué)教學(xué)內(nèi)容1 全微分的定義及其計(jì)算法2 .全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用一、全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系有 偏增量與偏微分f(x ：x y) _f(x .y) fx(x .y) .：x f (x x . y) -f (x . y)為函數(shù)對(duì)x的偏增量.f x(x . y x為函數(shù)對(duì)x的偏微分f(x .y .y) -f (x . y) fy(x .小逍f

31、 (x . y ：y) -f (x . y)為函數(shù))對(duì)y的偏增量.f y(x . y). ：y為函數(shù)對(duì)y的偏微分全增量：.：z = f (x :x y y) -f (x. y),計(jì)算全增量比較復(fù)雜.我們希望用x、厶y的線性函數(shù)來近似代替之.定義 如果函數(shù)z =f (x . y)在點(diǎn)(X . y)的全增量-z = f (x lx y =y) -f (x. y)可表示為(p-0護(hù)+(4 )其中A、B不依賴于厶x> y而僅與x、y有關(guān).則稱函數(shù)z=f(x. y)在點(diǎn)(x. y)可微分.而稱A x B y為函數(shù)z=f (x . y)在點(diǎn)(x . y)的全微分.記作dz即dz 4x B y如果函數(shù)

32、在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分可微與連續(xù)：可微必連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)這是因?yàn)?如果z=f(x.y)在點(diǎn)(x. y)可微.則z = f (x x y y) -f (x. y)二A ：x B y o()lira Az=O于是° - '.曲幾+&+3)二血MQ)+閔二/gy)從而因此函數(shù)zh(x.y)在點(diǎn)(x.y)處連續(xù) 可微條件定理1(必要條件)&生如果函數(shù)Z二f(x. y)在點(diǎn)(x. y)可微分.則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)二、；必定存在且函數(shù)z=f(x.y)在點(diǎn)(x . y)的全微分為證 設(shè)函數(shù)z=f (x . y)在點(diǎn)P(x . y)可微分，

33、于是.對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一 點(diǎn) P (x ：x . y)y).有，zAx By o( ).特別當(dāng) 7=0 時(shí)有f ( x =x . y) -f (x . y) =Ax o(| 二x|).上式兩邊各除以 議 再令歆0而取極限.就得從而偏導(dǎo)數(shù)昭存在.且二dzdz同理可證偏導(dǎo)數(shù)宀存在且人簡要證明：設(shè)函數(shù)z=f (x . y)在點(diǎn)(x . y)可微分.于是有厶z=A)x - B y o( ).特別 當(dāng) 'y =0時(shí)有f ( x =x . y) -f (x . y)二A=x o(| 二x|).上式兩邊各除以x再令歆0而取極限就得lim 空竺土如也血卅辿gAs-oA 孟M3Ax、生 = A

34、 ± 色胡論色&+空3從而二存在.且；同理宀存在.且"所以兒偏導(dǎo)數(shù)丄：、宀存在是可微分的必要條件.但不是充分條件 例如0*+戸二 ° 在點(diǎn)(0.0)處雖然有 fx(0.0)=0 及 fy(0. 0)=0.但函數(shù)在(0 .0)不可微分.即Az-fx(0 . 0) Ax+fy(0 . 0)紉不是較P高階的無窮 小.這是因?yàn)楫?dāng)(&. y)沿直線y=x趨于(0 . 0)時(shí).加-【人(0,0)加+上(0.0) Ay _Ax ®_J 0p二(&尸+(3)廠(A滬十仏x)廠2定理2(充分條件)如果函數(shù)z =f (x . y)的偏導(dǎo)數(shù):二、宀在點(diǎn)

35、(x . y)連續(xù).則函數(shù)在該點(diǎn)可微分定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù).按著習(xí)慣X、厶y分別記作dx、dy并分別稱為自變量的微分.則函數(shù)z=f(x. y) 的全微分可寫作二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊 加原理疊加原理也適用于二元以上的函數(shù).例如函數(shù)U二f ( X. y . z)的全微分 為du =字必+卑心血辦 dy dz例1計(jì)算函數(shù)z狀2y y2的全微分龐_2x解因?yàn)镴】'' 所以 dz =2xydx (x2 2y) dy .例2計(jì)算函數(shù)Z£xy在點(diǎn)(2 . 1)處的全微分，解因?yàn)?.y = z+sin 厶+w 朋

36、例3計(jì)算函數(shù)一的全微分色=1解因?yàn)閮憾⑷⒎衷诮朴?jì)算中的應(yīng)用當(dāng)二元函數(shù)Z=f (x. y)在點(diǎn)P ( x. y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f x ( X. y) . f y(x. y)連續(xù)并且| &| . |也y|都較小時(shí)有近似等式z ： dz= f x ( x . y) ：x f y (x y) ：y即 f ( x =x . y =y) : f (x . y) f x ( x . y) ：x f y (x . y) ：y .我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算 例4有一圓柱體受壓后發(fā)生形變它的半徑由20cm增大到20,05cm.高度由1OOcu減少到99cm求此圓柱體體積變化的近似值解

37、設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V則有V實(shí) r2h .已知r=20. h=100. ArR, 05 . Ah1 ,根據(jù)近似公式.有2心VQVV心r +V,Ah=2兀rh Ar +nr 心h=2欣20"00漢0,05 +曲202沢(-1) =-200兀(cm3),即此圓柱體在受壓后體積約減少了 200： cm3.例5計(jì)算(1 , 04)2,02的近似值，解 設(shè)函數(shù)f ( x . y) =x y，顯然.要計(jì)算的值就是函數(shù)在x=1 04 y=2 02時(shí)的函數(shù)值 f(1 04.2 02),取 x=1 y=2 ：x=0 04 ：y=0 02.由于f ( x lx . y iy) ： f

38、(x . y) f x(x . y)二x f y(x. y)yy _jy二x yx x x In x y所以2 02 2 2 1 2(1 04).胡 +2x1 r004+1 x|nl 匯0 02=1 08.例6利用單擺擺動(dòng)測定重力加速度 g的公式是現(xiàn)測得單擺擺長l與振動(dòng)周期T分別為l=100土 0.1cm、T=2± 0.004s問由于測定l與T的誤差而引起g的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？解 如果把測量l與T所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作| l |與| T|,則利用上述計(jì)算公式所 產(chǎn)生的誤差就是二元函數(shù)-的全增量的絕對(duì)值| g|.由于l| | A T|都很小因此我們可以用dg來近似地代替A g 這樣

39、就得到g的誤差為嘟血礙心+孰T 魯+孰S t=0.004代入上式如果自變量x、y的其中“與5為I與T的絕對(duì)誤差.把I =100 T=2,、“=0.1, 得g的絕對(duì)誤差約為二4朮出+2響504)s 22 23=0.腫=4 93伽總).從上面的例子可以看到.對(duì)于一般的二元函數(shù)z=f(x, y ), 絕對(duì)誤差分別為'X、“即| X I L x, | y I 4 y,則z的誤差血網(wǎng)必冃Jai+|aX|從而得到z的絕對(duì)誤差約為dzdxz的相對(duì)誤差約為§8 4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。教學(xué)方法與手段多媒體

40、互動(dòng)教學(xué)教學(xué)內(nèi)容多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。dz設(shè) Z二f(U . V).而 U二(t) . V二(t).如何求二？設(shè) z=f (u . V).而 u二(x y) . v= (x y).如何求 二和"？1 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理1如果函數(shù)u=F(t)及V= (t)都在點(diǎn)t可導(dǎo).函數(shù)z=f(u. V)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(U. V) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則復(fù)合函數(shù)Z=f (th ' (t)在點(diǎn)t可導(dǎo)且有空二生包+生空dt du dt dv dt ,簡要證明1：因?yàn)閆=f(u.v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).所以它是可微的.即有込李血+李旳du 命又因?yàn)閡=（t）及v仝r（t）都可導(dǎo).因而可微

41、.即有出、 df 、代入上式得込空空如空空出二座敗+理型妙 du dt dv dt du dt dv dtdz dz du t dz dvF,_從而丄 簡要證明2 :當(dāng)t取得增量厶t時(shí).u、v及z相應(yīng)地也取得增量厶u、厶v及厶z .由z=f（u.v）、u=F（t）及vr（t）的可微性.有證爭+孰+血）魯務(wù)山乜血）+尋務(wù)血）+啲=4%務(wù)瓠婆唏如側(cè)du at uv at du uvAz_& du丄氐 加丄r空丄汰。（山）丄o（P） 礦無h爲(wèi)石丸石+訂飛t+tt .令t >0上式兩邊取極限.即得dz dz du t dz dv dt du dt Sv* dt ,注 -推廣 設(shè) z二f

42、( u . v . w) u= (t) . V- (t) . w (t).則 Z二f (t) . (t) . ，(t ) 對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為：Sz dz du , dzdv . & dw二+dt du dt ddt 加力"dz上述工稱為全導(dǎo)數(shù)2 .復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2如果函數(shù)uC(x . y) . v- (x y)都在點(diǎn)(x . y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù).函 數(shù)z=f(u.v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).則復(fù)合函數(shù)z=f (x, y) , ' (x y)在點(diǎn)(x. y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.且有推廣:設(shè) z(u . V . w) u二(x . y)

43、 . v= (x . y) . w (x . y).則生二生魚+理理+魚創(chuàng) 迦二童理+世色+魚西 ara/&瓦東喬凍.刼*步加創(chuàng).討論(1)設(shè) z=f (u . v) . u= (x . y) . v=： (y).則"？宀 ？&du 遡二迦魚+生世提示' 空 ±_ 設(shè) z=f (u . x . y).且 u二(X. y).則 I ?宀 ？ 埜二址型+埜辺二宣迦+堂提示 ；：-''& © &這里h與K.是不同的L是把復(fù)合函數(shù)Z=f (x . y) . x . y中的y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)二是把f (u . x

44、 . y)中的u及y看作不變而 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).與-也朋類似的區(qū)別3復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù).又有多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)uC(x . y)在點(diǎn)(x . y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)v？(y) 在點(diǎn)y可導(dǎo).函數(shù)z=f(u.v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).則復(fù)合函數(shù)z=f (x y) . ' (y)在點(diǎn)(x. y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.且有dz_dz du dv例1 設(shè) z=eusin v . u=xy . v=xy .求丄 和 八.uu=e sin v y e cos v 1二exyy sin( x y) cos( x y)dz_dz du dzdy du dy dyuu

45、=e sin v x e cos v 1 =exy x sin( x y) cos(x y).du 魚例2設(shè)/而f二一茁甘，求王和j ,="護(hù) + 血 f 護(hù)-2x $in y=2x+(l+2Q$inb)討+尸+人巧du dfdf dz一二=+dy dy dz dy=用 +&護(hù) f+F -x2 cosy= 2(y+/sin ycoy)&" +，知也、例3設(shè)z刃v sin t .而u=d . v=cos t .求全導(dǎo)數(shù)土，盤=也出/ +龐世+極解丄 £ 一匚 L“ ：!=v e u ( -sin t) cos t=e cos t -efsin t c

46、os t=e (cos t -sin t) cos t .例4設(shè)wf (x y z . xyz) . f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求匕及氓壬,解令 u 二x y z . v 二xyz .貝U wf (u v).二fn+曲+朋+唏I+，左二用+W+泌+皿+說徒例5設(shè)u二f (x . y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù).把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形 式：解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得u=f (x . y) =f ( ?cos B . 'sin 0) =F( . 9 ).y其中 x - -cos 0 . y-sin 0=arctan-1 ,應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.得生蟲+也空=竽魯厶=迦說一也連 dp

47、 dx d& dx dp p S& fr dp d& pdu _ du dp du d& _ du y dtt x _ ducosdy dp Sy d0dp pf? %恥 dd p兩式平方后相加得再求二階偏導(dǎo)數(shù)得_ d f 迪、dp d 屈、d& 護(hù)二訝認(rèn)石*麗(認(rèn)忘dp dp d9 p '-豁辭dd dpsin sin 5S_cog2g_2 3紜 為 汕滬rB A+魚 2$in 0co$0十 5u sin 090 嚴(yán) dp p .同理可得dhi _ 角心 2 口丄 j % sin decsd丄 cos滬 a h r Sill 0 "r

48、 乙 忌川rq滬 dp2 dpde p8護(hù) p2_魚 2$in0cos& | du d& f? dp p兩式相加.得uu_fu , 1 - 1 幾 dx2 dy1 dp2 p f? d&2S_cog2g_2 3紜 為 汕滬全微分形式不變性：設(shè)z =f (U . V)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).則有全微分 毎2如果z=f(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)而u= (x.y) . v= (x . y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則=(a? %+業(yè)狗du 3x dvdx-)必+(dz也*陸du dy 3vS_cog2g_2 3紜 為 汕滬S_cog2g_2 3紜 為 汕滬& fdu j ,du r.

49、, dz.dv , G 八二軸+執(zhí)du由此可見.無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù).它的全微分形 式是一樣的這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性例6設(shè)z=e usin v u二x yvxy利用全微分形式不變性求全微分，廠-二幾二廠uu解:e sin vdu e cos v dv=e usin v(y dx x dy ) e ucos v(dx dy)=(ye usin v e ucos v) dx (xe usin v e ucos v ) dyxyxy=e y sin( x y) cos(x y) dx e x sin( x y) cos(x y) dy .§ 8.5隱函數(shù)的

50、求導(dǎo)法則教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求1掌握一個(gè)方程，方程組情形的隱函數(shù)求導(dǎo)公式；2 會(huì)求由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(含二階)；3 會(huì)求由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(一階)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1了解隱函數(shù)(組)存在定理的三個(gè)條件和三個(gè)結(jié)論;2掌握求導(dǎo)(或偏導(dǎo)數(shù))的公式和方法；3 掌握隱函數(shù)(組)求導(dǎo)的三種方法。教學(xué)方法與手段多媒體互動(dòng)教學(xué)教學(xué)內(nèi)容1.由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)F(x . y)在點(diǎn)Hxo. y°)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).F(x°. y°) =0. Fy(x°. y°) -0.則方程F(x . y) =0

51、在點(diǎn)(X。. y°)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x).它滿足條件y°=f(x。).并有求導(dǎo)公式證明：將y =f (X)代入F( x . y) =0.得恒等式F(x. f (x)三0等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得塑+塑處0&dx由于Fy連續(xù)且Fy(x°. y°) =0 .所以存在(X。. y°)的一個(gè)鄰域.在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y -0 于是得例1驗(yàn)證方程x2*y2_1=0在點(diǎn)(0 . 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、 當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y二f(x).并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在 x=0的值解 設(shè) F(x .

52、 y) =4/_1.則 Fx=2x. Fy=2y F(0 . 1) =0. Fy(0.1) =2卻，因此由定理 1 可知方程x2"2-1R在點(diǎn)(0 . 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、 當(dāng)x =0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f (x).型二一垃變 =0必巧 7必口 ；W y1 y2 / ,d2y隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)，一個(gè)二元方程F(x . y) =0可以確定一個(gè) 一元隱函數(shù).一個(gè)三元方程F(x . y . z) =0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù).隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)F( x y z)在點(diǎn)P(xo. y。. Zo)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).且F(x。. y°Z

53、o) =0. Fz(Xo. yo. Zo) -0 .則方程 F(x . y. z) =0在點(diǎn)(x。. y。Zo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f (x . y).它滿足條件Zo二f(Xo. yo) 并有公式的證明:將z=f (x . y)代入F(x y z) =0得F(x y f(x y)三0將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo).得因?yàn)镕z連續(xù)且Fz(xoyozo)=0.所以存在點(diǎn)(xoyoZo)的一個(gè)鄰域.使Fz=0于是得d2z例 2.設(shè) x2 y2 z4z求 W解 設(shè) F(x . y . z) = x 2 y2 z2-4z .則 Fx=2x Fy=2z-4洗二丄二2x 二

54、 x dx Fs 2z-4 2-z決畤 _(r+H盤)_g-護(hù)“冠(2-z)2(2-z)2(2-z)3二、方程組的情形在一定條件下.由個(gè)方程組F(x . y . u . v) =0 . qx . y . u. v) =0可以確定一對(duì)二元 函數(shù)u=u(x . y) . v=v(x . y).例如方程xuyv=0和yuxv = 1可以確定兩個(gè)二元函x V-U 事實(shí)上.xu-yv=0 =:=艸+著込"二1y 二y 二 xi2+y2 F+尹如何根據(jù)原方程組求u v的偏導(dǎo)數(shù)?隱函數(shù)存在定理3 設(shè)F(x . y . u. v)、qx . y. u . v)在點(diǎn)P(x。. y0.u0.v0)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變 量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)又F(x。. y。. u。. V。)