第1講.競賽123班.教師版

1、計算之公式應用及技巧第一講教學目標重點中學選拔考試的試卷，考察學生的計算能力是必不可少的，近幾年來又以考察：1.速算巧算；2.分數的計算技巧為明顯趨勢。本講我們將系統(tǒng)地歸納和總結這一部分的技巧和方法。1.回顧提取公因數（式）和湊整的應用；2.精講公式應用、循環(huán)小數化分數、分數的拆分。專題回顧【分析】 原式=，（此題學生容易做成，雖然答案對,但是老師要強調錯誤原因。）【拓展】（首師大附中入學選拔試題）【分析】原式=?！纠?】 求33333336666666乘積的各位數字之和。【分析】 原式=99999992222222=（10000000-1）2222222所以，各位數字之和為87=56。經典精

2、講常用公式下面這些公式是小學奧數中常見的計算公式，同學們一定要熟練掌握，這可是小升初考試中計算的好幫手。同時也希望同學們在做題時能夠對一些規(guī)律性比較強的數字的計算自己進行歸納。常用公式：1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. 等比數列求和公式：。7. 平方差公式:：；8. 完全平方公式：，；用文字表述為：兩數和（或差）的平方，等于這兩個數的平方和，加上（或者減去）這兩個數的積的倍，兩條公式也可以合寫在一起：。為便于記憶，可形象的敘述為：“首平方、尾平方，倍乘積在中央”。常用技巧：1. ；2. ；3. ，；4. ，其中。【例3】 計算【分析】原式 =注：這條算式與的值相等?！就卣埂坑嬎恪痉?/p>

3、析】原式【例4】 計算【分析】原式 。 公元前1世紀古希臘數學家尼科梅切斯(Nichomachus)就是采用數形結合的方法圖解法，得出了三次方冪求和的公式： 尼科梅切斯給出的解法是這樣的：把求和式中任意一項。寫成“”的形式，那么就可以理解成個“邊長為”的正方形面積之和。那么，可以構造一個圖形，如圖：一方面，圖中大正方形的邊長為“1+2+3+4”，面積為。另一方面它又等于全部小正方形的面積之和。但是注意在放置兩個22及44的正方形時，兩個正方形有重疊部分圖中淺色陰影正方形，再把重疊部分補到它的右上方的小正方塊圖中深色陰影正方形中去，這樣一來這些小正方形的面積和正好等于邊長為“1+2+3+4”的大

4、正方形面積。所以：【前鋪】(浙江省小學數學活動課夏令營)= ?！痉治觥吭??！军c評】對公比為2的等比數列求和，可以運用“借來還去”的技巧。本題對于后面的等比數列部分，可以“借來”，則有最后兩個數的和等于前面一個數，依此前推，則總得數為兩個，即為1,但這不是最終結果，因為要“還去”，即。一般地，。【例5】 （06年希望杯）計算：【分析】 原式= =。【分析】 (法一)設 則 ，整理可得。 （法二）由題設，則運用【例5】的方法，將等式化為，整理得到。【例6】 (浙江省小學數學活動課夏令營)_；_。【分析】 設原式原式【點評】這里介紹平方差公式與完全平方公式的變形應用：【分析】 原式=【分析】 原

5、式=【點評】本題利用性質：對各個分數進行計算、比較。循環(huán)小數化分數【前鋪】推導以下算式【分析】以此題為例，推導，設：為,那么=,=，所以：,。循環(huán)小數化分數公式：； ； ； ，注：循環(huán)小數化分數分母中9的個數與其循環(huán)節(jié)的位數對應，0的個數與小數點后不循環(huán)的位數對應。分子是不循環(huán)部分與第一個循環(huán)節(jié)組成的多位數與不循環(huán)部分組成的多位數的差?！纠?】 【分析】 原式=。 原式。原式=。原式?！纠?】 計算【分析】原式= 。分數的拆分【例9】 （江蘇省吳江市小學數學聯賽）在下面的括號里填上不同的自然數，使等式成立。=【分析】 分數單位的拆分，主要方法是：從分母的約數中任意找出兩個數和,有：=，本題的約

6、數有：,。 例如：選和，有：；本題具體的解共有：?！就卣?】在下面的括號里填上不同的自然數，使等式成立。=【分析】從分母的約數中任意找出兩個和（）,有：= 所以，例如選5和2，有：=另外的解讓學生去嘗試練習。【拓展2】在下面的括號里填上不同的自然數，使等式成立。=-=【分析】先選10的三個約數，比如5、2和1，表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1. 如果選10、5、2，那么有： ?！军c評】分子是1，分母是非零自然數的分數叫單位分數。人類對分數的認識就是從單位分數開始的。大約在公元前2000年，古埃及人就把分子大于1的分數表示成單位分數之和，如=，也有人把單位分數叫做埃及分數。101中學根據

7、這一知識點，出過一道入學考試題：幼兒園阿姨要把7個蘋果平均分給12個小朋友，每個蘋果不能超過5份。請幫阿姨設計一種分法。（分發(fā)如圖所示）【例10】 （美國長島小學數學競賽）【分析】原式。 注：通過對算式各項拆分，使算式得到化簡的計算技巧稱之為裂項，裂項法的要義在于等量代換思想，并在后續(xù)的作業(yè)中實現抵消?！就卣埂浚ㄐ祱髷祵W競賽決賽題）【分析】歸納總結的裂項公式如下：【分析】原式= = =附加題目【附1】 計算【分析】設算式的值為，那么，=【附2】 = ?！痉治觥?原式【分析】原式【分析】面對長分式計算題時，往往是利用先裂項再相消的方法來解決。原式鞏固精練1. （北京二中入學選拔試題）計算12-

8、22+32-42+20052-20062+20072【分析】 原式=20072-20062+20052-+52-42+32-22+12=（2007+2006）（2007-2006）+（2005+2004）（2005-2004）+（3+2）（3-2）+1=2007+2006+2005+2004+3+2+1=20150282. 計算【分析】原式=3. 計算 【分析】原式= =【分析】原式足球運動最早起源于中國，其淵源可追溯至五千年前的黃帝時代。年月日，在紀念國際足聯百年華誕的特別活動上，國際足聯主席布拉特正式向全世界宣布：足球最初起源于中國，并由亞足聯秘書長維拉潘頒發(fā)確認紀念證書。奧運會足球比賽始

9、于年法國巴黎奧運會，在年的倫敦奧運會上成為正式比賽項目。年國際足聯做出了在歐洲和南美洲參加過世界杯決賽的職業(yè)球員不得參加奧運會足球賽的決定。年國際足聯在此基礎上又做了如下規(guī)定：奧運會足球運動員年齡限制在歲以下，每隊允許有名超齡球員。北京奧運會男子足球決賽階段共有支隊伍；女子足球決賽階段共有支隊伍。新中國成立后，中國男子足球隊已參加了屆奧運會預選賽。年和年分別輸給了新加坡和泰國，在亞洲區(qū)預選賽中沒有出線。年、年、年和年連續(xù)屆奧運會預選賽中，負于韓國隊沒有進入決賽階段；只有在年的漢城奧運會進入了決賽階段賽，但在小組賽中沒有出線。年亞特蘭大奧運會一個國王聽說有一位畫家擅長水彩畫，有一天，他專程去拜訪那位畫家?！罢垶槲耶嬕恢豢兹?，”國王要求說。一年后，他再次登門拜訪畫家?！拔矣嗁彽乃十嬙谀?？我曾經要你為我畫一只孔雀?！薄澳愕目兹妇鸵嫼昧?，”畫家說。“他拿出了畫紙，不一會兒工夫就畫出了一只美麗鮮艷的孔雀。國王很滿意，但是價錢卻使他吃驚：“就那么一會兒工夫，你毫不費力、輕而易舉地就畫成了，竟要這么高的價錢?”國王問。于是畫家領著國王走遍他的房子，每個房間都放著一堆堆畫著孔雀的畫紙。畫家說：“這個價錢是十分公道的，看起來毫不費力而簡單的事情，卻花