第1講.競(jìng)賽123班.教師版

1、計(jì)算之公式應(yīng)用及技巧第一講教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)中學(xué)選拔考試的試卷，考察學(xué)生的計(jì)算能力是必不可少的，近幾年來(lái)又以考察：1.速算巧算；2.分?jǐn)?shù)的計(jì)算技巧為明顯趨勢(shì)。本講我們將系統(tǒng)地歸納和總結(jié)這一部分的技巧和方法。1.回顧提取公因數(shù)（式）和湊整的應(yīng)用；2.精講公式應(yīng)用、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的拆分。專(zhuān)題回顧【分析】 原式=，（此題學(xué)生容易做成，雖然答案對(duì),但是老師要強(qiáng)調(diào)錯(cuò)誤原因。）【拓展】（首師大附中入學(xué)選拔試題）【分析】原式=。【例2】 求33333336666666乘積的各位數(shù)字之和?！痉治觥?原式=99999992222222=（10000000-1）2222222所以，各位數(shù)字之和為87=56。經(jīng)典精

2、講常用公式下面這些公式是小學(xué)奧數(shù)中常見(jiàn)的計(jì)算公式，同學(xué)們一定要熟練掌握，這可是小升初考試中計(jì)算的好幫手。同時(shí)也希望同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)能夠?qū)σ恍┮?guī)律性比較強(qiáng)的數(shù)字的計(jì)算自己進(jìn)行歸納。常用公式：1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. 等比數(shù)列求和公式：。7. 平方差公式:：；8. 完全平方公式：，；用文字表述為：兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個(gè)數(shù)的積的倍，兩條公式也可以合寫(xiě)在一起：。為便于記憶，可形象的敘述為：“首平方、尾平方，倍乘積在中央”。常用技巧：1. ；2. ；3. ，；4. ，其中?！纠?】 計(jì)算【分析】原式 =注：這條算式與的值相等?！就卣埂坑?jì)算【分

3、析】原式【例4】 計(jì)算【分析】原式 。 公元前1世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家尼科梅切斯(Nichomachus)就是采用數(shù)形結(jié)合的方法圖解法，得出了三次方冪求和的公式： 尼科梅切斯給出的解法是這樣的：把求和式中任意一項(xiàng)。寫(xiě)成“”的形式，那么就可以理解成個(gè)“邊長(zhǎng)為”的正方形面積之和。那么，可以構(gòu)造一個(gè)圖形，如圖：一方面，圖中大正方形的邊長(zhǎng)為“1+2+3+4”，面積為。另一方面它又等于全部小正方形的面積之和。但是注意在放置兩個(gè)22及44的正方形時(shí)，兩個(gè)正方形有重疊部分圖中淺色陰影正方形，再把重疊部分補(bǔ)到它的右上方的小正方塊圖中深色陰影正方形中去，這樣一來(lái)這些小正方形的面積和正好等于邊長(zhǎng)為“1+2+3+4”的大

4、正方形面積。所以：【前鋪】(浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營(yíng))= 。【分析】原式=。【點(diǎn)評(píng)】對(duì)公比為2的等比數(shù)列求和，可以運(yùn)用“借來(lái)還去”的技巧。本題對(duì)于后面的等比數(shù)列部分，可以“借來(lái)”，則有最后兩個(gè)數(shù)的和等于前面一個(gè)數(shù)，依此前推，則總得數(shù)為兩個(gè)，即為1,但這不是最終結(jié)果，因?yàn)橐斑€去”，即。一般地，?！纠?】 （06年希望杯）計(jì)算：【分析】 原式= =?！痉治觥?(法一)設(shè) 則 ，整理可得。 （法二）由題設(shè)，則運(yùn)用【例5】的方法，將等式化為，整理得到?！纠?】 (浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營(yíng))_；_?！痉治觥?設(shè)原式原式【點(diǎn)評(píng)】這里介紹平方差公式與完全平方公式的變形應(yīng)用：【分析】 原式=【分析】 原

5、式=【點(diǎn)評(píng)】本題利用性質(zhì)：對(duì)各個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算、比較。循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)【前鋪】推導(dǎo)以下算式【分析】以此題為例，推導(dǎo)，設(shè)：為,那么=,=，所以：,。循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)公式：； ； ； ，注：循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)分母中9的個(gè)數(shù)與其循環(huán)節(jié)的位數(shù)對(duì)應(yīng)，0的個(gè)數(shù)與小數(shù)點(diǎn)后不循環(huán)的位數(shù)對(duì)應(yīng)。分子是不循環(huán)部分與第一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的多位數(shù)與不循環(huán)部分組成的多位數(shù)的差?！纠?】 【分析】 原式=。 原式。原式=。原式?！纠?】 計(jì)算【分析】原式= 。分?jǐn)?shù)的拆分【例9】 （江蘇省吳江市小學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽）在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立。=【分析】 分?jǐn)?shù)單位的拆分，主要方法是：從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)數(shù)和,有：=，本題的約

6、數(shù)有：,。 例如：選和，有：；本題具體的解共有：?！就卣?】在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立。=【分析】從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)和（）,有：= 所以，例如選5和2，有：=另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí)。【拓展2】在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立。=-=【分析】先選10的三個(gè)約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1. 如果選10、5、2，那么有： ?！军c(diǎn)評(píng)】分子是1，分母是非零自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫單位分?jǐn)?shù)。人類(lèi)對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)就是從單位分?jǐn)?shù)開(kāi)始的。大約在公元前2000年，古埃及人就把分子大于1的分?jǐn)?shù)表示成單位分?jǐn)?shù)之和，如=，也有人把單位分?jǐn)?shù)叫做埃及分?jǐn)?shù)。101中學(xué)根據(jù)

7、這一知識(shí)點(diǎn)，出過(guò)一道入學(xué)考試題：幼兒園阿姨要把7個(gè)蘋(píng)果平均分給12個(gè)小朋友，每個(gè)蘋(píng)果不能超過(guò)5份。請(qǐng)幫阿姨設(shè)計(jì)一種分法。（分發(fā)如圖所示）【例10】 （美國(guó)長(zhǎng)島小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）【分析】原式。 注：通過(guò)對(duì)算式各項(xiàng)拆分，使算式得到化簡(jiǎn)的計(jì)算技巧稱(chēng)之為裂項(xiàng)，裂項(xiàng)法的要義在于等量代換思想，并在后續(xù)的作業(yè)中實(shí)現(xiàn)抵消。【拓展】（小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽題）【分析】歸納總結(jié)的裂項(xiàng)公式如下：【分析】原式= = =附加題目【附1】 計(jì)算【分析】設(shè)算式的值為，那么，=【附2】 = ?！痉治觥?原式【分析】原式【分析】面對(duì)長(zhǎng)分式計(jì)算題時(shí)，往往是利用先裂項(xiàng)再相消的方法來(lái)解決。原式鞏固精練1. （北京二中入學(xué)選拔試題）計(jì)算12-

8、22+32-42+20052-20062+20072【分析】 原式=20072-20062+20052-+52-42+32-22+12=（2007+2006）（2007-2006）+（2005+2004）（2005-2004）+（3+2）（3-2）+1=2007+2006+2005+2004+3+2+1=20150282. 計(jì)算【分析】原式=3. 計(jì)算 【分析】原式= =【分析】原式足球運(yùn)動(dòng)最早起源于中國(guó)，其淵源可追溯至五千年前的黃帝時(shí)代。年月日，在紀(jì)念國(guó)際足聯(lián)百年華誕的特別活動(dòng)上，國(guó)際足聯(lián)主席布拉特正式向全世界宣布：足球最初起源于中國(guó)，并由亞足聯(lián)秘書(shū)長(zhǎng)維拉潘頒發(fā)確認(rèn)紀(jì)念證書(shū)。奧運(yùn)會(huì)足球比賽始

9、于年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)，在年的倫敦奧運(yùn)會(huì)上成為正式比賽項(xiàng)目。年國(guó)際足聯(lián)做出了在歐洲和南美洲參加過(guò)世界杯決賽的職業(yè)球員不得參加奧運(yùn)會(huì)足球賽的決定。年國(guó)際足聯(lián)在此基礎(chǔ)上又做了如下規(guī)定：奧運(yùn)會(huì)足球運(yùn)動(dòng)員年齡限制在歲以下，每隊(duì)允許有名超齡球員。北京奧運(yùn)會(huì)男子足球決賽階段共有支隊(duì)伍；女子足球決賽階段共有支隊(duì)伍。新中國(guó)成立后，中國(guó)男子足球隊(duì)已參加了屆奧運(yùn)會(huì)預(yù)選賽。年和年分別輸給了新加坡和泰國(guó)，在亞洲區(qū)預(yù)選賽中沒(méi)有出線。年、年、年和年連續(xù)屆奧運(yùn)會(huì)預(yù)選賽中，負(fù)于韓國(guó)隊(duì)沒(méi)有進(jìn)入決賽階段；只有在年的漢城奧運(yùn)會(huì)進(jìn)入了決賽階段賽，但在小組賽中沒(méi)有出線。年亞特蘭大奧運(yùn)會(huì)一個(gè)國(guó)王聽(tīng)說(shuō)有一位畫(huà)家擅長(zhǎng)水彩畫(huà)，有一天，他專(zhuān)程去拜訪那位畫(huà)家。“請(qǐng)為我畫(huà)一只孔雀，”國(guó)王要求說(shuō)。一年后，他再次登門(mén)拜訪畫(huà)家?！拔矣嗁?gòu)的水彩畫(huà)在哪？我曾經(jīng)要你為我畫(huà)一只孔雀?！薄澳愕目兹妇鸵?huà)好了，”畫(huà)家說(shuō)。“他拿出了畫(huà)紙，不一會(huì)兒工夫就畫(huà)出了一只美麗鮮艷的孔雀。國(guó)王很滿意，但是價(jià)錢(qián)卻使他吃驚：“就那么一會(huì)兒工夫，你毫不費(fèi)力、輕而易舉地就畫(huà)成了，竟要這么高的價(jià)錢(qián)?”國(guó)王問(wèn)。于是畫(huà)家領(lǐng)著國(guó)王走遍他的房子，每個(gè)房間都放著一堆堆畫(huà)著孔雀的畫(huà)紙。畫(huà)家說(shuō)：“這個(gè)價(jià)錢(qián)是十分公道的，看起來(lái)毫不費(fèi)力而簡(jiǎn)單的事情，卻花