立體幾何基礎題題庫三有詳細答案

1、立體幾何基礎題題庫（三）（有詳細答案）101. 是ABC在平面上的射影，那么和ABC的大小關系是( )(A) <ABC (B) >ABC(C) ABC(D) 不能確定解析：D一個直角，當有一條直角邊平行于平面時，則射影角可以等于原角大小，但一般情況不等102. 已知: 如圖, ABC中, ÐACB = 90°, CD平面, AD, BD和平面所成的角分別為30°和45°, CD = h, 求: D點到直線AB的距離。解析：1、先找出點D到直線AB的距離, 即過D點作 DEAB, 從圖形以及條件可知, 若把DE放在ABD中不易求解。2、由于CD

2、平面, 把DE轉化到直角三角形中求解, 從而轉化為先求DE在平面內的射影長。解: 連AC, BC, 過D作DEAB, 連CE, 則DE為D到直線AB的距離。CDAC, BC分別是AD, BD在內的射影。ÐDAC, ÐDBC分別是AD和BD與平面所成的角ÐDAC = 30°, ÐDBC = 45° 在RtACD中,CD = h, ÐDAC = 30°AC = 在RtBCD中CD = h, ÐDBC = 45° BC = hCD, DEABCEAB在RtACB中在RtDCE中,點D到直線AB的距離為

3、。103. 已知a、b、c是平面內相交于一點O的三條直線，而直線l和相交，并且和a、b、c三條直線成等角求證：l證法一：分別在a、b、c上取點A、B、C并使AO = BO = CO設l經(jīng)過O，在l上取一點P，在POA、POB、POC中， PO公用，AO = BO = CO，POA =POB=POC， POAPOBPOC PA = PB = PC取AB中點D連結OD、PD，則ODAB，PDAB， AB平面POD PO平面POD POAB同理可證 POBC ， PO，即l若l不經(jīng)過O時，可經(jīng)過O作l用上述方法證明， l證法二：采用反證法假設l不和垂直，則l和斜交于O同證法一，得到PA = PB =

4、 PC過P作于，則，O是ABC的外心因為O也是ABC的外心，這樣，ABC有兩個外心，這是不可能的 假設l不和垂直是不成立的 l若l不經(jīng)過O點時，過O作l，用上述同樣的方法可證， l評述：（1）證明線面垂直時，一般都采用直接證法（如證法一），有時也采用反證法（如證法二）或同一法104. P是ABC所在平面外一點，O是點P在平面上的射影（1）若PA = PB = PC，則O是ABC的_心（2）若點P到ABC的三邊的距離相等，則O是ABC_心（3）若PA 、PB、PC兩兩垂直，則O是ABC_心（4）若ABC是直角三角形，且PA = PB = PC則O是ABC的_心（5）若ABC是等腰三角形，且PA

5、= PB = PC，則O是ABC的_心（6）若PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等，則O是ABC的_心；解析：（1）外心 PA=PB=PC， OA=OB=OC， O是ABC的外心（2）內心（或旁心）作ODAB于D，OEBC于E，OFAC于F，連結PD、PE、PF PO平面ABC， OD、OE、OF分別為PD、PE、PF在平面ABC內的射影，由三垂線定理可知，PDAB，PEBC，PFAC由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF， O是ABC的內心（如圖答9-23）（3）垂心（4）外心（5）外心 （6）外心PA與平面ABC所成的角為PAO，在PAO、PBO、PCO中，PO是公共邊，POA=P

6、OB=POC=90°，PAO=PBO=PCO， PAOPBOPCO， OA=OB=OC， O為ABC的外心（此外心又在等腰三角形的底邊高線上）105. 將矩形ABCD沿對角線BD折起來，使點C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上求證：分析：欲證，只須證與所在平面垂直；而要證平面，只須證且AD因此，如何利用三垂線定理證明線線垂直就成為關鍵步驟了證明：由題意，又斜線在平面ABCD上的射影是BA， BAAD，由三垂線定理，得， 平面，而平面 106. 已知異面直線l1和l2，l1l2，MN是l1和l2的公垂線，MN = 4，Al1，Bl2，AM = BN = 2，O是MN中點 求l1與O

7、B的成角求A點到OB距離分析：本題若將條件放入立方體的“原型”中，抓住“一個平面四條線”的圖形特征及“直線平面垂直”的關鍵性條件，問題就顯得簡單明了解析：（1）如圖，畫兩個相連的正方體，將題目條件一一標在圖中OB在底面上射影NBCD，由三垂線定理，OBCD，又CDMA， OBMA 即OB與l1成90°（2）連結BO并延長交上底面于E點ME = BN， ME = 2，又 ON = 2 作AQBE，連結MQ對于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分別為垂線、斜線、斜線在平面內的射影，由三垂線逆定理得MQEO在RtMEO中，評述：又在RtAMQ中，本題通過補形法使較困難的問題變得明顯易解；求點

8、到直線的距離，仍然是利用直線與平面垂直的關鍵條件，抓住“一個面四條線”的圖形特征來解決的107. 已知各棱長均為a的正四面體ABCD，E是AD邊的中點，連結CE求CE與底面BCD所成角的正弦值解析：作AH底面BCD，垂足H是正BCD中心，連DH延長交BC于F，則平面AHD平面BCD，作EOHD于O，連結EC，則ECO是EC與底面BCD所成的角則EO底面BCD， 108. 已知四面體SABC中，SA底面ABC，ABC是銳角三角形，H是點A在面SBC上的射影求證：H不可能是SBC的垂心分析：本題因不易直接證明，故采用反證法證明：假設H是SBC的垂心，連結BH，并延長交SC于D點，則BHSC AH平

9、面SBC， BH是AB在平面SBC內的射影 SCAB（三垂線定理）又 SA底面ABC，AC是SC在面內的射影 ABAC（三垂線定理的逆定理） ABC是Rt與已知ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設不成立故H不可能是SBC的垂心109. 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求點B到平面EFG的距離解析：如圖，連結EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O 因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EFBD，H為AO的中點BD不在平面EFG上否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點G在平面的ABCD上，與題

10、設矛盾由直線和平面平行的判定定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離 4分 BDAC， EFHC GC平面ABCD， EFGC， EF平面HCG 平面EFG平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線 6分作OKHG交HG于點K，由兩平面垂直的性質定理知OK平面EFG，所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離 8分 正方形ABCD的邊長為4，GC=2， AC=4，HO=，HC=3 在RtHCG中，HG=由于RtHKO和RtHCG有一個銳角是公共的，故RtHKOHCG OK=即點B到平面EFG的距離為 10分注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分110. 已知：A

11、B與CD為異面直線，ACBC，ADBD求證：ABCD說明：（1）應用判定定理，掌握線線垂直的一般思路（2）思路：欲證線線垂直，只需證線面垂直，再證線線垂直，而由已知構造線線垂直是關鍵（3）教學方法，引導學生分析等腰三角形三線合一的性質構造圖形，找到證明方法證明：如圖，取AB中點E，連結CE、DEACBC，E為AB中點CEAB同理DEAB，又CEDEE，且CE平面CDE，DE平面CDEAB平面CDE又CD平面CDEABCD111. 兩個相交平面a、b 都垂直于第三個平面g ，那么它們的交線a一定和第三個平面垂直證明：在g 內取一點P，過P作PA垂直a 與g 的交線；過P作PB垂直b 與g 的交線

12、 ag 且bg PAa且PBb PAa且PBa ag112. 在立體圖形PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，Q是PC中點AC，BD交于O點（）求二面角QBDC的大小：（）求二面角BQDC的大小解析：（）解：連QO，則QOPA且QOPAAB PA面ABCD QO面ABCD面QBD過QO， 面QBD面ABCD故二面角QBDC等于90°（）解：過O作OHQD，垂足為H，連CH 面QBD面BCD，又 COBDCO面QBDCH在面QBD內的射影是OH OHQD CHQD于是OHC是二面角的平面角設正方形ABCD邊長2，則OQ1，OD，QD OH·QDOQ&

13、#183;OD OH又OC在RtCOH中：tanOHC· OHC60°故二面角BQDC等于60°113. 如圖在ABC中， ADBC， ED=2AE， 過E作FGBC， 且將AFG沿FG折起，使A'ED=60°，求證:A'E平面A'BC解析：弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關系和位置系。解： FGBC，ADBCA'EFGA'EBC設A'E=a，則ED=2a由余弦定理得： A'D2=A'E2+ED2-2A'EEDcos60° =3a2ED2=A'D2+A'

14、E2A'DA'EA'E平面A'BC114. 、是兩個不同的平面，m，n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷：mn，n，m以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題，并證明它解析：m，n，mn（或mn，m，n）證明如下：過不在、內的任一點P，作PMm，PNn過PM、PN作平面r交于MQ，交于NQ，同理PNNQ因此MPNMQN = 180°，故MQN = 90°MPN = 90°即mn115. 已知：，b，b 求證：a且b解析：在a上任取一點P，過P作PQr r， ， r， ， PQ與a重合，故ar過b

15、和點P作平面S，則S和交于PQ1，S和交于PQ2， b，b bPQ1，且bPQ2于是PQ1和PQ2與a重合，故ba， 而ar， br116. 已知PA矩形ABCD所在平面，且AB3，BC4，PA3，求點P到CD和BD的距離解析： PA平面ABCD，ADCD，且CD平面ABCD PDCD（三垂線定理）在RtPAD中，PD5又作PHBD于H，連結AH，由三垂線定理的逆定理，有AHBD這里，PH為點P到BD的距離在RtABD中，AH在RtPAH中，PH117. 點P在平面ABC的射影為O，且PA、PB、PC兩兩垂直，那么O是ABC的( )(A) 內心(B) 外心(C) 垂心(D) 重心解析：由于PC

16、PA，PCPB，所以PC平面PAB， PCAB又P在平面ABC的射影為O，連CO，則CO是PC在平面ABC的射影，根據(jù)三垂線定理的逆定理，得：COAB，同理可證AOBC，O是ABC的垂心，答案選C118. 如圖02，在長方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱AA1、BB1、BC上的點，PQAB，C1QPR，求證：D1QR=90°證明： PQAB，AB平面BC1， PQ平面BC1，QR是PR在平面BC1的射影根據(jù)三垂線定理的逆定理，由C1QPR得C1QQR又因D1C1平面BC1，則C1Q是D1Q在平面B1C的射影，根據(jù)三垂線定理，由C1QQR得QRD1Q D1QR=90&#

17、176;119. 在空間四邊形ABCD中, 已知ACBD, ADBC, 求證: ABCD。解析：1、條件ACBD, ADBC, 可以看作斜線AD, AC與平面BCD內的直線的位置關系, 從而聯(lián)想到用三垂線定理或其逆定理證明命題。2、如何找斜線在平面內的射影, 顯然是過A點作直線垂直于平面BCD, 這樣斜線與直線的位置關系, 通過射影與直線的位置關系判定。證明: 過A點作AO垂直于平面BCD于O連BO, CO, DOAO平面BCD, ACBDCOBDAO平面BCD, ADBC DOBCO為BCD的垂心BOCDABCD120. 如圖, 在空間四邊形SABC中, SA平面ABC, ÐABC

18、 = 90°, ANSB于N, AMSC于M。求證: ANBC; SC平面ANM解析： 要證ANBC, 轉證, BC平面SAB。要證SC平面ANM, 轉證, SC垂直于平面ANM內的兩條相交直線, 即證SCAM, SCAN。要證SCAN, 轉證AN平面SBC, 就可以了。證明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = A BC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM121. 已知如圖，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60°，BP

19、C=90 °求證：平面ABC平面PBC解析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點D，證明AD垂直平PBC即可證明： 取BC中點D 連結AD、PD PA=PB；APB=60° PAB為正三角形 同理PAC為正三角形 設PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD為直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC122. 如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于這個平面。已知：，=a求證：a解析：利用線面垂直的性質定

20、理證明：設=AB，=CD 在平面內作L1AB， 在平面內作L1CD， L1 同理L2 L1/L2 L1/ L1/a a123. 已知SA、SB、SC是共點于S的且不共面的三條射線，BSA=ASC=45°,BSC=60°，求證：平面BSA平面SAC解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根據(jù)給定的條件，在棱S上取一點P，分別是在兩個平面內作直線與棱垂直證明：在SA上取一點P過P作PRSA交SC于R過P作PQSA交SB于QQPR為二面角B-SA-C的平面角設PS=aPSQ=45°，SPQ=90°PQ=a，SQ=a同理PR=a，SR=aPSQ=60°，

21、SR=SQ=aRSQ為正三角形則RQ=aPR2+PQ2=2a2=QR2QPQ=90°二面角B-SA-C為90°平面BSA平面SAC124. 設S為平面外的一點，SA=SB=SC，若，求證：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的關系轉化為邊的關系（2）利用棱錐的性質（三棱錐的側棱相等，則頂點在底面上的射影為底面三角形的外心）證明：設D為AB的中點同理且即為且S在平面上的射影O為的外心 則O在斜邊AC的中點。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC125. 兩個正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，求異面直線AC和BF所成角的大小解析：作BPAC交DC延長線于P，則FB

22、P(或補角)就是異面直線BF和AC所成的角，設正方形邊長為a，在BPF中，由余弦定理得，異面直線AC和BF成60°角126. 二面角a的值為(0°<<180°)，直線l，判斷直線l與平面的位置關系，并證明你的結論解析： 分兩種情況，=90°，90°當=90°時，l或l，這個結論可用反證法證明；當90°時，l必與相交，也可用反證法證明127. 已知平面平面，交線為AB，C，D，E為BC的中點，ACBD，BD=8求證：BD平面；求證：平面AED平面BCD；求二面角BACD的正切值解析：AB是AC在平面上的射影，由AC

23、BD得ABBD DB由AB=AC，且E是BC中點，得AEBC，又AEDB，故AE平面BCD，因此可證得平面AED平面BCD設F是AC中點，連BF，DF由于ABC是正三角形，故BFAC又由DB平面，則DFAC，BFD是二面角BACD的平面角，在RtBFD中，128. 如圖，ABC和DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120°，求(1) A、D連線和直線BC所成角的大小；(2) 二面角ABDC的大小解析：在平面ADC內作AHBC，H是垂足，連HD因為平面ABC平面BDC所以AH平面BDCHD是AD在平面BDC的射影依題設條件可證得HDBC，由三垂線定理得AD

24、BC，即異面直線AD和BC形成的角為90°在平面BDC內作HRBD，R是垂足，連ARHR是AR在平面BDC的射影， ARBD，ARH是二面角ABDC的平面角的補角，設AB=a，可得， 二面角ABDC的大小為arctg2129. 正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CC1的中點，求異面直線AE和BF所成角的大小解析：取DD1的中點G，可證四邊形ABFG是平行四邊形，得出BFAG，則GAE是異面直線AE與BF所成的角連GF，設正方體棱長為a，在AEG中，由余弦定理得 130. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把ABD折起，使點A在平面BCD上的射影A落在B

25、C上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值在RtAAO中，AAO=90°，131.  已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點，PA=PB=PC=PD=a，AB=a求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個平面的交線解：因為  ABCD，CD 平面CPD，AB 平面CPD所以  AB平面CPD又  P平面APB，且P平面CPD，因此  平面APB平面CPD=l，且Pl所以  二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個二面角因為

26、60; AB平面CPD，AB 平面APB，平面CPD平面APB=l，所以  ABl過P作PEAB，PECD因為  lABCD，因此  PEl，PFl，所以  EPF是二面角B-l-C的平面角因為  PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因為  E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，所以  EF=BC=a在EFP中，132. 在四面體ABCD中，ABADBD2，BCDC4，二面角ABDC的大小為60°，求AC的長解析：作出二面角ABDC的平面角在棱BD上選取恰當?shù)狞cABAD，BCDC解：取BD中點E，連結AE，EC A

27、BAD，BCDC AEBD，ECBD AEC為二面角ABDC的平面角 AEC60° AD2，DC4 AE，EC 據(jù)余弦定理得：AC133. 河堤斜面與水平面所成角為60°，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30°，沿著這條直道從堤角向上行走到10米時，人升高了多少（精確到0.1米）？解析： 已知 所求河堤斜面與水平面所成角為60° E到地面的距離利用E或G構造棱上一點F 以EG為邊構造三角形解：取CD上一點E，設CE10 m，過點E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長就是所求的高度在河堤斜面內，作EFAB垂足為F，連

28、接FG，由三垂線定理的逆定理，知FGAB因此，EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成的二面角的平面角，EFG60°由此得：EGEFsin60°CE sin30°sin60°10××4.3（m）答：沿著直道向上行走到10米時，人升高了約4.3米134. 二面角a是120°的二面角，P是該角內的一點P到、的距離分別為a，b求：P到棱a的距離解析：設PA于A，PB于B過PA與PB作平面r與交于AO，與交于OB， PA，PB， aPA，且aPB a面r， aPO，PO的長為P到棱a的距離且AOB是二面角之平面角，AOB =120

29、76; APB = 60°，PA = a，PB = b ， 135. 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AB、CC1的中點，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值是( )(A) (B) (C) (D) 解析：選哪一點，如何作平行線是解決本題的關鍵，顯然在EF上選一點作AC的平行線要簡單易行，觀察圖形，看出F與A1C確定的平面A1CC1恰是正方體的對角面，在這個面內，只要找出A1C1的中點O，連結OF，這條平行線就作出了，這樣，EFO即為異面直線A1C與EF所成的角容易算出這個角的余弦值是，答案選B 136在60°的二面角MaN內有一點P，P到平面M、平面N的

30、距離分別為1和2，求P點到直線a的距離解析：本題涉及點到平面的距離，點到直線的距離，二面角的平面角等概念，圖中都沒有表示，按怎樣的順序先后作出相應的圖形是解決本題的關鍵可以有不同的作法，下面僅以一個作法為例，說明這些概念的特點，分別作PAM，M是垂足，PBN，N是垂足，先作了兩條垂線，找出P點到兩個平面的距離，其余概念要通過推理得出：于是PA、PB確定平面，設M=AC，N=BC，ca由于PAM，則PAa，同理PBa，因此a平面，得aPC這樣，ACB是二面角的平面角，PC是P點到直線a的距離，下面只要在四邊形ACBP內，利用平面幾何的知識在PAB中求出AB，再在ABC中利用正弦定理求外接圓直徑2

31、R，即為P點到直線a的距離，為137. 已知空間四邊形ABCD中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F分別為AB、CD的中點，（1）求證：EF 為AB和CD的公垂線（2）求異面直線AB和CD的距離解析：構造等腰三角形證明EF 與AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF解；連接BD和AC，AF和BF，DE和CE設四邊形的邊長為a AD = CD = AC = a ABC為正三角形 DF = FC AF DC 且AF =同理 BF = A即 AFB為等腰三角形在 AFB中， AE = BE FE AB同理在 DEC中EF DC EF為異面直線AB和CD的公垂線在 AFB中

32、EF AB且 EF為異面直線AB和CD的距離 AB和CD的距離為138. 正方形ABCD中，以對角線BD為折線，把ABD折起，使二面角A-BD-C 為60°，求二面角B-AC-D的余弦值解析：要求二面角B-AC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住圖形中AB=BC，AD=DC的關系，采用定義法作出平面角BED（E為AC的中點）然后利用余弦定理求解解：連BD、AC交于O點則AOBD，COBDAOC為二面角A-BD-C的平面角AOC=60°設正方形ABCD的邊長為aAO=OC=1/2AC=AOC=60°AOC為正三角形則AC=取AC的中點，連DE、BEAB=BCBE

33、AC同理DEACDEB為二面角B-AC-D的平面角在BAC中BE=同理DE=在BED中，BD= cosBED= = =-二面角B-AC-D的余弦值為-139. 如圖平面SAC平面ACB，SAC是邊長為4的等邊三角形，ACB為直角三角形，ACB=90°，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得線面垂直，作SD平面ACB，然后利用三垂線定理作出二面角的平面角解：過S點作SDAC于D，過D作DMAB于M，連SM平面SAC平面ACBSD平面ACBSMAB又DMABDMS為二面角S-AB-C的平面角在SAC中SD=4×在ACB中過C作CHAB于

34、HAC=4，BC=AB=S=1/2AB·CH=1/2AC·BCCH=DMCH且AD=DCDM=1/2CH=SD平面ACB DMÌ平面ACBSDDM在RTSDM中SM= = =cosDMS= = =140. 已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120°，DABC所在平面外的一點P到三角形三頂點的距離都等于4，求直線PC與平面ABC所成的角。解析：解：設點P在底面上的射影為O，連OB、OC，則OC是PC在平面ABC內的射影，PCO是PC與面ABC所成的角。 PA = PB = PC，點P在底面的射影是DABC的外心，注意到DABC為鈍角三

35、角形，點O在DABC的外部，AC = BC，O是DABC的外心，OCAB在DOBC中，OC = OB， OCB = 60°，DOBC為等邊三角形，OC = 2 在RtDPOC中，PCO = 60° 。141. 如圖在二面角- l-中，A、B，C、Dl，ABCD為矩形，P，PA，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中點 求二面角- l-的大小 求證明：MNAB 求異面直線PA與MN所成角的大小解析： 用垂線法作二面角的平面角 只要證明AB垂直于過MN的一個平面即可 過點A作MN的平行線，轉化為平面角求解解： 連PD PA，ADl PDl PDA為二面角- l-的平面角 在RT

36、PAD中 PA=PD PDA=45° 二面角- l-為45° 設E是DC的中點，連ME、NEM、N、E分別為AB、PC、D的中點MEAD，NEPDMEl，NEll平面MENABlAB平面MENMNÌ平面MNEMNAB 設Q是DP聽中點，連NQ、AQ 則NQDC，且NQ=1/2DC AMDC，且AM=1/2AB=1/2DC QNAM，QN=AM QNMQ為平行四邊形 AQMN PAQ為PA與MN所成的角 PAQ為等腰直角三角形，AQ為斜邊上的中線 PAQ=45° 即PA與MN所成角的大小為45°142. 如圖: ABC的ÐABC= 90

37、°, V是平面ABC外的一點, VA = VB = VC = AC, 求VB與平面ABC所成的角。解析：1、要求VB與平面ABC所成的角, 應作出它們所成的角。2、要作出VB與平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC內的射影就可以了。3、作斜線在平面內的射影, 只要在斜線上找一點作直線 垂直于平面, 即找此點在平面內的射影, 顯然找V點, V點在平面內的射影在何處？由條件可知, 射影為ABC的外心。解: 作VO平面ABC于O, 則OB為VB在平面ABC內的射影,ÐVBO為VB與平面ABC所成的角。連OA、OB、OC, 則OA、OB、OC分別為斜線段VA、VB、VC在

38、平面ABC內的射影。VA = VB = VCOA = OB = OCO為ABC為外心ABC為直角三角形, 且AC為斜邊O為AC的中點設VA = a, 則VA = VC = AC = a, 在RtVOB中, ÐVBO = 60°VB與平面ABC所成的角為60°。143. 已知：平面平面=直線a，同垂直于平面，又同平行于直線b求證：()a；()b證明：證法一()設=AB，=AC在內任取一點P并于內作直線PMAB，PNAC 1分 ， PM而 a， PMa同理PNa 4分又 PM，PN， a 6分()于a上任取點Q，過b與Q作一平面交于直線a1，交于直線a2 7分 b，

39、ba1同理ba2 8分 a1，a2同過Q且平行于b， a1，a2重合又 a1，a2， a1，a2都是、的交線，即都重合于a 10分 ba1， ba而a， b 12分注：在第部分未證明ba而直接斷定b的，該部分不給分證法二()在a上任取一點P，過P作直線a 1分 ，P， a同理a 3分可見a是，的交線因而a重合于a 5分又 a， a 6分()于內任取不在a上的一點，過b和該點作平面與交于直線c同法過b作平面與交于直線d 7分 b，b bc，bd 8分又 c，d，可見c與d不重合因而cd于是c 9分 c，c，=a， ca 10分 bc，ac，b與a不重合(b，a)， ba 11分而 a， b 12分注：在第部分未證明ba而直接斷定b的，該部分不給分144. 設S為平面外的一點，SA=SB=SC，若，求證：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的關系轉化為邊的關系（2）利用棱錐的性質（三棱錐