空間向量與立體幾何單元測(cè)試有問(wèn)題詳解

1、第三章 空間向量與立體幾何 單元測(cè)試(時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分：120分)第卷(選擇題，共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分1以下四組向量中，互相平行的組數(shù)為()a(2,2,1)，b(3，2，2)；a(8,4，6)，b(4,2，3)；a(0，1,1)，b(0,3，3)；a(3,2,0)，b(4，3,3)A1組 B2組C3組 D4組解析：中a2b，ab；中ab，ab；而中的向量不平行答案：B2在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為()|a|b|ab|是a，b共線(xiàn)的充要條件；若ab，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使ab；對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C，若22，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；若a，

2、b，c為空間的一組基底，則ab，bc，ca構(gòu)成空間的另一組基底；|(a·b)·c|a|·|b|·|c|.A2個(gè) B3個(gè)C4個(gè) D5個(gè)解析：|a|b|ab|a與b共線(xiàn)，但a與b共線(xiàn)時(shí)|a|b|ab|不一定成立，故不正確；b需為非零向量，故不正確；因?yàn)?211，由共面向量定理知，不正確；由基底的定義知正確；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，不正確答案：C3如圖，已知四邊形ABCD為矩形，PA平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是()A.與 B.與C.與 D.與解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)、寬分別為

3、a，b，PA長(zhǎng)為c，則A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)則(b，a，c)，(b，a,0)，(0，a，0)，(b,0，c)，(0，a，c)，(b,0,0)，(0,0，c)，(b,0,0)·b2a2不一定為0.·0，·0，·0.答案：A4已知向量e1、e2、e3是兩兩垂直的單位向量，且a3e12e2e3，be12e3，則(6a)·等于()A15 B3C3 D5解析：(6a)·3a·b3(3e12e2e3)·(e12e3)9|e1|26|e3|23.答案：B5如圖，A

4、BACBD1，AB面，AC面，BDAB，BD與面成30°角，則C、D間的距離為()A1 B2C. D.解析：|2|2|2|2|22·2·2·111002×1×1×cos120°2.|.答案：C6已知空間三點(diǎn)O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)在直線(xiàn)OA上有一點(diǎn)H滿(mǎn)足BHOA，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為()A(2,2,0) B(2，2,0)C. D.解析：由(1,1,0)，且點(diǎn)H在直線(xiàn)OA上，可設(shè)H(，0)，則(，1，1)又BHOA，·0，即(，1，1)·(1,1,0)0，即10，解得，H.答

5、案：C7已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，則向量ab與ab的夾角是()A90° B60°C30° D0°解析：(ab)·(ab)a2b2(cos2sin21)(sin21cos2)0，(ab)(ab)答案：A8已知E、F分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的棱BC、CC1的中點(diǎn)，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的正弦值是()A. B.C. D.解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則A(1,0,0)，E，F(xiàn)，D1(0,0,1)，l所以(1,0,

6、1)，.設(shè)平面AEFD1的法向量為n(x，y，z)，則x2yz.取y1，則n(2,1,2)，而平面ABCD的一個(gè)法向量為u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.答案：C9在三棱錐P­ABC中，ABC為等邊三角形，PA平面ABC，且PAAB，則二面角A­PB­C的平面角的正切值為()A. B.C. D.解析：設(shè)PAAB2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，(0，2,2)，(，1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的一個(gè)法向量則即令y1，則x ，z1.即n.易知m(1,0,0)是平面PAB的一個(gè)法向量則cosm，n

7、.正切值tanm，n.答案：A10已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)·取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A. B.C. D.解析：Q在OP上，可設(shè)Q(x，x,2x)，則(1x,2x,32x)，(2x,1x,22x)·6x216x10，x時(shí)，·最小，這時(shí)Q.答案：C第卷(非選擇題，共70分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分11已知a(3，2，3)，b(1，x1,1)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是_解析：因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，于是1cosa，b0，因此a·b0，且a與b的夾角不為，即cosa

8、，b1.解得x.答案：12如圖所示，已知正四面體A­BCD中，AEAB，CFCD，則直線(xiàn)DE和BF所成的角的余弦值為_(kāi)解析：，cos，.答案：13已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c兩兩垂直，則(x，y，z)_.解析：由題意知解得x64，y26，z17.答案：(64，26，17)14已知空間四邊形OABC，如圖所示，其對(duì)角線(xiàn)為OB、AC，M、N分別為OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線(xiàn)段MN上，且3，現(xiàn)用基向量、表示向量，并設(shè)x·y·z·，則x、y、z的和為_(kāi)解析：，x，y，z.xyz.答案：三、解答題：本大題共4小題，滿(mǎn)分50分

9、15(12分)已知a(1,2，2)(1)求與a共線(xiàn)的單位向量b；(2)若a與單位向量c(0，m，n)垂直，求m、n的值解：(1)設(shè)b(，2，2)，而b為單位向量，|b|1，即24242921.±.(4分)b或b.(6分)(2)由題意，知解得或(12分)16(12分)如下(左)圖，在RtABC中，C90°，BC3，AC6，D，E分別為AC、AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如下(右)圖(1)求證：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小解：(1)ACBC，DEBC，DEAC.DEA1D，DE

10、CD，DE平面A1DC.DEA1C.又A1CCD，A1C平面BCDE.(4分)(2)如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)設(shè)平面A1BE的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.又(3,0，2)，(1,2,0)，令y1，則x2，z，n(2,1，)設(shè)CM與平面A1BE所成的角為.(0,1，)，sin|cosn，|.CM與平面A1BE所成角的大小為.(12分)17(12分)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)(1)求

11、證：AM平面BDE；(2)試在線(xiàn)段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與CD所成的角是60°.解：(1)證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ACBDN，連接NE，則N，E(0,0,1)，.又A(，0)，M，.，且NE與AM不共線(xiàn)NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(6分)(2)設(shè)P(t，t,0)(0t)，則(t，t,1)，(，0,0)又與所成的角為60°.，解之得t，或t(舍去)故點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)(12分)18(14分)如圖，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)(1)證明：平面POD平面PAC；(2)求二面角B­PA­C的余弦值解： (1)證明：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面POD的一個(gè)法向量，則由n1·0，n1·0，得(4分)z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由n2·0，n2·0，得x2z2，y2z2，取z21，得n2(，1)