直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型

1、直線和圓錐曲線經(jīng)?？疾榈囊恍╊}型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存，（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的

2、判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換（6）同點縱橫坐標(biāo)變換（7）x,y，k(斜率)的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長，中點，垂直，角度，向量，面積，范圍等等1：已知橢圓過點，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。解：（）離心率，即（1）；又橢圓過點，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（）設(shè)，弦MN的中點A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點，即（1）由韋達(dá)定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。題型：動弦過定點的問題例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，

3、橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓C相交于A，B兩點，并且橢圓的右頂點和A、B的連線互相垂直，證明直線過定點，就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（II）設(shè)，由得，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點且，解得，且滿足當(dāng)時，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點綜上可知

4、，直線過定點，定點坐標(biāo)為練習(xí)2（2009遼寧卷文）已知，橢圓C以過點A（1，），兩個焦點為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。 解：（）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為 ，將點A的坐標(biāo)代入方程： ，解得 ， （舍去）所以橢圓方程為 。 （）設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因為點在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得，所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分題型：共線向量問題解析幾何中的向量共線，就是將向量問

5、題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。例題7、設(shè)過點D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點，且,求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一：方程組消元法又P、Q是橢圓+=1上的點消去x2，可得即y2=又2y22，22解之得：則實數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點，即 由韋達(dá)定理得：即 由得，代入，整理得，解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時，易知或?？傊畬崝?shù)的取值范圍是。方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩

6、種解法，可知第一種解法，比較簡單，第二種方法是通性通法，但計算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計算量較大，計算繁瑣，考生必須有較強的意志力和極強的計算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強的思維能力，在命題人設(shè)計的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。（07福建理科）如圖，已知點（1，0），直線l：x1，P為平面上的動點，過作直線l的垂線，垂足為點，且（）求動點的軌跡C的方程；（）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，已知，求的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基

7、本方法，考查運算能力和綜合解題能力.滿分14分.解法一：（）設(shè)點，則，由得：，化簡得.（）設(shè)直線的方程為： .設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：.（）由已知，得.則：.過點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：.由得：，即.題型：面積問題練習(xí)2、（山東06文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。()求橢圓的方程；()直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當(dāng)AOB面積取得最大值時，求直線l的方程。解：設(shè)橢圓方程為（I）由已知得 所求橢圓方程

8、為（II）解法一：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由 消去y得關(guān)于x的方程：由直線l與橢圓相交A、B兩點，解得，又由韋達(dá)定理得 .原點O到直線l的距離解法1：對兩邊平方整理得： （*） ，整理得：又，.從而的最大值為，此時代入方程（*）得所以，所求直線方程為： .解法2：令，則， .當(dāng)且僅當(dāng)即時，此時.所以，所求直線方程為 .題型：弦或弦長為定值問題例題9、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點。（）若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC

9、為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運算的能力和解決問題的能力.解法1：（）依題意，點N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線

10、的通徑所在的直線.解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得又由點到直線的距離公式得.從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。練習(xí)、（山東09理）（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的

11、取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以, 當(dāng)時因為所以,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”. 當(dāng)時,. 當(dāng)

12、AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）（2009湖南卷文）（本小題滿分13分） 已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）.（）求橢圓C的方程;（）設(shè)點P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點，過點P的直線與橢圓C相交于M,N兩點，當(dāng)線段MN的中點落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍。解: （）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程為 .（）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如

13、圖，設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點為G， 由得. 由解得. 因為是方程的兩根，所以，于是 =， .因為，所以點G不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 即 亦即 解得，此時也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故直線斜率的取值范圍是問題十一、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）(2009山東卷文)（本小題滿分14分）設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動點的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; w.w.w.k.s.5.u

14、.c.o.m （2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標(biāo)原點),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當(dāng)R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因為,所以, 即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)m=0時,方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時, 方程表示的是圓當(dāng)且時,方程表示的是橢圓; 當(dāng)時,方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時, 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒