導(dǎo)數(shù)的基本概念性質(zhì)應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的基本概念及性質(zhì)應(yīng)用考點(diǎn)：1、掌握導(dǎo)數(shù)的基本概念及運(yùn)算公式，并能靈活應(yīng)用公式求解2、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間及極值、最值3、理解并掌握極值及單調(diào)性的實(shí)質(zhì)，并能靈活應(yīng)用其性質(zhì)解題。能力：數(shù)形結(jié)合方法：講練結(jié)合新授課：一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：導(dǎo)數(shù)的基本概念與運(yùn)算公式1、導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y =f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x),就是當(dāng) X 0時(shí)，函數(shù)的增量 y與自變量的增量 x的比唱的極限，即 上/ I- yf (x Ax)-f(x)f (x)= lim zx= limn 一xx一 Ax 0Ax 0說明：分子和分母中間的變量必須保持一致2、導(dǎo)函數(shù)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b )內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都存在，就說在區(qū)f

2、(x)間(a, b )內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是(a ,b )內(nèi)的函數(shù)，叫做f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f (x)或yx ,函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)在x x0時(shí)的函數(shù)值f (x0),就是f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)。3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應(yīng)點(diǎn)M(x0, y0)處的切線斜率。4、求導(dǎo)數(shù)的方法(1)基本求導(dǎo)公式c 0(xm)mxm 1 (m Q)(sin x) cosx (cosx) sin x(ex)ex(ax)ax ln a(ln x)+(logx)高(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(u v)(uv) u v uv圈)(v 0)(3 )復(fù)合函數(shù)

3、的導(dǎo)數(shù)設(shè)u g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y =在點(diǎn)f(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) fg(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，fx ( (x) f (u) (x)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)：1、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y= f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若 f (x)>0,則f(x)為增函數(shù)；若f (x)<0則為減函數(shù)。求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步聚和方法。確定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間求f (x),令f (x) = 0,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根。把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各個(gè)實(shí)根按由小到大的順序 排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間。確定f (x)在各小開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)

4、，根據(jù)f(x)的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在各個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性。說明：原函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性無關(guān)，只與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)號(hào)有關(guān)2.可導(dǎo)函數(shù)的極值極值的概念設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0附近有定義，且對(duì)x0附近的所有點(diǎn)都有 f(x) v f(x0)(或f(x) > f(x。), 則稱f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極大(小)值點(diǎn)。稱x0為極大(小)值點(diǎn)。求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟。求導(dǎo)數(shù)f (x)求方程f (x) =0的根檢驗(yàn)f (x)在方程f (x) =0的根左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那 么函數(shù)y= f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)為正，那么函數(shù)y=f (x)在

5、這個(gè)根處取得極小值。說明：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)(隱含條件，說明某點(diǎn)是極值點(diǎn)，相當(dāng)于給出了一個(gè)f (x) =0的方程3.函數(shù)的最大值與最小值設(shè)y= f(x)是定義在區(qū)間a ,b 上的函數(shù)，y = f (x)在(a ,b )內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y= f (x)在a ,b 上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行。求y= f(x)在(a ,b )內(nèi)的極值。將y= f (x)在各極值點(diǎn)白極值與 f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。若函數(shù)y= f(x)在a ,b 上單調(diào)增加，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)y = f (x)在a ,b

6、上單調(diào)減少，則f (a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值。說明：極大值小于等于最大值，極小值大于等于最小值二、例題講解a x) f(xo a x)等于()D.0題型一導(dǎo)數(shù)的概念【例1】設(shè)f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，a為常數(shù)，則順。止A.f/(x。)B.2af /(xo) C.af/(x o)【變式】設(shè)f (x)在x0處可導(dǎo)lim xf (x0 x) f (x0)0x題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義2x【例2】(1)求曲線y -在點(diǎn)(1,1)處的切線萬程；x 1t 12(2)運(yùn)動(dòng)曲線萬程為 S - 2t ,求t=3時(shí)的速度。t2分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù) y=f(x)在x

7、0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)p(x°, y°)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。題型三利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間【例3】求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間312(1) y f(x) x x 2x 52(2)(3) yx2 1x (k 0)(4) y 2x2ln題型四:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最(極)值【例4】求函數(shù)f(x) x3 3x 1在閉區(qū)間-3 , 0上的極值、最大值、最小值題型五：原函數(shù)圖像與導(dǎo)函數(shù)圖像【例5】1、設(shè)f '( x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f'( x)的圖象如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是A)(B)(C)(D)2、函數(shù)f(

8、x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a, b),導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a, b)內(nèi)的圖象如圖所示， 則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A, 1個(gè)B, 2個(gè)C, 3個(gè)D, 4個(gè)題型六：利用極值的本質(zhì)及單調(diào)性求解析式【例6】已知函數(shù)f (x) ax3 bx2 3x在x1處取得極值。(I)討論f(1)和f ( 1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值;(II)過點(diǎn)A(0,16)作曲線y f(x)的切線，求此切線方程。5,其導(dǎo)函數(shù)【例7】已知函數(shù)f x aU b女cx在點(diǎn)x0處取得極大值0) , (2, 0)如圖所示.求：(1) Xo 的值；(2) a、b、c 的值.【例8】已知函數(shù)f (x) =x3+a

9、x2+bx+c,當(dāng)x=- 1時(shí)，取得極大值 7;當(dāng)x=3時(shí)，取得極小值.求這 個(gè)極小值及a、b、c的值【例9】已知f(x) ax4 bx2 c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且在x 1處的切線方程是 y x 2 (1)求y f(x)的解析式；(2)求yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間題型七：含參數(shù)的討論【例10(1)如果函數(shù)f(x)=x3+ax的圖象上各點(diǎn)處的切線斜率都為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,+)B.0,+)C.(3,+ )D.3,+ )(2)如果函數(shù)f(x)=x3+ ax的圖象上有平行于x軸的切線，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是32【例11】已知函數(shù)f x ax x bx 2 a,b,c R且a 0

10、在區(qū)間 ,0上都是增函數(shù)，在(0,4)上是減函數(shù).(1)求b的值； (2)求a的取值范圍題型八：綜合應(yīng)用【例12】平面向量a (J3, 1),b (-,),若存在不同時(shí)為 0的實(shí)數(shù)k和t,使2 2rr 2 r rrr_rr ,，、一一_xa(t3)b,ykatb,且xy ,試確定函數(shù)k f(t)的單調(diào)區(qū)間例題答案：【例1】解：|jm f(x° a x) f(x° a x)x 0xl而 f(x° a x) f(x°) f(x°) f(% a x)x 0x.f (x0 a x) f(x0).f(x° a x) f(x0)a lim - a

11、 lim -axoa xa x 0a x2af/(%)故選(C)【變式】:-1【例2】(1) y'222(x2 1) 2x 2x 2 2x2(x21)2(x2 1)2【例3】【例4】【例5】【例6】解:.2 2y|x1=因此曲線yS'(1)(2)(3)S'|t0,即曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率2xx2 1(2t2)'在(1,1)處的切線方程為t2 2t(t 1)t44t t2y=1k=04t3x227122611。27(3x 2)(x1)23)(1 ,)時(shí)丫 0(fj)x2 12- x4xf),0)，(0,k2-2 xk)(k,k,0)(0,k) y 0k),

12、 (k,1 4x21%)y 0略，注意強(qiáng)調(diào)學(xué)生的步驟完整性1、C分析:解得a=1,2、 Ak,0),(0,k)定義域?yàn)?0,(2(1)分析x=±1處的極值情況，關(guān)鍵是分析x= ± 1左右f (x)的符號(hào)(2)要分清點(diǎn)A (0, 16)是否在曲線上.f (x)b=0.f (x) =x3 3x,令 f (x) =0,得=3ax2+2bx-3,依題意，f (1) =f (1) =0,即f (x) =3x2 3=3 (x+1) ( x 1).x= 1, x=1.若 xC ( OO, 1) U (1, +8)，則 f (x) > 0,3a 2b3a 2b3 0,3 0.故f (

13、x)在(8, 1)上是增函數(shù)，f(X)在(1, +8)上是增函數(shù)若xC (1, 1),則f (X)V0,故f(x)在(一1, 1)上是減函數(shù)所以f ( 1) =2是極大值，f (1) =-2是極小值.(2)曲線 y=x3- 3x,點(diǎn) A (0, 16)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn) M (x0, yo),則 yo=xo33x.''' f (x0) =3xo23,，切線方程為 y y0=3 (x。21) (x刈).代入 A (0, 16)得 16 x03+3x0=3 (x021) (0x°).解得 x0=-2,M (2, 2),切線方程為 9x-y+16=0.評(píng)述：過已知點(diǎn)

14、求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵【例7】解：函數(shù)f x的增減變化如下表：x,111,222,f x+0一0+f x極大極小/(1) f x在x=1處由增變減，故f 1為極大值，即x0=1.(2)由于 f x3ax2 2bx c,f 10 3a 2b c 0 a 2f 2 012a 4b c 0 b 9f 15 a b c 5 c 12【例8】解：f' (x) =3x2+2ax+b.據(jù)題意，1, 3是方程3x2+2ax+b=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得1 3 2a - a= - 3, b= - 93f (x) =x3 3x2 9x+c/ c b1 33. f (-1) =

15、7,c=2極小值 f (3) =33- 3X32-9X3+2= -25，極小值為一25, a= 3, b= 9, c=2【例 9】解：(1) f (x) ax4 bx2 c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),則c 1 ,'3'f (x) 4ax 2bx,k f (1) 4a 2b 1,切點(diǎn)為(1, 1),則f (x) ax4 bx2 c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1, 1)5得a b c 1,得 a , b25 49 2f(x) -x -x 122(2) f'(x) 10x3Ox。誓x0,或 x3而10單調(diào)遞增區(qū)間為（3-10,0）,（3-10,）1010【例 10（1） A （2） （- ,0

16、【例11解：由條件知 x 0是函數(shù)y f x的極值點(diǎn)._2f x 3ax 2x b,令 f 00,得 b 0.已求b 0, . f x 3ax2 2x.令f x 0,得x 0,上-.由條件知x 3a為極大值點(diǎn)，則x 二_應(yīng)為極小值點(diǎn).又知曲線在區(qū)間（0, 4）上是減函數(shù). 3a23a4,6a 13a0，6r【例12】解：由a(、,3, 1),b(2r r 得ag>r r0, a 2, b 1rra (t2 3)bc( ka tb)f'(t)3t2- 0,得 t44所以增區(qū)間為（1）,（1,）;減區(qū)間為（1,1）。三、課堂演練:1.若曲線y=f （x）在點(diǎn)（x。，f （x。）處的切

17、線方程為2x y1=0,貝UA. f' (x0)>0 B. f' (x0)<0C. f' (x0) =0 D. f' (x0)不存在2.函數(shù)f (x)323213 ,、，一2x2 -x3在區(qū)間0,6上的最大值是（）3B. 16C. 123D. 90, ka2 tagb k(t2 3)agr t(t2 3)b2 0313_134k t3 3t 0,k (t3 3t), f (t) (t3 3t) 443 c 31,或 t 1;3t2 3 0,得 1 t 1443,函數(shù)y=x33x的極大值為m,極小值為n,則m+n為C. 24 .已知函數(shù)f (x) x3

18、 ax2 3x 9在x3時(shí)取得極值，則實(shí)數(shù) a的值是()A. 2B. 3C. 4D . 55 .在函數(shù)y x3 8x的圖象上，其切線的傾斜角小于一的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()4A. 3B . 2C. 1D . 06 .三次函數(shù)y=f (x) =ax3+x在xC (+oo)內(nèi)是增函數(shù)，則1A . a>0B. a<0C. a=1D . a=-37 .與直線2x- 6y+1=0垂直，且與曲線 y=x3+3x21相切的直線方程是 .28 .已知 a 為實(shí)數(shù)，f(x) (x 4)(x a)。求導(dǎo)數(shù)f (x)；若f ( 1) 0,求f (x)在2, 2上的最大值和最小值；若f (x)在(8, 2)和2, +8止都是遞增的，求 a的取值范圍1-6AAADAA , 7.3x+y+2=09 .解：由原式得 f (x) x3 ax2 4x 4a,，f (x) 3x2 2ax 4.1 919由 f ( 1) 0 得 a 一,此時(shí)有 f (x) (x 4)(x ), f (x) 3x x 4.2 24由 f(1)0 得 x 或 x=-1 ,34 509又 f(一),f( 1) -, f( 2) 0, f(2) 0,5 272一950所以f(x)在 2,2上的最大值為一，最小值為 .227解法一 ：f (x)3x2 2ax 4的圖象為開口向上且過點(diǎn)(0, 4)的拋物線，