立體幾何的向量法打印

1、立體幾何的向量法 基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)和邏輯關(guān)系梳理一、基本概念1）空間向量的平行和垂直的條件：設(shè)，（）；2）兩個(gè)向量的夾角與向量的長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式：，二、基本應(yīng)用位置向量：已知向量，在空間固定一個(gè)基點(diǎn)，再作向量，則點(diǎn)在空間的位置就被向量所唯一確定了這時(shí)，我們稱(chēng)這個(gè)向量為位置向量由此，我們可以用向量及其運(yùn)算來(lái)研究空間圖形的性質(zhì)1）給定一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)向量，為空間中任一確定的點(diǎn)，為直線(xiàn)上的點(diǎn)，則在為過(guò)點(diǎn)且平行于向量的直線(xiàn)上 這三個(gè)式子都稱(chēng)為直線(xiàn)的向量參數(shù)方程向量稱(chēng)為該直線(xiàn)的方向向量2）設(shè)直線(xiàn)和的方向向量分別為和，（或與重合）；若向量和是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，且都平行于平面（即向量的基線(xiàn)與平面平行或在平面內(nèi)）

2、，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則或在內(nèi) 存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使3）如果向量的基線(xiàn)與平面垂直，則向量就稱(chēng)為平面的法向量設(shè)是空間任一點(diǎn)，為空間內(nèi)任一非零向量，則滿(mǎn)足的點(diǎn)表示過(guò)點(diǎn)且與向量垂直的平面，稱(chēng)為該平面的向量表示式4）設(shè)分別是平面的法向量，則或與重合；5）線(xiàn)面角：斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的正射影的夾角叫做斜線(xiàn)和平面所成的角，是斜線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)所成角中最小的角6）二面角：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線(xiàn)叫做二面角的棱每個(gè)半平面叫做二面角的面棱為，兩個(gè)面分別為的二面角，記作在二面角的棱上任取一點(diǎn)，在兩半平面內(nèi)分別作射線(xiàn)，則叫

3、做二面角的平面角二面角的平面角的大小就稱(chēng)為二面角的大小我們約定二面角的范圍為設(shè)，則角與二面角相等或互補(bǔ) 解題方法總結(jié)和題型歸類(lèi)一、空間向量求立體幾何中的角和距離歸納總結(jié)：空間角（異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角）轉(zhuǎn)化為向量與向量的夾角問(wèn)題；距離一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。一般有這樣幾個(gè)角度：1）求異面直線(xiàn)所成角：轉(zhuǎn)化為求兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角。2）求線(xiàn)面角：轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)的方向向量BA與平面的法向量n的夾角， 3）求二面角：轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量的夾角。4）求距離：一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)AB為平面的一條斜線(xiàn)段，n為平面的法向量，則B到平面的距離 .【例1】如圖，四邊形為菱形，是平面同一側(cè)的

4、兩點(diǎn)，平面，平面，,（1）證明：平面平面（2）求直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值【答案】（1）略（2）【解析】(1)（）連接,設(shè),連接,在菱形中，不妨設(shè)，由,可得.由平面，可知，又，.，在中，可得,故，在中，可得.在直角梯形中，由，可得，平面，平面，平面平面(), ,平面,面，平面平面（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、的方向?yàn)檩S，軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可得， 故.所以直線(xiàn)與所成的角的余弦值為.【例2】如圖，在正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角的大小是_【答案】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，,，,，,所以，即，異面直線(xiàn)與所成的角大

5、小為.【點(diǎn)評(píng)】本題求異面直線(xiàn)所成的角，是通過(guò)兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角來(lái)求解，而兩異面直線(xiàn)所成角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是，所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)有.【例3】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)已知，.求：（1）三角形的面積；（2）異面直線(xiàn)與所成的角的大小【答案】(1)；（2）【解析】（1）因?yàn)榈酌?，所?又,所以平面,從而.因?yàn)椋匀切蔚拿娣e為（2）解法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則,，,，設(shè)與的夾角為，則,由此可知，異面直線(xiàn)與所成的角的大小是解法二：取中點(diǎn)，連接、，則,從而（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)與所成的角.在中，由、，知是等腰直角三角形，所以，因此異面直線(xiàn)與所成

6、的角的大小是.【點(diǎn)評(píng)】本題可方便地建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)得到向量坐標(biāo)，求兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角，然后求解 【例4】如圖，四棱柱中， 側(cè)棱底面，為棱的中點(diǎn)（1）證明：（2）求二面角的正弦值（3）設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段上， 且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)【答案】(1)見(jiàn)詳解.（2）（3）【解析】(1)證明：因?yàn)閭?cè)棱底面，平面，所以，經(jīng)計(jì)算可得，從而，所以在中，又，平面中，所以平面，又平面，故.（2）過(guò)作于點(diǎn)，連接，由()可知，故平面，得，所以為二面角的平面角，在中，由，可得，在中，所以，即二面角的正弦值為.（3）連結(jié),過(guò)點(diǎn)做于點(diǎn)，可得平面，連結(jié)，則為直線(xiàn)與平面所成的角.設(shè)，從而在中，有，

7、在中，得，在中，由 ，得，整理得，解得，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為.【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面的位置關(guān)系，以及二面角、直線(xiàn)與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查考生的空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力【例5】如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求與所成角的余弦值；(3)當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng)【答案】（1）略（2）與所成角的余弦值為（3）【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?所以,又因?yàn)槠矫?，所?所以平面.（2）設(shè)，因?yàn)?所以，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，所以,，設(shè)與所成角為，則；（3）由（2）知,設(shè)，則，設(shè)平

8、面的法向量，則，所以，令，則，所以，同理，平面的法向量，因?yàn)槠矫媾c平面，所以，即，解得，所以【點(diǎn)評(píng)】平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過(guò)建立坐標(biāo)系，第三問(wèn)可利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解.【例6】如圖與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.求點(diǎn)到平面的距離.【解析】過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)做于，連接，根據(jù)與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，利用勾股定理，解得：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用,則：，解得：. 【點(diǎn)評(píng)】點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較簡(jiǎn)單，注意公式的應(yīng)用和計(jì)算的準(zhǔn)確性.【例7】如圖，四棱錐中，底面，為的中點(diǎn)，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求二面角的正弦值【答案

9、】（1）（2）【解析】(1)如圖，連接交于點(diǎn)，平分，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，而，可得.又，可得，由于底面，可設(shè)為邊的中點(diǎn)，由此可得，且，解之得（舍負(fù)）因此，可得的長(zhǎng)為（2）由(1)知,，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為且,，取得，同理，由且,解出，向量、的夾角余弦值為因此，二面角的正弦值等于【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何問(wèn)題，意在考查考生空間想象能力和運(yùn)算能力通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到所求角的大小，但要注意平面間的夾角的范圍為.【例8】如圖，直四棱柱中，為上一點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn) 到平面的距離【答案】（1）略（2）【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，,在中，；在中，因此，中可得，可得，平面，平面，又、是平面內(nèi)的相交直線(xiàn)，平面.（