自考線性代數(shù)重點總結

1、第一章 行列式一行列式的定義和性質1. 余子式和代數(shù)余子式的定義例1行列式第二行第一列元素的代數(shù)余子式（）ABCD測試點 余子式和代數(shù)余子式的概念解析 ,答案 B2行列式按一行或一列展開的公式1）2）例2 設某階行列式的第二行元素分別為對應的余子式分別為則此行列式的值為 .測試點 行列式按行(列)展開的定理解 例3 已知行列式的第一列的元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x 問 .測試點 行列式的任意一行(列)與另一行(列)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.解 因第一列的元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x,故所以3行列式的性質1）2）用數(shù)乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行

2、列式的倍.推論3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù). 推論4）如果行列式中兩行（列）對應元素成比例，則行列式值為0.5）行列式可以按任一行（列）拆開.6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等.例4 已知，那么（）A.B.C.D.測試點 行列式的性質解析 答案 B例5設行列式=1，=2，則=（）ABC1D測試點 行列式的性質解 故應選 D答案 D二行列式的計算1二階行列式和三角形行列式的計算.2.對一般數(shù)字行列式，利用行列式的性質將其降階以化成二階行列式或三角形行列式的計算.3對行列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這

3、一行或一列展開.4行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型.5.范德蒙行列式的計算公式例6求4階行列式的值.測試點 行列式的計算解 例7計算3階行列式 解 例8 計算行列式：測試點 各行元素之和為常數(shù)的行列式的計算技巧.解 例9計算行列式測試點 行列式中有一行只有兩個元素不為零的行列式的計算和三角形行列式的計算解例10計算行列式解 例11設問（1）中，項的系數(shù)？（2）方程有幾個根？試寫出所有的根。測試點 1.范德蒙行列式的判別和計算公式;2.行列式按行(列)展開的定理.解（1）項的系數(shù)(2)因為所以方程有三個根:第二章 矩陣一、矩陣的概念1.要弄清矩陣與行列式的區(qū)別2.兩個矩陣相等的概念3.幾種特

4、殊矩陣（0矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數(shù)量陣）二、矩陣的運算1 矩陣的加、減、乘有意義的充分必要條件例1設矩陣,，則下列矩陣運算中有意義的是（）ABCD測試點: 矩陣相乘有意義的充分必要條件答案: B例2設矩陣，則 =_.測試點: 矩陣運算的定義解 .例3設矩陣，則_.測試點: 矩陣運算的定義解 2矩陣運算的性質比較矩陣運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法等）的性質與數(shù)的運算性質的相同點和不同點（加法的交換律和結合律；乘法關于加法的分配律；）重點是矩陣乘法沒有交換律（由此產(chǎn)生了矩陣運算公式與數(shù)的運算的公式的不同點.(如果，可能例如都不為零，但.3轉置 對稱陣和反對稱陣 1）轉置的性質2）若，則稱為對

5、稱（反對稱）陣例4矩陣為同階方陣，則=（）ABCD答案: B例5設令,試求.測試點 矩陣乘法的一個常用技巧解 因為,所以答案 例6為任意階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是（）ABCD解析 故為對稱陣.故為反對稱陣.故為對稱陣.同理也為對稱陣.答案 B例7已知矩陣,為2階單位矩陣,令求測試點 方陣多項式的概念;4. 方陣的行列式的性質例7設為n階方陣，為實數(shù)，則=（）ABCD答案: C例8矩陣，則行列式_.解析 答案 5.逆矩陣1）方陣可逆(也稱非異，滿秩)的充分必要條件是.當可逆時，.其中方陣的伴隨陣的定義。特別 當時，重要公式； 與的關系2）重要結論：若n階方陣滿足，則都可逆，且.3）逆矩陣

6、的性質：;當時，；;.4）消去律：設方陣可逆，且，則必有.（若不知可逆，僅知結論不一定成立。）6分快矩陣矩陣運算時，分快的原則：保證運算能順利進行（包括分塊矩陣和子塊的運算）如；分快矩陣的運算規(guī)則；特別是分快矩陣的轉置準對角陣的逆矩陣： 如果 都是可逆陣，則例9 二階矩陣，則（）ABCD測試點 伴隨矩陣的定義,二階方陣的伴隨陣答案: A例10 三階陣，則= _.測試點 重要公式 .答案例11 ，則_.解例12 設為2階可逆矩陣，且已知，則 =（）ABCD測試點 逆矩陣的性質解 由,所以 故答案 D例13設求.測試點 求逆矩陣的方法解所以注意 一定要驗算例14 已知則_。測試點 關于逆矩陣的重要

7、推論若都是階矩陣，且滿足則都可逆，且解 由得，即，即 ，故 答案 例15設是n階方陣，且，證明可逆.測試點 若則都可逆,且證 因為,即,所以故可逆,且.例16設階方陣滿足，其中為正整數(shù)，證明可逆，且分析 只要檢查即可證 因為 .故 三、矩陣的初等變換和初等矩陣1初等變換的定義和性質稱矩陣的下列三種變換為初等行變換：（1）兩行互換；（2）某一行乘一個非零的數(shù)；（3）某一行的倍加到另一行上。類似地可定義初等列變換，初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？（分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣

8、化為行最簡形，初等變換必能將矩陣化為標準形，其中為矩陣的秩.如果矩陣經(jīng)過有限次的初等變換變成則稱矩陣與等價.等價矩陣有相等的秩，從而有相等的等價標準形.2.初等矩陣的定義和性質1）初等矩陣的定義;初等陣都可逆，且其逆也是同類型的初等陣.2)初等變換和矩陣乘法之間的關系3)對任意階矩陣，總存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得4)矩陣階與等價的充分必要條件是存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得例17 下列矩陣中，是初等矩陣的為（）ABCD測試點 初等矩陣的定義和性質解析C.是由單位矩陣經(jīng)第三行加第一行得到的，故是初等矩陣。答案 C例18設三階矩陣,若存在初等矩陣,使得則 【 】A. B. C.

9、 D.測試點 矩陣的初等變換和用初等矩陣乘的關系答案 B四、矩陣的階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法1 矩陣的階子式的概念2 矩陣秩的概念 定義矩陣的秩為0，對于非零矩陣，如果有一個階子式不等于而所有的階子式（如果有的話）都等于則稱矩陣的秩為.顯然階可逆矩陣的秩等于，故可逆陣又稱是滿秩的.階梯形矩陣的秩等于其非零行的個數(shù).3. 等價矩陣有相等的秩（初等變換不改變矩陣的秩）;從而矩陣左乘（右乘）可逆陣其秩不變.反之兩個同形矩陣只要秩相等，則二者必等價.4.求矩陣秩的方法 例19設矩陣，則中（）A所有2階子式都不為零B所有2階子式都為零C所有3階子式都不為零D存在一個3階子式不為零測試點 矩陣的

10、階子式的概念.答案 D例20設矩陣，矩陣，則矩陣的秩 =_.測試點 矩陣秩的概念解 答案例21設矩陣，問a為何值時，（1）秩；（2）秩.測試點 求矩陣秩的方法解 所以 當時, 秩;當時, 秩例22設為m×n矩陣，是n階可逆矩陣，矩陣的秩為，則矩陣的秩為_.測試點 用可逆矩陣左(右)乘任意矩陣,則的秩不變.答案 例23設階方陣的秩為，則與等價的矩陣為（）ABCD答案 B測試點矩陣等價的概念；等價矩陣有相等的秩；反之同形的兩個矩陣只要其秩相等，必等價.解 因為A,C,D的矩陣的秩都為，B的矩陣的秩等于.故答案應為B.五、矩陣方程的標準形及解的公式例24設矩陣，求矩陣方程的解.測試點 解矩

11、陣方程的方法解 驗算!例25設均為3階矩陣,為3階單位矩陣,且滿足:.若已知求矩陣.測試點 解矩陣方程的方法解 因為，故從而 ，又顯然可逆，應用消去律得.驗算 所以確有 例26已知矩陣滿足方程，求。測試點 求矩陣方程的解解 由 得故 其中所以 驗算第三章 向量空間一、維向量線性運算的定義和性質;例1已知其中，則 _.測試點 維向量線性運算的定義和性質解 因為,所以故 (請驗算)答案 .例2設向量則由線性表出的表示式為_.測試點 向量由向量組線性表示;組合系數(shù)的求法解 考慮 該線性方程組的增廣矩陣所以 答案 (驗算!)二、維向量組的線性相關性1向量組的線性相關性的定義和充分必要條件：1）定義:

12、設是一組維向量.如果存在個不全為零的數(shù)，使得,則稱向量組線性相關，否則，即如果，必有，則稱向量組線性無關.2)個維向量線性相關的充分必要條件是至少存在某個是其余向量的線性組合.即線性無關的充分必要條件是其中任意一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.例3設向量組線性相關，則必可推出（）A中至少有一個向量為零向量B中至少有兩個向量成比例C中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合D中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合測試點 向量組線性相關的概念答案 C例4向量組線性無關的充分條件是A. 都不是零向量B.中任意兩個向量都不成比例C.中任意一個向量都不能表為其余向量的線性組合D.中任意個向量

13、都線性無關測試點 向量組線性相關的概念; 充分條件;必要條件;充分必要條件.解 都不是零向量,但線性相關. 中任意兩個向量都不成比例,且其中任意個向量都線性無關,但線性相關.故A,B,D都不正確.答案 C例5.設向量組線性無關，證明向量組也線性無關.測試點 向量組線性無關的定義; 證 設 因為 則 即 因為線性無關,故,所以只能.這表明若,必有.據(jù)向量組線性無關的定義,知也線性無關例6.若向量組線性無關,則可能的取值應滿足 .測試點 個維向量線性無關相應的行列式;解所以 且.答案 且.2. 關于線性相關的幾個定理1)如果向量組線性無關,而線性相關,則可由線性表示,且表示法唯一.2)線性相關的向

14、量組再增加向量所得的新向量組必線性相關.(部分相關,則整體相關;或整體無關,則部分無關)3) 若向量組線性無關,則接長向量組必線性無關.3判斷向量組線性相關性的方法1)一個向量線性相關； 2)含有零向量的向量組必線性相關；3)向量個數(shù)向量維數(shù)時，n維向量組線性相關.4)向量個數(shù)>向量維數(shù)時, 向量組必線性相關；5)部分相關，則整體必相關；（整體無關，則部分必無關）.6)若向量組線性無關，則其接長向量組必線性無關；7)向量組線性無關向量組的秩所含向量的個數(shù)，向量組線性相關向量組的秩<所含向量的個數(shù);8)向量組線性相關（無關）的充分必要條件是齊次方程組有（沒有）非零解.例7.設維向量組

15、線性無關,則A. 組中減少任意一個向量后仍線性無關B. 組中增加任意一個向量后仍線性無關C. 存在不全為零的數(shù),使D. 組中至少有一個向量可以由其余向量線性表出解析 因為若向量組線性相關，則增加任何一個向量后仍線性相關，其等價的定理是向量組相性無關，則組中減少任意一個向量后仍線性無關答案 A例8設向量，下列命題中正確的是（）A若線性相關，則必有線性相關B若線性無關，則必有線性無關C若線性相關，則必有線性無關D若線性無關，則必有線性相關答案 B例9.設向量組線性無關,而向量組線性相關.證明:向量必可表為的線性組合.測試點 關于線性相關性的幾個定理證1因為線性相關，故線性相關，又因為線性無關,所以

16、必可表為的線性組合. 證畢.證2 因為線性無關,故必線性無關,又因為線性相關故必能由線性表示,當然可表為的線性組合. 證畢.三、向量組的極大無關組及向量組的秩1極大無關組的定義：設是向量組的一個部分組.如果（1）線性無關；（2）任給，都有線性相關，則稱是向量組的一個極大無關組.2向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關組,并將其余向量由該極大無關組線性表示的的方法例10的行向量組的秩_.測試點 矩陣的秩與向量組的秩之間的關系;答案 例11設是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ ）A1B2C3D4測試點 （1）向量組的秩的概念；（2）向量由向量組

17、線性表示的概念 （3）向量組線性相關和線性無關的概念解 因為可以表為的線性組合，且表示法惟一，必有線性無關,因為設，由可以表為的線性組合，即故 由表示法惟一，有于是有，故線性無關，又可以表為的線性組合，所以為向量組的一個極大無關組，故向量組的秩為3.答案 C例12設向量組（1）求向量組的秩和一個極大線性無關組；（2）將其余向量表為該極大線性無關組的線性組合.測試點 求向量組的極大無關組,并將其余向量由該極大無關組線性表示的的方法解 所以 原向量組的秩為， 為所求的極大無關組.四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標1.維向量空間的定義：維實向量的全體構成的集合稱為維向量空間，記為.2.

18、子空間的定義：設是的一個非空子集，且滿足對加法運算和數(shù)乘運算封閉，則稱是的一個子空間,簡稱為向量空間.3.生成子空間的定義：設則由它們的所有線性組合構成的一個子空間，稱它為由生成的子空間.例13 設，說明哪個是子空間，那個不是.解析 在中，任取為任意數(shù)，都有所以是子空間.類似地，可以證明也是子空間.但對，取都屬于而這表明對加法運算不封閉，故不是子空間.4. 向量空間的基和維數(shù)的定義向量空間的一個向量組線性無關，且中每個向量都能由它線性表示，則稱它為向量空間的一個基.零空間沒有基，定義它為0維，否則，稱向量空間的基所含向量個數(shù)為該空間的維數(shù).設稱為在這組基下的坐標.例14向量空間為實數(shù)的維數(shù)為_

19、.測試點 向量空間維數(shù)的概念解 容易看出 是的一個基。答案 例15證明向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標是_.測試點 向量在一組基下的坐標解 因為故線性無關，所以它是的一組基.考慮 該線性方程組的增廣矩陣為得 所以在這組基下的坐標是（即）答案 .例16 求由向量組生成的子空間的一個基，并說明該生成子空間的維數(shù).解析 顯然是的一個極大無關組，故是由向量組生成的子空間的一個基，所以該子空間的維數(shù)等于第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1.2.，其中 .3 其中二、齊次線性方程組1齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組有非零解的充分必要條件是未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣的列數(shù)）.2）n個未

20、知數(shù)n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是.3)設是階矩陣.若，則齊次方程組必有非零解.(這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要)例1設為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（）A的列向量組線性相關B的列向量組線性無關C的行向量組線性相關D的行向量組線性無關測試點 齊次方程組有非零解與列向量組線性相關的關系.答案 A例2.設是4×3矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則矩陣的秩 _.測試點 1.齊次方程組只有零解的充分必要條件;2根據(jù)系數(shù)矩陣的階數(shù),確定方程的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù).解析 線性方程組的系數(shù)矩陣的行數(shù)等于方程的個數(shù)，列數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)因為是4×3矩陣

21、，故方程組的未知數(shù)的個數(shù)，故方程組只有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩答案 例3.齊次線性方程組有非零解,則 .解析 有非零解而 故因為有非零解，則或答案 或2. 齊次方程組解的結構1）齊次方程組解的性質設都是的解，則也是的解(C1，C2為任意常數(shù))2）齊次方程組的基礎解系的概念設是齊次方程組的一組解.如果它滿足：（1）線性無關；（2）的任何一個解都可以表示為的線性組合，則稱為該齊次方程組的基礎解系.如果齊次方程組有非零解（即），則它有基礎解系.重要結論:齊次方程組的基礎解系含個線性無關的解；齊次方程組的任意個線性無關的解都構成該齊次方程組的基礎解系；3）齊次方程組的基礎解系的求法例4 3元齊次方

22、程組的基礎解系所含解向量的個數(shù)為 .測試點 齊次方程組的基礎解系 (定義;含幾個解向量;求法)解 因為齊次方程組的系數(shù)矩陣為的秩為,未知數(shù)的個數(shù)為,所以其基礎解系含個解.答案 例5已知是齊次方程組的一個基礎解系,則此方程組的基礎解系還可以選用A.B.C.與等秩的向量組D. 與等價的向量組測試點 1.齊次方程組的基礎解系 特別是若齊次方程組的一個基礎解系含4個解,則它的任意4個線性無關的解都是它的基礎解系;2.判斷向量組線性無關的方法;3.等價的向量組有相等的秩;等價與等秩的區(qū)別4,齊次方程組解的性質.解 因為是齊次方程組的一個基礎解系,故都是齊次方程組的解,因為與等價,故能由線性表示,故也都是

23、的解.又因為線性無關,所以該向量組的秩=4,又因為等價的向量組有相等的秩,所以的秩也等于4,所以也線性無關.故也是的基礎解系. 所以 D正確.答案 D例6.設m×n矩陣的秩，是齊次線性方程組的三個線性無關的解向量，則方程組的基礎解系為（）ABCD知識點 齊次線性方程組基礎解系的概念及所含解向量的個數(shù);向量組線性相關性的判別解 顯然A,B,C選項中的三個向量都是線性相關的,而齊次方程組的基礎解系應由線性無關的向量組組成.答案D3）齊次方程組的通解公式 如果是基礎解系，則它的通解為 ，其中為任意數(shù).例6求齊次線性方程組 的基礎解系及通解.測試點 求齊次方程組的基礎解系和通解的方法解 取為

24、約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為該齊次方程組的基礎解系,該齊次方程組的通解為為任意數(shù))三非齊次方程組 1非齊次方程組解的性質1）設都是的解，則是它的導出組的解.2）設都是的解，則當時，也是的解.3）設是的一個解，是它的導出組的解,則是的解.例7已知是3元非齊次線性方程組的兩個解向量，則對應齊次線性方程組有一個非零解向量_.測試點 線性非齊次方程組解的性質 解 答案 例8設齊次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解,則是方程組_的解。測試點 線性方程組解的性質答案 2關于非齊次方程組解的討論定理 個未知數(shù)，個方程的線性方程組中，（系數(shù)矩陣是階矩陣）是增廣矩陣.則1）當且僅當（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組

25、有惟一解；2）當且僅當（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組有無窮多解；3）當且僅當時，方程組無解.從以上定理可見1）線性方程組有解的充分必要條件是.2）當線性方程組，方程的個數(shù)未知數(shù)的個數(shù)時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式.例9已知某個3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為_.測試點 1.增廣矩陣經(jīng)初等行變換變成,則以為增廣矩陣的線性方程組與原方程組通解; 2.非齊次方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩解 當時,故方程組無解.答案 .例10 如果非齊次線性方程組有解,則它有惟一解的充分必要條件是其導出組 .解 非齊次線性方程組有惟一解的充

26、分必要條件是未知數(shù)的個數(shù)，而它恰是其導出組只有零解,沒有非零解的充要條件.答案 只有零解.3.非齊次方程組的通解的結構其中是方程的一個特解，為系數(shù)矩陣的秩，為它的導出組（與它對應的）齊次方程組的基礎解系.例10設3元非齊次線性方程組的兩個解為，且系數(shù)矩陣的秩，則對于任意常數(shù)方程組的通解可表為（）測試點 1.非齊次線性方程組的通解的公式;2.非齊次方程組解的性質3.齊次方程組的基礎解系的概念解 因為都是非齊次方程組的解，故是它的導出組的解，又因為為3元方程組，故它的基礎解系含一個解，即它的任何一個非零解都是它的基礎解系，故就是它的基礎解系，又是非齊次方程組的解，所以為的通解. 答案 C例11設3

27、元非齊次線性方程組(1) 試判定當為何值時,方程組有無窮多個解?(2) 當方程組有無窮多解時,求出其通解(要求用它的一個特解和它導出組的基礎解系表示).測試點 線性方程組的討論解所以 當即時,方程組無解;當 即 時方程組有惟一解;當 即時,方程組有無窮多解.這時取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為方程組的特解,為其導出組的基礎解系.故方程組的通解為.例12 設向量可以由向量組線性表示,則數(shù)應滿足的條件是A. B. C. D.解析 考察方程,其增廣矩陣為故方程組有解時,必有答案 C第五章 特征值與特征向量一、特征值與特征向量1特征值與特征向量的定義要點：是n階方陣的特征值，是指存在非零列向量，使得

28、.這時，稱為矩陣屬于特征值的特征向量.由此知，是n階方陣的特征值，這時，齊次方程組的非零解都是矩陣屬于特征值的特征向量.例1 設為3階矩陣,為3階單位陣,若行列式,則的一個特征值為 【 】A. B. C. D.測試點 為的特征值的充分必要條件是.解 因為,故所以必有一個特征值為.答案 B例2 已知矩陣的一個特征值為，則 _.測試點 為的特征值的充分必要條件是.解 為矩陣的一個特征值故.答案 例3 設3階矩陣的每行元素之和均為2,則必有一個特征值為 .測試點1.特征值的定義 2.解 因為3階矩陣的每行元素之和均為2, 所以必有一個特征值為.答案 例4設矩陣，則的線性無關的特征向量的個數(shù)是（）AB

29、CD解 的特征值為，當時，所以，故的基礎解系只含一個解，這表明只有一個屬于特征值的線性無關的特征向量，故的線性無關的特征向量的個數(shù)是.答案 C2關于特征值、特征向量的性質1）與有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設都是矩陣屬于特征值的特征向量，是數(shù)，只要，則也是矩陣屬于特征值的特征向量；3) 設階方陣的個特征值為,則(2).4）矩陣屬于不同特征值的特征向量線性無關;5）設是矩陣屬于特征值的特征向量，則是矩陣屬于特征值的特征向量，其中.6)設是可逆矩陣的特征值.則，且是矩陣的特征值.3特征值、特征向量的求法例5設階矩陣有一個特征值為,對于階單位矩陣,矩陣必有一個特征值為 .解 ,則,因

30、為有一個特征值為,故必有一個特征值為例6設為n階可逆矩陣，已知有一個特征值為，則必有一個特征值為_.測試點 若 為可逆矩陣的一個特征值，則為矩陣的特征值.解 因為有一個特征值為，故有一個特征值為,所以必有一個特征值為.答案 .例7 已知是n階矩陣，且滿足方程,證明的特征值只能是或.測試點 設為的特征值，則為矩陣的特征值.矩陣的所有特征值均為0.證 設為的特征值，則必為的特征值，又因為，故，故必有或.證畢二、相似矩陣1.相似矩陣的定義 設都是階方陣，如果存在可逆陣使得，則稱與相似.2. 相似矩陣的性質1)反身性，對稱性，傳遞性；2）若方陣與相似，則與有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進

31、而，且,其中表示矩陣的跡，即,為方陣的n個特征值；注意：反之，若與有相同的特征值，與不一定相似；例如有相同的特征值，但與不相似.例8 設3階矩陣與相似,且已知的特征值為則矩陣的跡 【 】A. 3 B. 2 C.1 D.0測試點1. 相似矩陣的特征值相同;從而其跡和行列式也相同；2.矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關系.解 由已知的特征值也為故的跡答案 A例9 設3階矩陣與相似，且已知的特征值為. 則=（）ABC7D12測試點 (1) 相似矩陣的特征值相同;(2)設為矩陣的一個特征值,則為矩陣的特征值;為矩陣的特征值.(3)矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關系.解 因為3階矩陣與相似,所以與

32、有相同的特征值,所以的特征值為,故的特征值為從而答案 A例10若2階矩陣相似于矩陣，為2階單位矩陣，則與矩陣相似的矩陣是（ ）A BCD測試點 相似矩陣的概念；相似矩陣的性質（若與相似，則與相似；相似矩陣有相同的特征值等）；三角形矩陣的特征值解1 ，故的特征值為.因為與相似，故與相似，所以，凡與矩陣相似的矩陣的特征值都是，故在A,B,C,D四個選項中，正確的只能是C.解2因為二階方陣有兩個不同的特征值，故與對角陣相似，同理也與對角陣相似，故與相似.答案 C3.方陣的對角化問題1)n階方陣能與對角陣相似的充分必要條件是有n個線性無關的特征向量；設是方陣的n個特征值，依次是方陣的屬于特征值的n個線

33、性無關的特征向量.若令，則.2）若方陣有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則必能與對角陣相似.（這是能與對角陣相似的充分條件，不是必要條件）例11 階矩陣與對角陣相似的充分必要條件是（ ）A 矩陣有個特征值 B 矩陣有個線性無關的特征向量C D 矩陣的特征多項式?jīng)]有重根答案 B例12 判斷能否與對角陣相似.解析 故的基礎解系只含一個解，即只有一個線性無關的特征向量，故不能與對角陣相似.例13為三階矩陣，為它的三個特征值, 其對應的特征向量為。設，則下列等式錯誤的是（ ）A. B.C.D.解析 因為依次是矩陣屬于特征值的特征向量，故,所以答案 C例14設矩陣，求可逆矩陣及對角矩陣，使得.解

34、(1)求的特征值和線性無關的特征向量.所以的特征值為 .(2) 當時取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得為齊次方程組 的基礎解系.故為屬于特征值的特征向量.當時取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得當時取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得取,則有.驗算 只要檢查所以 ，從而 例15設3階矩陣的特征值為:且已知屬于特征值的特征向量為屬于特征值的特征向量為.求矩陣.測試點 關于階方陣與對角陣相似的公式:設為三階方陣的三個特征值,依次為屬于特征值的線性無關的特征向量,則令有故 解 令為求,需先求.所以故 例16 已知2階矩陣的特征值為與，對應的特征向量分別為求：（1）；（2）知識點 利用矩陣與對角陣形似將計

35、算轉化為計算解 因為2階矩陣的特征值為與，對應的特征向量分別為取，則,所以.例17設矩陣，存在，使得；存在使得.試求可逆矩陣，使得.測試點 方陣的特征值和特征向量的定義；方陣能與對角陣相似的充分必要條件及其相應的等式解 因為，令 有 同理，取，有，故故取 ，則.三.向量的內(nèi)積和正交矩陣1.向量內(nèi)積的定義:設2向量的長度3單位化向量4正交向量組的定義及其性質定義 如果一個向量組不含零向量，且其中任意兩個向量都正交（簡稱兩兩正交），則稱該向量組為正交向量組.主要性質 正交向量組必線性無關5施密特正交化手續(xù)例18已知3維向量則內(nèi)積_.測試點 內(nèi)積的定義解 答案 例19 求一個單位向量使得與都正交.解

36、 設與都正交,則可取,單位化得即為所求.例20利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組:， .測試點施密特正交化手續(xù)解 取則為所求的單位正交向量組.驗算6. 正交矩陣1）正交矩陣的定義；如果階方陣滿足，則稱它為正交陣2）正交矩陣的性質：設方陣為正交陣，則必可逆，且；如果都是階正交陣，則也是正交陣；是正交陣的充分必要條件是的列（行）向量組構成的標準正交基.四實對稱矩陣的相似標準形1實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；2實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；3實對稱矩陣必能與對角陣相似，且存在正交陣，使得為對角形.4任給實對稱陣，如何求出正交陣，使得為對角形.例21設3階實對稱矩陣的特

37、征值為，則秩=（）ABCD測試點 1.相似矩陣與等價矩陣的概念;2.等價矩陣有相等的秩;3.階梯形矩陣的秩解 因為3階實對稱矩陣的特征值為,故矩陣必與對角陣相似,所以必與對角陣等價,所以秩.答案 B例22設矩陣，求正交矩陣，使為對角矩陣.解 (1) 所以的所有特征值為.(2)當時,取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),為齊次方程組的基礎解系.故為屬于特征值的特征向量.當時,取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),為齊次方程組的基礎解系.故為屬于特征值的特征向量.(3),則正交陣,且 (請驗算!)第六章 實二次型一. 二次型及其矩陣表示 ,稱矩陣的秩為該二次型的秩例1二次型的矩陣為（）ABCD測試點 二次型的矩陣

38、答案 C例2已知二次型的矩陣為,則以它為矩陣的二次型為 . 測試點 二次型的矩陣以及實對稱矩陣的二次型解 所求二次型為二矩陣的合同 設與都是階方陣.如果存在可逆矩陣使得，則稱與合同.對于二次型，做非退化的線性變換變換（其中為可逆陣）則,可見經(jīng)非退化的線性變換后的二次型的矩陣與原二次型的矩陣合同。三用正交變換化二次型為標準形1定理 對任意實二次型，總存在正交變換，使得該二次型化為標準型，其中為實對稱矩陣的n個特征值.此定理說明：對任意實對稱矩陣，總存在正交陣，使得其中為實對稱矩陣的n個特征值.（即實對稱矩陣必能與對角陣合同.2.要掌握用正交變換化二次型為標準形（平方和）的方法.例3已知二次型，求

39、一正交變換，將此二次型化為標準形測試點 用正交變換將二次型化為標準形的方法步驟解 該二次型的矩陣為求矩陣的特征值和特征向量，令 得矩陣的特征值當 時，得齊次方程組的基礎解系為，這表明為矩陣的屬于特征值的兩個線性無關的特征向量.當時，得齊次方程組的基礎解系為，故為矩陣的屬于特征值的特征向量.將正交化，令單位化取得正交陣，當時，原二次型化為標準形答案 ，當時，原二次型化為標準形四. 配方法化二次型為標準形（平方和）.例4.用配方法求二次型的標準形，并寫出相應的線性變換。測試點 用配方法求二次型的標準形解 令，得二次型的標準形.相應的線性變換為，即 例5 用配方法求二次型的標準形，并寫出相應的線性變

40、換.解 令則原二次型 其中，整理后得所作的線性變換為：五. 慣性定律和二次型的規(guī)范形定理 任意的元二次型，一定可以經(jīng)過可逆的線性變換化為規(guī)范形而且其中的和是由原二次型惟一確定，與所做的變換無關，為規(guī)范形中系數(shù)取的項的個數(shù)，稱為該二次型的正慣性指數(shù)，為該二次型的秩，為為規(guī)范形中系數(shù)取的項的個數(shù)，稱為該二次型的負慣性指數(shù).例6二次型的正慣性指數(shù)p為（）A0B1C2D3測試點 二次型的正慣性指數(shù)的概念解 1答案 B例7 3元實二次型的規(guī)范形為 【 】A. B. C. D.測試點 二次型的由標準形化為規(guī)范形的方法解析 因為二次型的一個標準形為，故規(guī)范形為答案 D例8設矩陣，則二次型的規(guī)范形為（）ABC

41、D測試點 化二次型為規(guī)范形的方法解法1 所以矩陣的三個特征值為原二次型的一個標準形為所以原二次型的規(guī)范形為 解法2 令則 所以原二次型的規(guī)范形為 .答案 C六正定二次型與正定矩陣1二次型正定性的定義及其判別方法定義 元二次型和對應的實對稱矩陣1) 如果對任意的非零實向量，都有，則稱為正定（負定）二次型，稱為正定（負定）矩陣.2) 如果對任意實向量，都有，則稱為半正定（半負定）二次型，稱為半正定（半負定）矩陣.3) 其它的二次型稱為不定二次型，其它的實對稱矩陣成為不定矩陣.2二次型正定（實對稱矩陣正定）的充分必要條件正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù).正定的充分必要條件是與單位陣合同.正定的充分

42、必要條件是的所有特征值都大于零.正定的充分必要條件是的各階順序主子都大于零.3二次型正定性的判別方法元二次型正（負）定它的正（負）慣性指數(shù)；元二次型半正（負）定它的負（正）慣性指數(shù)0；元二次型不定它的正，負慣性指數(shù)都大于0.例9.若二次型正定，則a的取值應滿足_.解 該二次型的矩陣為,為使其正定所以a的取值應滿足4實對稱矩陣合同的充要條件實對稱矩陣矩陣與合同當且僅當它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù).(p171定理6.1.3)通過上述串講，可以看出，線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題的特點確實是主要考核大家對基本概念，基本公式，基本方法掌握的情況，同時，試題涉及的非常全面,考核的非常細，這就更要求我們復習得

43、更加全面,更加深入.總而言之，還是我們開始說的要狠抓基本，全面復習，把復習作細 就一定能取得滿意的成績.另外也希望大家在考前休息好，調(diào)整好心態(tài).預祝大家考試成功！謝謝大家.線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點逐個擊破第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子，它實質上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進行運算，其結果為一個確定的數(shù).1二階行列式由4個數(shù)得到下列式子：稱為一個二階行列式，其運算規(guī)則為2三階行列式由9個數(shù)得到下列式子：稱為一個三階行列式，它如何進行運算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子

44、式的概念.3余子式及代數(shù)余子式設有三階行列式 對任何一個元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如 ，再記 ，稱為元素的代數(shù)余子式.例如 ，那么 ，三階行列式定義為我們把它稱為按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成4n階行列式一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式.5特殊行列式上三角行列式下三角行列式對角行列式 （二）行列式的性質性質1 行列式和它的轉置行列式相等，即性質2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.

45、推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2 如果行列式中某兩行（列）的對應元素成比例，則此行列式的值等于零.性質4 行列式可以按行（列）拆開.性質5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積的和，即或前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即

46、或（三）行列式的計算行列式的計算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子k時，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素，再按這一行或這一列展開：例1計算行列式 解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開.例2 計算行列式 解：方法1這個行列式的元素含有文

47、字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，因為文字可能取0值.要注意觀察其特點，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行：方法2 觀察到這個行列式每一行元素中有多個b，我們采用“加邊法”來計算，即是構造一個與 有相同值的五階行列式：這樣得到一個“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化為零.例3 三階范德蒙德行列式 （四）克拉默法則定理1（克拉默法則）設含有n個方程的n元線性方程組為如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中是

48、把D中第j列換成常數(shù)項后得到的行列式.把這個法則應用于齊次線性方程組，則有定理2 設有含n個方程的n元齊次線性方程組如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.第二章 矩陣（一）矩陣的定義1矩陣的概念由個數(shù)排成的一個m行n列的數(shù)表稱為一個m行n列矩陣或矩陣當時，稱為n階矩陣或n階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示23個常用的特殊方陣：n階對角矩陣是指形如 的矩陣n階單位方陣是指形如 的矩陣n階三角矩陣是指形如 的矩陣3矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個數(shù)表，

49、而n階行列式的最后結果為一個數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數(shù)，而且行列式記號“”與矩陣記號“”也不同，不能用錯.（二）矩陣的運算1矩陣的同型與相等設有矩陣，若，則說A與B是同型矩陣.若A與B同型,且對應元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為因而只有當兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等.2矩陣的加、減法設，是兩個同型矩陣則規(guī)定注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運算有相同的運算律.3數(shù)乘運算設，k為任一個數(shù)，則規(guī)定故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用

50、k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運算具有普通數(shù)的乘法所具有的運算律.4乘法運算設，則規(guī)定其中由此定義可知，只有當左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對應相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：不滿足交換律，即在時，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結合律，分配律及與數(shù)乘的結合律.5方陣的乘冪與多項式方陣設A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣6矩陣的轉置設A為一個矩陣，把A中行與列