自動(dòng)化實(shí)驗(yàn)倒立擺實(shí)驗(yàn)附仿真結(jié)果圖

1、一、 直線一級(jí)倒立擺的仿真(一) 直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)建模對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面我們采用其中的牛頓歐拉方法和拉格朗日方法分別建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。圖2 直線一級(jí)倒立擺模型 擺桿與垂直向上方向的夾角；擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）。圖3 小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：把這個(gè)等式代入式1中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)

2、運(yùn)動(dòng)方程：為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于 = + ,cos = cos ,sin = sin ，故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去 P 和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：設(shè) = +（ 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè) 與1（單位是弧度）相比很小，即 <<1，則可以進(jìn)行近似處理：。用u 來代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：對(duì)式9進(jìn)行拉普拉斯變換，得到注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度 ，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到：或 如果令v = x，則有：

3、把上式代入方程組的第二個(gè)方程，得到：整理后得到傳遞函數(shù)：其中 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：方程組對(duì)解代數(shù)方程，得到解如下：整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：設(shè)則有：實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:M 小車質(zhì)量 1.096 Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109 Kgb 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.2 5mI 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：(二) 倒立擺的PID調(diào)節(jié)：經(jīng)典控制理論的研究對(duì)象主要是

4、單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象的較精確模型。PID控制器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對(duì)系統(tǒng)建立精確的模型，在控制上應(yīng)用較廣。首先，對(duì)于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上的情況。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖如下：圖1 直線一級(jí)倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù), G(s)是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。 考慮到輸入r(s)=0，結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成：圖2 直線一級(jí)倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖該系統(tǒng)的輸出為：其中 num被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) den被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) numPIDPID控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) denPIDPID控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) 通

5、過分析上式就可以得到系統(tǒng)的各項(xiàng)性能。擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù)：PID控制器的傳遞函數(shù)為：需仔細(xì)調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，以得到滿意的控制效果。小車位置輸出為：通過對(duì)控制量v雙重積分即可以得到小車位置。由實(shí)際系統(tǒng)的物理模型：(三) simulink仿真在Simulink中建立如圖所示的直線一級(jí)倒立擺模型：其中Scope中的圖像為位移的響應(yīng)曲線，Scope1為角度的響應(yīng)曲線。PID參數(shù)的調(diào)節(jié)：首先確定比例環(huán)節(jié)，不考慮微分環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)，分別取三組數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果如下：圖（1） 圖（2） 圖（3）圖（1）的圖像不收斂，是由于比例調(diào)節(jié)系數(shù)取得不得當(dāng)，隨著比例系數(shù)的增大，從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)持

6、續(xù)振蕩，周期約為0.7s。為消除系統(tǒng)的振蕩，增加微分控制參數(shù)。下面探討環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，分別取，仿真響應(yīng)結(jié)果如下圖：圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）圖（1），系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間過長(zhǎng)，大約為4秒，且在兩個(gè)振蕩周期后才能穩(wěn)定，因此再增加微分控制參數(shù)，圖（2）的超調(diào)明顯減少，而到了圖（3），基本沒有是漸進(jìn)穩(wěn)定的，但是無論怎么調(diào)節(jié)，都存在穩(wěn)態(tài)誤差，因此，加入積分環(huán)節(jié)。為了探討積分環(huán)節(jié)的作用，去以下三組數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果如下：圖（1）圖（2）圖（3）由上圖可以看出，從上面仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但由于積分因素的影響，穩(wěn)定時(shí)間明顯增大。可以從Scope1看出， 由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，

7、所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會(huì)往一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。二、 直線一級(jí)順擺建模和實(shí)驗(yàn)(一) 直線一級(jí)順擺的數(shù)學(xué)建模直線一級(jí)倒立擺的擺桿在沒有外力作用下，會(huì)保持靜止下垂的狀態(tài)，當(dāng)受到外力作用后，擺桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和鐘擺類似，如果不存在摩擦力的作用，擺桿將持續(xù)擺動(dòng)，很多情況下，我們并不希望出現(xiàn)這種持續(xù)振蕩的情況，例如吊車在吊動(dòng)物體的時(shí)候，我們希望物體能過很快地停止到指定的位置。下面我們對(duì)直線一級(jí)順擺進(jìn)行建模分析，并對(duì)其進(jìn)行仿真和控制。同直線一級(jí)倒立擺的物理模型相似，可以采用牛頓力學(xué)和拉格朗日方法進(jìn)行建模和分析，對(duì)于牛頓力學(xué)方法，這里不再進(jìn)行分析和計(jì)算，讀者可以參考直線一級(jí)倒立擺的物理模

8、型對(duì)其進(jìn)行建模，下面采用拉格朗日方法對(duì)直線一級(jí)順擺進(jìn)行建模。和直線一級(jí)倒立擺相似，直線一級(jí)順擺也可以進(jìn)行根軌跡校正實(shí)驗(yàn)、頻率響應(yīng)校正實(shí)驗(yàn)和狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)驗(yàn)，以上實(shí)驗(yàn)請(qǐng)參照直線一級(jí)倒立擺的相關(guān)實(shí)驗(yàn)和直線一級(jí)順擺的 PID 控制實(shí)驗(yàn)進(jìn)行，對(duì)于直線一級(jí)順擺，我們只進(jìn)行 PID控制實(shí)驗(yàn)和LQR控制實(shí)驗(yàn)。圖1 ，順擺物理模型擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：因此以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：和一級(jí)倒立擺相同，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y數(shù)，所以系統(tǒng)可控，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定

9、。(二) 倒立擺的PID調(diào)節(jié)Simulink的PID仿真：首先確定比例環(huán)節(jié)，不考慮微分環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)，分別取三組數(shù)據(jù)，圖像依次如下：可以看出，在P控制器作用下，系統(tǒng)呈現(xiàn)等幅振蕩，需要給系統(tǒng)增加微分控制，設(shè)置PID參數(shù)為：，圖像如下：有圖可以看出，隨著微分系數(shù)的減小，穩(wěn)定時(shí)間延長(zhǎng)，振蕩減緩，但是始終存在穩(wěn)態(tài)誤差，因此，加入積分環(huán)節(jié)。分別取以下值，以確定積分系數(shù)，仿真圖像如下：從圖中可以看出，穩(wěn)態(tài)誤差已經(jīng)基本消除了。三、 倒立擺PID控制器仿真結(jié)果通過單一變量變化法對(duì)P，I，D每個(gè)參數(shù)的參數(shù)進(jìn)行了研究，得出結(jié)論如下：1. 比例調(diào)節(jié)器(P)：采用P調(diào)節(jié)器要選擇合適的比例帶參數(shù)。比例帶參數(shù)小時(shí)，系統(tǒng)已發(fā)生振蕩且穩(wěn)態(tài)誤差減小；參數(shù)大時(shí)，動(dòng)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差增大，但穩(wěn)定性提高。2. 比例積分環(huán)節(jié)（PI）：PI調(diào)節(jié)器兼顧了比例調(diào)節(jié)器和積分調(diào)節(jié)器的作用，其既具有比例調(diào)節(jié)器的快速穩(wěn)定特點(diǎn)，保證了調(diào)節(jié)過程不會(huì)出現(xiàn)過分振蕩；又具有積分調(diào)節(jié)器沒有穩(wěn)態(tài)誤差的優(yōu)點(diǎn)。3. 比例微分調(diào)節(jié)器（PD）：增加微分環(huán)節(jié)后，可起到超前調(diào)節(jié)作用，一旦偏差e出現(xiàn)變化趨勢(shì)，即可發(fā)揮調(diào)節(jié)作用，故可以減少調(diào)節(jié)過程中被調(diào)量得動(dòng)態(tài)偏差，同時(shí)減小了調(diào)節(jié)過程中的振蕩傾向。4. 比例積分微分調(diào)節(jié)器（