2023新教材數(shù)學(xué)高考第一輪專(zhuān)題練習(xí)--專(zhuān)題七等比數(shù)列

1、2023新高考數(shù)學(xué)第一輪專(zhuān)題練習(xí)7.3等比數(shù)列基礎(chǔ)篇固本夯基考點(diǎn)一等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.(2022屆河北唐山玉田一中摸底考試)已知an為等比數(shù)列,bn為等差數(shù)列,a2=b2=2,a10=b10=8,則a6+b6=()A.9B.1C.9或1D.以上都不對(duì)答案A2.(2022屆遼寧渤海大學(xué)附中考試)已知遞增等比數(shù)列an中,a2+a5=18,a3a4=32,若an=128,則n=()A.5B.6C.7D.8答案D3.(多選)(2022屆湖北新高考聯(lián)考協(xié)作體考試,9)已知等比數(shù)列an的公比為q,前4項(xiàng)的和為a1+14,且a2,a3+1,a4成等差數(shù)列,則q的值可能為()A.12B.1C.2D.3答案

2、AC4.(2020課標(biāo)理,6,5分)數(shù)列an中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,則k=()A.2B.3C.4D.5答案C5.(2020課標(biāo)文,6,5分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則Snan=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1答案B6.(2019課標(biāo),文6,理5,5分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16B.8C.4D.2答案C7.(多選)(2021廣東揭陽(yáng)4月聯(lián)考,10)已知等比數(shù)列an的公比為q,且a5=1,則下列選項(xiàng)

3、正確的是()A.a3+a72B.a4+a62C.a7-2a6+10D.a3-2a4-10答案AC8.(2019課標(biāo)理,14,5分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1=13,a42=a6,則S5=. 答案12139.(2022屆遼寧六校期初聯(lián)考,19)已知數(shù)列an是公比不為1的等比數(shù)列,且a3+a4=12,3a1,2a2,a3成等差數(shù)列.(1)求an;(2)設(shè)bn=n,n為奇數(shù),an,n為偶數(shù),求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)的和S2n.解析(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q1),因?yàn)?a1,2a2,a3成等差數(shù)列,所以3a1+a3=4a2,所以3a1+a1q2=4a1q,即q2-4q+3=0,解

4、得q=3或q=1(舍去).又a3+a4=12,即a1q2+a1q3=12,解得a1=13,所以an=a1qn-1=3n-2.(2)由(1)可得bn=n,n為奇數(shù),3n2,n為偶數(shù),所以S2n=1+30+3+32+5+34+(2n-1)+32n-2=1+3+5+(2n-1)+(30+32+34+32n-2)=1+(2n1)·n2+30(132n)132=n2+32n18.10.(2022屆河北開(kāi)學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列an,bn滿(mǎn)足a1=-2b1=4,且an是公差為1的等差數(shù)列,an+bn是公比為2的等比數(shù)列.(1)求an,bn的通項(xiàng)公式;(2)求|bn|的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)因?yàn)閍n是公

5、差為1的等差數(shù)列,a1=4,所以an=n+3.由題得b1=-2,所以a1+b1=2,又an+bn是公比為2的等比數(shù)列,所以an+bn=2n,故bn=2n-an=2n-n-3.(2)由(1)知bn=2n-n-3,所以bn為遞增數(shù)列,又b1=-2,b2=-1,b3=2,故當(dāng)n3時(shí),恒有bn>0,故|bn|=n+32n,1n2,2nn3,n3.記bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=(21+22+2n)-(4+5+n+3)=2·(12n)12-n(n+7)2=2n+1-n2+7n+42.當(dāng)1n2時(shí),Tn=-Sn=-2n+1+n2+7n+42,當(dāng)n3時(shí),Tn=-b1-b2+b3+b4+bn=-

6、S2+Sn-S2=Sn-2S2=2n+1-n2+7n82.綜上,Tn=2n+1+n2+7n+42,1n2,2n+1n2+7n82,n3.11.(2021遼寧開(kāi)原三模,18)給出以下三個(gè)條件:4a3,3a4,2a5成等差數(shù)列;nN*,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=2x-a的圖象上,其中a為常數(shù);S3=7.請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整,并求解.設(shè)an是一個(gè)公比為q(q>0,且q1)的等比數(shù)列,且它的首項(xiàng)a1=1,. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=2log2an+1(nN*),證明:數(shù)列1bnbn+1的前n項(xiàng)和Tn<12.解析(1)選.因?yàn)?a3,3a4

7、,2a5成等差數(shù)列,所以6a4=4a3+2a5,即6a3·q=4a3+2a3q2,解得q=1(舍)或q=2,所以an=2n-1.選.由題意得Sn=2n-a,因?yàn)閍1=S1=2-a=1,所以a=1,所以Sn=2n-1,當(dāng)n2時(shí),Sn-1=2n-1-1,則an=Sn-Sn-1=2n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=1,符合上式,所以an=2n-1.選.由S3=7,得a1+a2+a3=7,即a1+a1·q+a1·q2=7,解得q=2或q=-3,又因?yàn)閝>0,所以q=2,所以an=2n-1.(2)證明:bn=2log22n-1+1=2n-1,nN*,則1bnbn+1=1(2n

8、1)(2n+1)=1212n112n+1,所以Tn=12113+1315+12n112n+1=12112n+1,因?yàn)閚N*,所以1-12n+1<1,所以Tn<12,得證.12.(2020新高考,18,12分)已知公比大于1的等比數(shù)列an滿(mǎn)足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)(新高考)記bm為an在區(qū)間(0,m(mN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列bm的前100項(xiàng)和S100.(新高考)求a1a2-a2a3+(-1)n-1anan+1.解析(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q1=12(舍去),q2=2.由題設(shè)得a1=2.所以an的

9、通項(xiàng)公式為an=2n.(2)(新高考)由題設(shè)及(1)知b1=0,且當(dāng)2nm<2n+1時(shí),bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.(新高考)a1a2-a2a3+(-1)n-1anan+1=23-25+27-29+(-1)n-1·22n+1=231(22)n1(22)=85-(-1)n22n+35.13.(2020課標(biāo)文,17,12分)設(shè)等比數(shù)列an滿(mǎn)

10、足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為數(shù)列l(wèi)og3an的前n項(xiàng)和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.解析(1)設(shè)an的公比為q,則an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a1q2a1=8.解得a1=1,q=3.所以an的通項(xiàng)公式為an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1.故Sn=n(n1)2.由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去)或m=6.考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)1.(2022屆濟(jì)南歷城二中調(diào)研)在等比數(shù)列an中,a2=-1,a6=-4,則a3a4a5=()A.-8

11、B.8C.±8D.16答案A2.(2021全國(guó)甲理,7,5分)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲:q>0,乙:Sn是遞增數(shù)列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案B3.(2020課標(biāo)文,10,5分)設(shè)an是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.32答案D4.(多選)(2021江蘇七市第二次調(diào)研,9)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,下列結(jié)論正確的為()A.若a1a2>0,則a2a3>0B.若a1

12、+a3<0,則a1+a2<0C.若a2>a1>0,則a1+a3>2a2D.若a1a2<0,則(a2-a1)(a2-a3)<0答案AC5.(多選)(2021重慶一模,12)已知數(shù)列an和各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn滿(mǎn)足:i=1n(ai+i)=2bn-2,b1=2,b2+b3是b3與b4的等差中項(xiàng),數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論正確的是()A.數(shù)列an-bn是等差數(shù)列B.Sn=2n+1-2-n(n+1)2C.數(shù)列an是遞增數(shù)列D.i=1n1ai<211bn答案ABC綜合篇知能轉(zhuǎn)換A組考法等比數(shù)列的判定與證明1.(2022屆廣州調(diào)研)已知數(shù)列an滿(mǎn)

13、足an+12=anan+2(nN*),若a3=1,a7=4,則a5=()A.±2B.-2C.2D.8答案C2.(多選)(2022屆河北秦皇島青龍8月測(cè)試,11)在公比為q的等比數(shù)列an中,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1=1,a5=27a2,則下列說(shuō)法正確的是()A.q=3B.數(shù)列Sn+2不是等比數(shù)列C.S5=120D.2lg an=lg an-2+lg an+2(n3)答案ABD3.(多選)(2021長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)月考(一)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=p,2Sn-Sn-1=2p(n2,p為非零常數(shù)),則下列結(jié)論中正確的是()A.數(shù)列an為等比數(shù)列B.當(dāng)p=1時(shí),S4=151

14、6C.當(dāng)p=12時(shí),aman=am+n(m,nN*)D.|a3|+|a8|=|a5|+|a6|答案AC4.(多選)(2022屆重慶西南大學(xué)附中開(kāi)學(xué)考,11)“內(nèi)卷”是指一類(lèi)文化模式達(dá)到最終的形態(tài)以后,既沒(méi)有辦法穩(wěn)定下來(lái),也沒(méi)有辦法轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男螒B(tài),而只能不斷地在內(nèi)部變得更加復(fù)雜的現(xiàn)象.熱愛(ài)數(shù)學(xué)的小明由此想到了數(shù)學(xué)中的螺旋線(xiàn).連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線(xiàn)的美麗圖案,具體作法是在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,作它的內(nèi)接正方形EFGH,且使得BEF=15°再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ,且使得FMN=15°依此進(jìn)行下去,就形成了陰影部分的圖案,如圖所示.設(shè)第

15、n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an(其中第1個(gè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a1=AB,第2個(gè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a2=EF,),第n個(gè)直角三角形(陰影部分)的面積為Sn(其中第1個(gè)直角三角形AEH的面積為S1,第2個(gè)直角三角形EQM的面積為S2,),則()A.數(shù)列an是公比為23的等比數(shù)列B.S1=112C.數(shù)列an是公比為49的等比數(shù)列D.數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn<14答案BD5.(2022屆山東臨沂平邑一中收心考)已知an是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列,該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An,最小值記為Bn,令bn=AnBn.(1)若an=2n(n=1,2,3,),寫(xiě)出b1,b2,b3的值;(2)證明:bn+1bn(

16、n=1,2,3,);(3)若bn是等比數(shù)列,證明:存在正整數(shù)n0,當(dāng)nn0時(shí),an,an+1,an+2,是等比數(shù)列.解析(1)an=2n(n=1,2,3,),An=2n,Bn=2,bn=AnBn=n,b1=1,b2=2,b3=3.(2)證明:由題意知An+1An>0,0<Bn+1Bn,An+1BnAnBn+1,即An+1Bn+1AnBn,bn+1bn.(3)證明:由已知得b1=A1B1=a1a1=1,bn+1bn.當(dāng)bn+1=bn時(shí),得bn=1,即AnBn=1,An=Bn.an=a1,an是公比為1的等比數(shù)列.當(dāng)bn+1>bn時(shí),令at=mina1,a2,an,則Bm=at(

17、mt).當(dāng)nt時(shí),顯然An+1>An.若an+1An,則An+1=An,與An+1>An矛盾,所以an+1>Anan,即An+1=an+1.取n0=t+1,當(dāng)nn0時(shí),bn=AnBn=anat,顯然an,an+1,an+2,是等比數(shù)列.綜上,存在正整數(shù)n0,使得nn0時(shí),an,an+1,an+2,是等比數(shù)列.6.(2022屆重慶西南大學(xué)附中開(kāi)學(xué)考試,19)在數(shù)列an中,已知a1=2,an+1an=2an-an+1(nN*).(1)證明:數(shù)列1an1為等比數(shù)列;(2)記bn=anan+12n,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn>1.999成立的整數(shù)n的最小值.解析(1)

18、證明:由an+1an=2an-an+1,得an+1=2anan+1,從而1an+1=an+12an=12an+12,1an+1-1=12an-12=121an1.又1a1-1=-120,故數(shù)列1an1是首項(xiàng)為-12,公比為12的等比數(shù)列.(2)由(1)得1an-1=-12·12n1=-12n,故an=2n 2n1,bn=anan+12n=2n+1(2n1)(2n+11)=212n112n+11,Sn=2×12111221+12211231+12n112n+11=2-22n+11,令2-22n+11>1.999,則2n+1>2 001,又210<2 001&

19、lt;211,nN*,n+111才能使2n+1>2 001成立,即n10時(shí),Sn>1.999成立,故使得Sn>1.999成立的整數(shù)n的最小值為10.7.(2022屆湖湘教育三新探索協(xié)作體期中)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an+1=2an+1.(1)證明an+1是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列an落入?yún)^(qū)間(10,2 021)的所有項(xiàng)的和.解析(1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1),an+1是公比為2的等比數(shù)列,又a1+1=2,an+1=2n.an=2n-1.(2)令10<2n-1<2 021,nN*,n可取4,5,6,7,8,9,10,a

20、4+a5+a9+a10=(24-1)+(25-1)+(210-1)=24×(127)12-7×1=211-23=2 025.8.(2022屆廣東汕頭金山中學(xué)期中)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+r,其中r為常數(shù).(1)求r的值;(2)設(shè)bn=2(1+log2an),若數(shù)列bn中去掉數(shù)列an的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成數(shù)列cn,求c1+c2+c3+c100的值.解析(1)因?yàn)镾n=2n+r,所以當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2+r,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1.因?yàn)閍n是等比數(shù)列,所以2+r=21-1,解得r=-1.(2)由(1)可知an

21、=2n-1(nN*),所以bn=2(1+log2an)=2n,因?yàn)閍1=1,a2=2=b1,a3=4=b2,a4=8=b4,a5=16=b8,a6=32=b16,a7=64=b32,a8=128=b64,a9=256=b128,所以c1+c2+c3+c100=(b1+b2+b3+b107)-(a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)=107×(2+2×107)2-254=11 302.9.(2021八省聯(lián)考,17)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿(mǎn)足an+2=2an+1+3an.(1)證明:數(shù)列an+an+1為等比數(shù)列;(2)若a1=12,a2=32,求an的通項(xiàng)公式.解析(1

22、)證明:數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且an+2=2an+1+3an,an+2+an+1=3(an+1+an),an+an+1是以a1+a2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.(2)a1=12,a2=32,a1+a2=2,又an+1+an是公比為3的等比數(shù)列,an+an+1=2·3n-1,an+1=-an+2·3n-1,兩邊同除以3n+1可得,an+13n+1=-13·an3n+29,令cn=an3n,得cn+1=-13cn+29,cn+1-16=-13cn16,又c1-16=a131-16=0,數(shù)列cn16為常數(shù)列,即cn-16=0,cn=16,即an3n=16,an=16·3n.10.(2022屆河北滄州十五校摸底,18)數(shù)列an對(duì)于任意nN*,滿(mǎn)足(4+an)(2-an+1)=8,且a1=2.(1)求an;(2)若bn=2nanan+1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)由(4+an)(2-an+1)=8,得8-4an+1+2an-anan+1=8,2an-4an+1=anan+1,即2an+1-4an=1,2an+1=4an+1,2an+1+1=22an+1,a1=