高等數(shù)學(xué)B第七章

1、講授內(nèi)容 §7.1空間直角坐標(biāo)系§7.2向量代數(shù)教學(xué)目的與要求：1、 理解空間直角坐標(biāo)系、向量、向量的模、方向角、方向余弦及向量的投影、數(shù)量積、向量積的概念。2、 掌握向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積、向量積的運(yùn)算，掌握兩向量平行、垂直的充要條件。3、 熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式，及數(shù)量積、向量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)求向量的模、方向角、方向余弦。教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積、向量積的運(yùn)算，向量的方向余弦。 難點(diǎn)向量在軸上的投影。教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：向量的方向余弦在以后經(jīng)常用到，應(yīng)該讓學(xué)生熟練掌握。配合圖形講解。 學(xué)時(shí)：4學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程一、空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸:x軸(橫軸),y

2、軸(縱軸), z軸(豎軸)以O(shè)為原點(diǎn),兩兩垂直.三軸的單位向量依次為 i, j, k.構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系Oxyz或O,i,j,k,正向符合右手規(guī)則.坐標(biāo)面:任意兩條坐標(biāo)軸確定的平面.xOy平面; xOz平面; yOz平面.卦限:坐標(biāo)平面將空間劃分的每一個(gè)部分稱為一個(gè)卦限.1 / 55 二、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）為空間兩點(diǎn)，為了用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表達(dá)它們間的距離d，我們過(guò)M1，M2各作三個(gè)分別垂直于三條坐標(biāo)軸的平面.這六個(gè)平面圍成一個(gè)以M1，M2為對(duì)角線的長(zhǎng)方體（圖7-4）.根據(jù)勾股定理，有圖7-4M1M22M1N2NM22M1P2M1Q2M1R2.由于

3、M1PP1P2x2x1,M1QQ1Q2y2y1,M1RR1R2z2z1,所以dM1M2，這就是兩點(diǎn)間的距離公式.特別地，點(diǎn)M（x,y,z）與坐標(biāo)原點(diǎn)O（0,0,0）的距離為dOM。三、向量概念向量:既有大小又有方向的量.向量在數(shù)學(xué)上的表示:有向線段AB表示以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量. 其中| AB| 表示向量的大小;有向線段的方向表示向量方向或者表示為:a、b、c 或者 、等.自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.向量a=bÛ大小相等、方向相同.向量的模:向量的大小.單位向量:模等于1的向量.逆向量： 與向量a模相等而方向相反的向量稱為a的逆向量，記為-a零向量:模等于0的向量,記作0,或者,

4、起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,方向任意.向量ab: 兩個(gè)非零向量的方向相同或相反.零向量與任意向量平行.兩向量共線: 兩向量平行時(shí),當(dāng)將起點(diǎn)放在一起時(shí),終點(diǎn)在同一直線上;k個(gè)向量共面: k個(gè)向量起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí),起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一平面上.四、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法設(shè)有向量a與b,任取一點(diǎn)A,作AB=a,再以B為終點(diǎn),作BC=b,連接AC,則AC=c,稱為a與b的和,記作c=a+b.三角形法則平行四邊形法則加法的運(yùn)算規(guī)律i. 交換律a+b=b+aii. 結(jié)合律(a+b)+c= a+(b+c)(結(jié)合律示意圖)(s=a1+a2+a3+a4+a5示意圖)2.向量的減法a的負(fù)向量:與a的模相同,方向相反的向量.記

5、作 a .ab a+(- b)任給向量AB及點(diǎn)O,有:AB=AO+OB=OB-OA.三角形原理:| a+b | a |+| b |;| a b | a |+| b |;3.向量與數(shù)的乘法向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作a,規(guī)定a是一個(gè)向量,其模為:|a|=|a|,其方向?yàn)?當(dāng)>0時(shí) 與a相同,當(dāng)<0時(shí) 與a相反.運(yùn)算規(guī)律:a) 結(jié)合律:(a)=(a)=()a.b) 分配律:(+)a=a+a;(a+b)=a+b.向量的線性運(yùn)算:向量相加及數(shù)乘向量4.兩向量平行的充分必要條件定理:設(shè)向量a0,則向量ba Û$| ÎR: 使b=a.證明:充分性顯然(必要性) 設(shè)ba.取|=|b

6、|/|a|,且規(guī)定:b與a同向時(shí),>0;b與a反向時(shí),<0.則有:b=a.唯一性 設(shè)b=a ,b=a ,則()a=0Þ|a|=0因|a|0,Þ=5.向量a的單位向量ea: ea=a/|a|.6.數(shù)軸Ox上的點(diǎn)P,向量OP與實(shí)數(shù)x的關(guān)系:數(shù)軸Ox: 原點(diǎn)O ,單位向量i.點(diǎn)P向量OP=xi實(shí)數(shù)x.點(diǎn)P的坐標(biāo)為xÛOP =xi.例1. 在平行四邊形ABCD中,設(shè)AB=a,AD=b.試用a和b表示向量MA, MB, MC, MD,這里M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn).解: MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2;MC=-MA=(a+b)/2;MB=(1/2)DB

7、=(a-b)/2;MD=-MB=(b-a)/2向量的坐標(biāo)分解式:給定向量r,對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,使OM=r.則r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR設(shè)OP=xi; OQ=yj;OR=zk.則r =OM=xi+yj+zk.稱為r的坐標(biāo)分解式.空間點(diǎn)M,向量r = OM與有序數(shù)組(x,y,z)的關(guān)系:M r =OM=xi+yj+zk (x,y,z)稱(x,y,z)為點(diǎn)M的坐標(biāo).記為M(x,y,z).向經(jīng):向量OM稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向經(jīng).點(diǎn)與此點(diǎn)的向經(jīng)有相同的坐標(biāo). (x,y,z)既表示點(diǎn)M,又表示向量OM.坐標(biāo)軸及坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征:x軸:(x,0,0); y軸:(0,y,0); z軸:(0,0

8、,z).xoy面:(x,y,0);yoz面:(0,y,z);xoz面:(x,0,z).原點(diǎn):(0,0,0).五、利用坐標(biāo)作向量的運(yùn)算設(shè)a =(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)Þa =axi+ayj+azk , b = bxi+byj+bzk,則a+b =( ax+ bx )i+(ay+by)j+(az+bz)ka-b =( ax-bx )i+(ay-by)j+(az-bz)ka =(ax)i+(ay)j+(az)k向量平行充分必要條件:設(shè):a=(ax,ay,az)0, b=(bx,by,bz)ba Û b=a Û (bx,by,bz)= (ax,ay,

9、az)Û 例2. 已知點(diǎn)A(x1,y1,z1)、點(diǎn)B(x2,y2,z2)和實(shí)數(shù)-1,在直線AB上求點(diǎn)M,使AM=MB. 解:AM=OM-OA ,MB=OB-OM,OM-OA=(OB-OM)ÞOM=(OA+OB)=(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)Þ OM=(,)Þ 此為點(diǎn)M的坐標(biāo).此為定比分點(diǎn)公式.當(dāng)=1時(shí),為中點(diǎn)公式.六、 向量的模、方向角、投影1.向量的模設(shè)向量r=(x,y,z),作OM=r,則r=OM=OP+OQ+OR| r |=|OM|=OP=xi, OQ=yj,OR=zk|OP|=|x|, |OQ|=|y|,|OR|=|z| | r |

10、= 例3. 求證:以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.解:|M1M2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;|M1M3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;|M2M3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6例4. 在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4,1,7)、B(3,5,-2)等距離的點(diǎn).解:設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,z),則有:|MA|2=|MB|2Þ(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2,Þz=19=4/9所求點(diǎn)為:(0,0,14/9)例

11、5. 求點(diǎn)A(a,b,c)關(guān)于(1)各坐標(biāo)軸;(2)各坐標(biāo)面;(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).解:(1)關(guān)于x軸:(a,-b,-c); 關(guān)于y軸:(-a,b,-c); 關(guān)于z軸:(-a,-b,c);(2) 關(guān)于xoy面:(a,b,-c); 關(guān)于xoz面:(a,-b,c); 關(guān)于yoz面:(-a,b,c);(3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn):(-a,-b,-c)例6. 已知兩點(diǎn)A(4,0,5)和點(diǎn)B(7,1,3),求與AB方向相同的單位向量.解:AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)= (3,1,-2)Þ |AB|=Þ eAB=(3,1,-2)2.方向角與方向余弦兩向量的夾角:設(shè)有非

12、零向量a,b,任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,稱不超過(guò)的角=AOB為向量a,b的夾角.記為(ab)或(ba).向量的方向角:非零向量r=OM與三條坐標(biāo)軸的夾角, , (0,)稱為向量r的方向角.向量的方向余弦設(shè)r =(x,y, z)由圖可知,OP=xi,Þcos=;同理:cos=; cos=Þ(cos,cos,cos)=( ,)=( x,y, z)=er.cos,cos,cos叫做r的方向余弦.|r|=Þcos=;cos=;cos=性質(zhì):cos2+cos2+cos2=1 例7. 已知兩點(diǎn)M1(2,2,)和M2(1,3,0),求向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

13、解: M1M2=(1-2,3-2,0-)=(-1,1,-).|M1M2|=2cos=-1/2,cos=1/2,cos=-/2=2/3,=/3,=3/4例8. 設(shè)點(diǎn)A位于第卦限,向經(jīng)OA與x軸,y軸的夾角依次為/3和/4,且|OA|=6,求點(diǎn)A的坐標(biāo).解:=/3; =/4由cos2+cos2+cos2=1Þcos2=1/4又點(diǎn)A在第卦限,Þcos=1/2.OA=|OA|eOA=6 (,)=(3,3,3)此為點(diǎn)A的坐標(biāo).3.向量在軸上的投影設(shè)點(diǎn)O及單位向量e確定軸u(相當(dāng)于坐標(biāo)軸).給定向量r,作r=OM,過(guò)點(diǎn)M作與軸u垂直的平面交軸u于點(diǎn)M,(點(diǎn)M稱為點(diǎn)M在軸u上的投影)向量

14、OM稱為向量r在軸u上的投影,記為prjur(或(r)u.由此向量a在坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)ax,ay,az為a在三條坐標(biāo)軸上的投影.即有:Þax=Prjxa,ay= Prjya,az= Prjza,或ax=(a)x,ay=(a)y,az=(a)z向量投影的性質(zhì):向量的投影具有于向量坐標(biāo)相同的性質(zhì):性質(zhì)1：(a)u=|a|cos 或 Prjua=|a|cos 其中為a與軸u的夾角.性質(zhì)2:(a+b)u=(a)u+(b)u 或 Prju(a+b)=Prjua+Prjub Prju(a1+a2+an)=Prjua1+Prjua2+ Prjuan.性質(zhì)3:(a)u=(a)u或 Prju(a

15、)=Prjua例9. 設(shè)向量a=(4,3,2),又軸u的正向與三條坐標(biāo)軸的正向構(gòu)成相等銳角,試求(1)向量a在u軸上的投影;(2)向量a與u軸的夾角.解:設(shè)eu的方向余弦為cos,cos,cos.則由題義有:0<=</2.由cos2+cos2+cos2=1,得: cos=cos=cos=/3.eu=/3i+/3j+/3k. a=4i-3j+2k.Prjua= Prju(4i)+ Prju(-3j)+ Prju(2k)=4Prjui-3Prjuj+ 2Prjuk=4/3-3/3+2/3=. 由于Prjua=|a|cos=cos=,Þ =arccos/.例10. 設(shè)立方體的一

16、條對(duì)角線為OM,一條棱為OA,且|OA|=a,求OA在OM上的投影PrjOMOA.解:設(shè)=MOA,則=Þ PrjOMOA=|OA|cos=七、兩向量的數(shù)量積1. 向量a,b的數(shù)量積:ab |a|b|cos. =(ab)當(dāng)a0時(shí),|b|cos=|b|cos(ab)= |b|Prjab Þab=|a|Prj ab (a0),同理ab=|b|Prj ba(b0)性質(zhì):(1) aa=|a|2(2) ab=0Ûab 2. 運(yùn)算規(guī)律(1) 交換律:ab = ba(2) 分配律:(a+b)c = ac+bc(3) 結(jié)合律:(a)b=(ab)=a(b)(a)(b)=a(b)= (

17、ab)= (ab)證明:(1) ab = |a|b|cos; ba = |a|b|cos;Þ ab = ba(2)當(dāng)c=0時(shí),顯然成立.當(dāng)c0時(shí),(a+b)c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|Prjcb= ac+bc(3)當(dāng)b=0時(shí),結(jié)論成立.當(dāng)b0時(shí),(a)b=|b|Prjb(a)= |b|Prjba =|b|Prjba=(ab)=a(b).(a)(b)=a(b)= (ab)= (ab)例11. 試用向量證明三角形的余弦定理.證明:設(shè)在ABC中,B C A=,|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c記CB=a, CA=b, AB=

18、c. Þ c=a-bÞ c2=|c|2=cc=(a-b)(a-b)=aa+bb-2abÞ c2=|a|2+|b|2-2|a|b|cos=a2+b2-2abcos3. 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)a=axi+ayj+azk , b= bxi+byj+bzk則ab =(axi+ayj+azk)( bxi+byj+bzk)= ax bx+ ayby+az bz從而cos=例12. 已知三點(diǎn)M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.解:作MA,MB, AMB為MA與MB的夾角ÞMA=(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0);MB=(2,1,2

19、)-(1,1,1)=(1,0,1)MAMB=1´1+1´0+0´1=1;|MA|=;|MB|=cosAMB=ÞAMB=/3.例13. 已知a,b,c,兩兩垂直,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求s=a+b+c的長(zhǎng)度與它和a,b,c的夾角.解:|s|2 =s s=(a+b+c)(a+b+c)=aa+bb+cc+2ab+2bc+2ac由于:aa=|a|2=1,bb=|b|2=4,cc=|c|2=9; ab=bc=ac=0Þ|s|2=14,Þ|s|=cos(sa)= =1/.Þ (sa)=arcos(1/);同理:(sb)=

20、 (sc) =accos(1/)例14. 設(shè)a,b,c為單位向量,且滿足a+b+c=0,求ab+bc+ca.解: (a+b+c) a=a2+ba+ca=1+ab+ca;(a+b+c) b=ab+b2+cb=1+ab+bc;(a+b+c) c=ac+bc+c2=1+ca+bc;三式相加:Þ 3+2ab+bc+ca= (a+b+c) (a+b+c)=0Þ ab+bc+ca=-3/2.例15. 利用向量證明不等式:|a1b1+ a2b2+ a3b3|其中a1,a2,a3,b1,b2,b3為任意常數(shù),并指出等號(hào)成立的條件.證明:設(shè)a=( a1,a2,a3),b=( b1,b2,b3

21、)cos(a b)= =Þ|a1b1+ a2b2+ a3b3|等號(hào)“=”成立Ûa /b例16. 有一個(gè)ABC和一個(gè)圓,三角形邊長(zhǎng)BC=a,CA=b,AB=c,圓的中心為A,半徑為r.引圓的直徑PQ,試求當(dāng)BPCQ取得最大、最小時(shí)PQ的方向,并用a,b,c,r表示BPCQ的最大值、最小值. 解:AQ=-AP,|AP|=|AQ|=r,ABAC=|AB|AC|cosA=bc(b2+c2-a2)/2bc=( b2+c2-a2)/2ÞBPCQ=(APAB)(AQAC) =(APAB)(APAC)=|AP|2+(ABAC)AP+ABAC=( b2+c2-a2)/2r2+CBA

22、P=( b2+c2-a2)/2r2+BCPAÞ當(dāng)BCPA最大(小)時(shí),BPCQ最大(小).Þ 當(dāng)BCPA同向即PQ與BC同向時(shí),BCPA最大,其最大值是ar.Þ當(dāng)BCPA反向即PQ與BC反向時(shí),BCPA最小,其最小值是-ar.ÞPQ與BC同向時(shí),max BPCQ=( b2+c2-a2)/2-r2+ar;PQ與BC反向時(shí),min BPCQ=( b2+c2-a2)/2-r2-ar八、兩向量的向量積1. 定義:a×b = c, c稱為a與b的向量積.其中,iii. |c|=|a|b|sin,=(ab) iv. c的方向垂直于a,b所決定的平面,其指向

23、按右手從a轉(zhuǎn)向b確定.性質(zhì):由定義可得:(1) a×a=0(2) ab Û a×b=0 幾何意義: | a×b |為以a,b為邊的平行四邊形的面積.2.運(yùn)算律:v. a×b= - b×avi. 分配律:(ab)×c=a×c+b×cc×(ab)=c×a+c×bvii. 結(jié)合律: (a)×b=a×(b)=(a×b)3.向量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)a = axi+ayj+azk , b = bxi+byj+bzk則a×b =(axi+ayj+azk)

24、×( bxi+byj+bzk)=(aybz- azby)i+(az bx-ax bz)j+ (axby-aybx)ka×b=i-j+k =例17. 設(shè)a=(2,1,-1),b=(1,-1,2),計(jì)算 a×b.解: a×b=i-j+k=i-5j-3k.例18. 已知ABC的頂點(diǎn)分別是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7),求ABC的面積.解:SABC=|AB|AC|sinA=|AB´AC|AB=(3,4,5)-(1,2,3)=(2,2,2,),AC=(2,4,7)-(1,2,3)=(1,2,4).SABC=|AB´AC|=

25、i-j+k=4i-6j+2k.例19. 利用向量積證明三角形的正弦定理.證明：如圖Sabc=1/2|a×b|=1/2|b×c|=1/2|c×a| Þ |a|b|sinC=|b|c|sinA=|c|a|sinB例20. 已知M1(1,-1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3),求與M1M2,M2M3同時(shí)垂直的單位向量.解: M1M2=(3,3,1)-(1,-1,2)=(2,4,-1),M2M3=(3,1,3)-(3,3,1)=(0,-2,2);與M1M2,M2M3同時(shí)垂直的一個(gè)向量為:a=M1M2´M2M3=i-j+k =6i-4j-

26、4k.|a|=2Þa =±(3i-2j-2k)作業(yè)： P42 7，9，13（1）（3），P43 28，31教學(xué)后記：復(fù)習(xí)思考題：向量的數(shù)量積和向量積在運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律方面的區(qū)別講授內(nèi)容 §7.3 平面與直線教學(xué)目的與要求：1、掌握平面的點(diǎn)法式、一般式、截距式方程,會(huì)根據(jù)相應(yīng)條件求平面的方程。2、掌握兩平面夾角的概念與求法，掌握兩平面平行、垂直的充分必要條件。3、掌握點(diǎn)到平面的距離公式，會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。4、掌握空間直線的一般方程、對(duì)稱式方程和參數(shù)方程5、理解兩直線夾角的概念，會(huì)求兩直線的夾角。6、掌握兩直線平行垂直的充分必要條件。7、理解直線與平面夾角的概念，掌握

27、直線與平面垂直平行的充分必要條件教學(xué)重難點(diǎn)： 1、根據(jù)條件求平面的方程。2、會(huì)根據(jù)兩平面平行，垂直的充分必要條件判斷平面的平行、垂直。3、兩直線平行與垂直的充要條件，直線與平面平行與垂直的充分必要條件。教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：平面束方程的解題方法，在求平面、直線方程中有時(shí)很有意義，可多舉例說(shuō)明。學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程一、平面的點(diǎn)法式方程1. 法線向量:與平面垂直的非零向量.2. 平面的點(diǎn)法式方程設(shè)M0(x0,y0,z0)是平面上的已知點(diǎn),n=(A,B,C)是平面的法線向量,M(x,y,z)是平面上的任一點(diǎn).則有nM0 M=0.由于n=(A,B,C) ;M0M=( xx0,yy0,zz0)即有A

28、(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0此為平面的點(diǎn)法式方程.例1. 求過(guò)點(diǎn)(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)為法線向量的平面方程.解:代入方程得:(x-2)-2(y+3)+3(z-0)=0Þx-2y+3z-8=0例2. 求過(guò)三點(diǎn)M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)、M3(0,2,3)的平面方程.解:由于nM1M2×M1M3=14i+9j-k則所求平面方程為Þ14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0Þ14x+9y-z-15=0二、平面的一般方程3. 平面的一般方程為 Ax+By+Cz+D=0 其中n=(A,B,C)為法向量4. 各種特

29、殊情形a) D=0,平面Ax+By+Cz=0經(jīng)過(guò)原點(diǎn);b) A=0,平面By+Cz+D=0平行于x軸;c) B=0,平面Ax+Cz+D=0平行于y軸;d) C=0,平面Ax+By+D=0平行于z軸;e) A=B=0,平面Cz+D=0平行于xoy平面;f) A=C=0,平面By+D=0平行于 xoz平面;g) B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.例3. 求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面方程.解:平面經(jīng)過(guò)x軸,則法向量在x軸上的投影為0,ÞA=0;平面經(jīng)過(guò)x軸,則平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn),ÞD=0;故可設(shè)平面方程為:By+Cz=0,又平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,-3,-1),Þ

30、;-3B-C=0,或C=-3B.代入有y-3z=0.例4. 設(shè)一平面與x,y,z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三點(diǎn),求此平面的方程.(其中a0,b0,c0)解:設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0代入P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)得A=-D/a,B=-D/b,C=-D/c,代入方程并消去D得平面方程:此方程稱為平面的截距式方程,a,b,c依次稱為平面在x,y,z軸上的截距.三、兩平面的夾角5. 兩平面的夾角:兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角).設(shè)平面1和2的法線向量依次為:n1=(A1,B1,C1) n2=(A2,B2,C2)則平面1

31、和2的夾角為(n1n2)和-(n1n2)中的銳角,Þcos=|cos(n1n2)|,即有: 平面1和2垂直Û A1A2+B1B2+C1C1=0平面1和2平行Û A1/A2=B1/B2=C1/C16. 兩平面垂直、平行的充分必要條件例5. 求兩平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夾角.解: n1=(1,-1,2) n2=(2,1,1)Þ cos=Þ =/3例6. 一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:設(shè)所求平面的一個(gè)法向量為n=A,B,C.由nM1M2=(-1,0,-2)&#

32、222;-A-2C=0由n(1,1,1)ÞA+B+C=0ÞA=-2C,B=C,代入點(diǎn)法式方程:A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0消去C得所求方程為:2x-y-z=07. 點(diǎn)到平面的距離例7. 設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn),求P0到這平面的距離.解:在平面上任取一點(diǎn)P1(x1,y1,z1),并作一法向量n=A,B,C.則所求距離:d=PrjnP1P0.又設(shè)en為與n方向一致的單位向量,則有:PrjnP1P0= P1P0en而en=(,)P1P0=(x0x1,y0y1,z0z1)由于:Ax1+By1+Cz1+D=0,所以:PrjnP1

33、P0=即:例8. 求點(diǎn)(2,1,1)到平面x+yz+1=0的距離解:d=四、空間直線的方程1、空間直線的一般方程定義:方程組叫做空間直線的一般方程或面交式方程.2、空間直線的對(duì)稱式方程1）方向向量:與已知直線平行的非零向量.2）直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程:設(shè)M0(x0,y0,z0)為直線L上的已知點(diǎn), M(x,y,z)為直線L上的任一點(diǎn).s=(m,n,p)為L(zhǎng)的方向向量.由于M0Ms,即有: 此方程稱為直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程直線L的任一方向向量s的坐標(biāo)m,n,p稱為這直線的一組方向數(shù),而向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦.注:當(dāng)m,n,p中有一個(gè)為零時(shí),如m=0,而n,p0時(shí),則方程

34、組為當(dāng)m,n,p中有兩個(gè)為零時(shí),如m=n=0,而p0時(shí),則方程組為3、直線的參數(shù)方程由得: 稱此方程組為直線的參數(shù)方程.例9對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線解:兩平面的法向量分別為n1=1,1,1和n2=2,1,-3,則s= n1×n2=令x=1,代入方程,求得直線上得一點(diǎn):(1,0,-2)對(duì)稱式方程為:參數(shù)式方程為:五、兩直線的夾角1、線的夾角:兩直線方向向量的夾角.(通常為銳角)2、設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),則其夾角為=(s1s2)中的銳角.且有 cos= 4、 兩直線相互垂直和平行的充分必要條件兩直線L1L2 :

35、9;m1m2+n1n2+p1p2=0兩直線L1L2:Ûm1/m2=n1/n2=p1/p2例10. 求直線L1: 和L2: 的夾角.解: s1=(1,-4,1),s2=(2,-2,-1)Þ cos=Þ =/4.六、直線與平面的夾角1.線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),直線與平面的夾角是指直線和它在平面上的投影直線的夾角 .(0/2）當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定直線與平面的夾角為/2.設(shè)直線L的方向向量為s=(m,n,p),平面的法向量n=(A,B,C),其夾角為，則=|/2-(sn)|因此,sin=|cos(sn)| 且有sin=直線L與平面相互垂直ÛA/m

36、=B/n=C/p直線L與平面相互平行或直線在平面上ÛAm+Bn+Cp=02.直線與平面相互垂直和平行的充分必要條件例11. 求過(guò)點(diǎn)(1,-2,4)且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程.解:所求直線的方向向量為:s=(2,-3,1)直線過(guò)點(diǎn)(1,-2,4)直線方程為:=七、 平面束解題方法（補(bǔ)充內(nèi)容，選講）平面束:通過(guò)定直線的所有平面.設(shè)直線L為其中系數(shù)A1,B1,C1和A2,B2,C2不成比例,則過(guò)L的平面束方程為(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0例12. 求直線在平面x+y+z=0上的投影直線方程.解:設(shè)經(jīng)過(guò)直線L:的平面束方程為(x+

37、y-z-1)+(x-y+z+1)=0, 即:(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0由于此平面與已知平面垂直,所以:(1+)+(1-)+(-1+)=0即有=-1代入平面束方程得投影平面的方程為y-z-1=0從而得投影直線l的方程:八、 雜例例13. 求與平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交線平行且過(guò)點(diǎn)(-3,2,5)的直線方程.解:s=n1×n2=-(4i+3j+k)則所求直線方程為:例14. 求直線與平面2x+y+z-6=0的交點(diǎn).解:直線的參數(shù)方程為:x=2+t, y=3+t, z=4+2t,將其代入平面方程:Þt=-1.將其代入直線方程得:交點(diǎn)坐標(biāo)為:

38、(1,2,2).例15. 求過(guò)點(diǎn)(2,1,3)且與直線垂直相交的直線方程.解:(法一)過(guò)點(diǎn)(2,1,3)作平面垂直于已知直線,則此平面的方程為3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0求已知直線與該平面的交點(diǎn),將直線的參數(shù)方程x=-1+3t,y=1+2t,z=-t代入平面方程得t=3/7從而得交點(diǎn)(2/7,13/7,-3/7)于是所求直線的方向向量為s=(2/7-2,13/7-1,-3/7-3)=6/7(2,-1,4)故所求直線的方程為:(法二)設(shè)所求直線的參數(shù)方程為x=mt+2,y=nt+1,z=pt+3,由于所求直線與已知直線垂直,從而有:(m,n,p)(3,2,-1),Þ3m+

39、2n-p=0又由于所求直線與已知直線相交,故由兩直線的參數(shù)方程有x=3t-1=mt+2,y=2t+1=nt+1,z=-t=pt+3Þ(m-3)t=-3,(n-2)t=0,(p+1)=-3顯然t0,從而解得:m=-4,n=2,p=-8,t=3/7故有所求直線的參數(shù)方程為:x=-4t+2,y=2t+1,z=-8t+3或者所求直線的方程為:.例16. 求與已知直線L1: 及L2: 相交且和直線L3:平行的直線L.解(法一):將L1與L2都化為參數(shù)方程:L1:;L2: 由于L與L1和L2都相交且與L3平行,則兩交點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的差應(yīng)與L3的方向數(shù)成比例,即有:Þ 解得t1=25/2,由

40、此得L和L1的交點(diǎn)為:x1=-28,y1=-65/2,z1=-25/2故所求直線的方程為:解(法二)設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,b,c),下面求點(diǎn)(a,b,c)由所求直線與L3平行有:x=8t+a,y=7t+b,z=t+c;由所求直線與L1相交,即有t1,滿足8t1+a=2t1-3,7t1+b=3t1+5,t1+c=t1,Þ6t1=-3-a,4t1=5-b,c=0.Þ2a-3b=-21,c=0(1)又由所求直線與L2相交,即有t2,滿足:8t1+a=5t2+10,7t2+b=4t2-7,t2+c=t2,Þ3t2=10-a,3t2= -7-b,c=0.Þa-b=17

41、,c=0(2)由(1),(2)Þa=72,b=55,c=0故所求直線的方程為:x=8t+72,y=7t+55,z=t.例17. 求過(guò)直線且與點(diǎn)(1,2,1)的距離為1 的平面方程.解:設(shè)過(guò)此直線的平面束方程為:(3x-2y+2)+(x-2y-z+6)=0Þ(3+)x-(2+2)y-z+(2+6)=0,由點(diǎn)到平面的距離公式d= =1Þ =2,或=3,故所求平面的方程為x+2y+2z-10=0,或4y+3z-16=0.例18.求兩直線L1:和L2:的公垂線L的方程.解:公垂線的方向向量:s=s1×s2=(0,1,1)×(2,-1,0)=(1,2,-

42、2)過(guò)L與L1的平面法向量為:n1= s×s1=(1,2,-2)×(0,1,1)=(4,-1,1)在直線L1上取點(diǎn)(1,0,0),則過(guò)L與L1的平面方程為:4x-y+z-4=0過(guò)L與L2的平面法向量為:n2= s×s2=(1,2,-2)×(2,-1,0)=(2,4,5)在直線L2上取點(diǎn)(0,0,-2)則過(guò)L與L2的平面方程為:2x+4y+5z+10=0于是公垂線的方程為: 作業(yè)： P44 36，39（1）（3）（5），46，49，50教學(xué)后記：復(fù)習(xí)思考題：平面及直線方程的各種表達(dá)式之間的互化。講授內(nèi)容 §7.4 曲面與空間曲線教學(xué)目的與要求：1

43、、理解曲面與曲面方程間的關(guān)系，會(huì)用軌跡法求曲面的方程。2、掌握由平面曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面的方程的方法。3、理解柱面的概念，并會(huì)求柱面的方程。4、理解用截痕法，伸縮變形法討論曲面形狀的方法。5、掌握九種二次曲面的方程和大致形狀。6、掌握空間曲線的一般形式，參數(shù)方程形式。7、會(huì)根據(jù)一般方程、討論其所表示的曲線。8、理解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影的概念。9、會(huì)求特殊空間曲線在坐標(biāo)面上的投影的形狀和方程。教學(xué)重難點(diǎn)： 重點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面、柱面方程的求法。根據(jù)方程討論曲線的形狀。 難點(diǎn)二次曲面的方程和大致形狀。求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：為使學(xué)生掌握二次曲面的方程和形狀，講清由

44、平面曲線先經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)再伸縮變形的基本思想學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程一、曲面方程的概念1. 曲面方程的定義:如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0(1)滿足（1）曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1);（2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1),那么,方程(1)叫做曲面S的方程;而曲面S叫做方程(1)的圖形. a) 建立球心在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面方程.解:設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)是球面上的任意一點(diǎn),則|M0M|=R,Þ(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2b) 設(shè)有點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,1,4),求線段AB的垂直平分面的方程.解:設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)在

45、平分面上,則|AM|=|BM|,Þ (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2.Þ 2x-6y+2z-7=0.c) 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎樣的曲面.解:將方程配方:Þ(x-1)2+(y+2)2+z2=5.表示球心在(1,-2,0),半徑為的球.由此空間解析幾何中關(guān)于曲面的討論,有下列兩個(gè)基本問(wèn)題例4 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),建立這曲面的方程;例5 已知坐標(biāo)x,y,和z間的一個(gè)方程時(shí),研究這方程所表示的曲面的形狀.例1、例2為問(wèn)題(1),例3為問(wèn)題(2).二、旋轉(zhuǎn)曲面2. 旋轉(zhuǎn)曲面：一條平面曲線繞其平面

46、上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面.這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)在yoz面上有一已知曲線C,它的方程為f(y,z)=0,將其繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,得到一曲面,其方程求法如下: 設(shè)M1(0,y1,z1)為曲線C上的任一點(diǎn),則有f(y1,z1)=0 (2)當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)M1也繞z軸旋轉(zhuǎn)到另一點(diǎn)M(x,y,z),此時(shí)z=z1保持不變,且點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸的距離d=|y1|將z=z1,y1=±代入(2)中,Þf(±,z)=0這就是所求曲面的方程.同理,曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為:f(y,±)=0類似地有:曲線C:f(x,y)=0繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為:f

47、(x, ±)=0繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為:f(±, y)=0曲線C:f(x,z)=0繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為:f(x, ±)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為:f(±,z)=0例6. 直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面.兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn),兩直線的夾角(0<</2)叫做圓錐面的半頂角.試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面的方程.解:在yoz平面上,直線L的方程為:z=ycot,Þ 旋轉(zhuǎn)曲面的方程為:z=±cot 或者z2=a2(x2+y2), 其中,a=cot例8將xo

48、z坐標(biāo)面上的雙曲線=1分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面: =1 繞z軸旋轉(zhuǎn)生成旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面: =1三、柱面3. 柱面:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡.定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線,動(dòng)直線L叫做柱面的母線.a) 方程x2+y2=R2表示的曲面叫做圓柱面解:準(zhǔn)線是xoy平面上的圓x2+y2=R2,母線是平行于z軸的直線. b) 方程y2=2x表示的曲面叫做拋物柱面解:準(zhǔn)線是xoy平面上的拋物線y2=2x,母線是平行于z軸的直線. 一般地,在空間直角坐標(biāo)系下,F(x,y)=0:母線平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線是xoy面上的曲線 C: F(

49、x,y)=0.F(x,z)=0:母線平行于y軸的柱面,其準(zhǔn)線是xoz面上的曲線 C: F(x,z)=0.F(y,z)=0:母線平行于x軸的柱面, 其準(zhǔn)線是yoz面上的曲線 C: F(y,z)=0.平面為柱面.例如:平面x-z=0表示:母線平行于y軸,準(zhǔn)線為xoz平面上的直線:x-z=0.四、二次曲面二次曲面:三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面.平面叫做一次曲面二次曲面共九種.利用截痕法可以了解二次曲面的形狀.1. 橢球錐面: 以平面z=t截曲面:當(dāng)t=0時(shí),得一點(diǎn)(0,0,0).當(dāng)t0時(shí),得平面z=t上得橢圓: =1;當(dāng)|t|從大到小變?yōu)?時(shí),橢圓從大到小收宿為一點(diǎn),其圖形為:平面z

50、=t于曲面F(x,y,z)=0的交線稱為截痕.通過(guò)截痕的變化了解曲面形狀的方法稱為截痕法.下面用伸縮變形法討論曲面的形狀平面xoy上的圖形的伸縮變形:將平面上的點(diǎn)M(x,y)變?yōu)辄c(diǎn)M(x,y),此時(shí)點(diǎn)M(x,y)的軌跡C變?yōu)辄c(diǎn)M(x,y)的軌跡C,稱將圖形C沿y軸方向伸縮倍變成圖形C.下面討論C于C的方程關(guān)系:設(shè)C的方程為F(x,y)=0,點(diǎn)M(x1,y1)ÎC,將M(x,y)變?yōu)镸(x2,y2),此時(shí)x2=x1,y2=y1Þx1=x2,y1=y2由 M(x1,y1)ÎCÞF(x1,y1)=0ÞF(x2,y2)=0因此M(x2,y2)的軌跡C的方程為:F(x,y)=0.例如將圓x2+y2=1沿y軸方向伸縮倍,則圓的方程變?yōu)?=1, 即圖形由圓變?yōu)闄E圓.將圓錐面=z2沿y軸方向伸縮倍,則圓錐面變?yōu)闄E圓錐面: 2. 橢球面:=1將xoz平面上的橢圓=1繞z軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)橢球面: +=1,再將旋轉(zhuǎn)橢球面沿y軸方向伸縮倍,得橢球面:=1當(dāng)a=b=c時(shí),橢球面為球面:x2+y2+z2=a2.3. 單葉雙曲面: =1將xoz平面上的雙曲線=1繞z軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面: -=1再將旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面沿y軸方向