高等數(shù)學(xué)B2復(fù)習(xí)(講)

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（）復(fù)習(xí)考試范圍：教材610章第六章： 空間解析幾何初步1主要內(nèi)容：（1）空間直角坐標(biāo)系，空間兩點(diǎn)間的距離公式。（2）向量的坐標(biāo)、模、方向角與方向余弦；向量的運(yùn)算；向量平行和垂直的充要條件（3）平面及其方程：點(diǎn)法式、一般式和截距式，特殊平面的方程；兩平面的夾角；點(diǎn)到平面的距離公式。（4）空間直線及其方程：點(diǎn)向式、一般式和參數(shù)式，且要理解三種方程之間的關(guān)系和互化；兩直線及直線與平面的夾角。（5）曲面及其方程，二次曲面；熟悉球面，柱面，橢球面，錐面，雙曲面，旋轉(zhuǎn)面方程。2重點(diǎn)：建立平面及空間直線的方程。3典型例題與習(xí)題 （1）§6-1 例題1 習(xí)題1-4 （2）§6-2

2、 例題1-3 習(xí)題1，2，4，8-11 （3）§6-3 例題1-6 習(xí)題1，2，4，6 （4）§6-4 例題1-4 習(xí)題1-6 （5）§6-5 例題1-3 習(xí)題1-44典型方法（1）向量平行和垂直的充要條件：設(shè)，則 例1 求，若，則 ；若，則 。例2 求與及都垂直的單位向量。（2）求向量的模、方向余弦及方向角和兩向量的夾角的方法：設(shè)，則向量的模：2 / 27方向余弦：方向角：根據(jù)方向余弦來求，注意方向角的范圍向量的夾角：例1 已知兩點(diǎn)和，試求向量的模、方向余弦及方向角。例2 已知向量與的夾角為，又，計(jì)算。例3 設(shè)，又，則（ ） A. B. C. D.（3）求平面方

3、程的方法： 求平面方程，關(guān)鍵是找出構(gòu)成平面的基本要素：一個(gè)點(diǎn)和法向量，或不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，方法一：定平面上一個(gè)點(diǎn)和法向量，代入點(diǎn)法式方程： 方法二：定平面上不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，代入平面的一般式方程，解方程組，確定系數(shù)的比例關(guān)系，得平面方程。例1 已知平面與平面平行且相距6個(gè)單位，求的方程。例2 一平面通過兩點(diǎn)和，且垂直于平面，求平面方程。例3 求過直線且平行于直線的平面方程。例4 已知平面過點(diǎn)和直線，求平面的方程。例5 求平行于平面且與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積為的平面的方程 提示：可用截距式或一般式方程來作（4）將直線的一般方程化為點(diǎn)向式或參數(shù)式的方法 方法一：取直線上的定點(diǎn)。

4、先給定特殊值，再解方程組求； 取方向向量。 方法二：取直線上的兩個(gè)定點(diǎn)； 取方向向量。方法三：解方程組。將其中一個(gè)變量如作自由未知量，求出其余兩個(gè)如，令，即得參數(shù)式。例1 將直線的一般方程化為對(duì)稱式方程和參數(shù)式方程。（5）求空間直線的方法： 求空間直線方程，關(guān)鍵是找出構(gòu)成空間直線的基本要素：一個(gè)點(diǎn)和方向向量，或兩個(gè)點(diǎn)，或兩個(gè)相交平面。方法一：定平面上一個(gè)點(diǎn)和方向向量，代入點(diǎn)向式方程： 方法二：定平面上兩個(gè)點(diǎn)，以作為方向向量，代入點(diǎn)向式方程即得空間直線的方程。注：過直線的平面束方程： 它包含了直線的除以外的所有平面。例1 已知直線過點(diǎn)且與平面平行，又與直線垂直，求直線的方程。例2 求直線在平面上

5、的投影。提示：求直線在平面上的投影，只需求出過直線且與平面垂直的平面，則兩平面的交線就是所求的投影直線（6）判斷二次曲面的方法：例1 下列方程中所表示的曲面表示旋轉(zhuǎn)拋物面的是（ ） （A） （B）（C） （D）例2 設(shè)曲面方程，當(dāng)時(shí)，曲面可由面上以曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成，或由面上以曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成。例3 在空間中，方程表示母線平行于 軸，以坐標(biāo)面上的拋物線 為準(zhǔn)線的柱面。第七章：多元函數(shù)微分學(xué)1主要內(nèi)容（1）理解二元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)極限、連續(xù)的概念，理解二元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域上的性質(zhì)。會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限，掌握極限不存在的（沿不同方向）證明方法。（2）理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，理解偏導(dǎo)數(shù)的

6、幾何意義。熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)的求法（3）理解全微分的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)可微分的必要條件和充分條件。熟練掌握全微分的求法，熟練掌握全微分形式的不變性。（4）理解二元函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、可微分、偏導(dǎo)數(shù)存在、函數(shù)連續(xù)、極限存在、函數(shù)有定義等概念之間的關(guān)系。（5）熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，特別是抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。（6）理解隱函數(shù)，熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。（7）理解多元函數(shù)的極值、最值的概念，理解多元函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件。理解條件極值的概念。熟練掌握多元函數(shù)的最大(小)值的求法。熟練掌握拉格朗日乘數(shù)法。熟練掌握經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中最大（?。┲祮栴}的求解方法。注意：抽象復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題不超

7、過二階。隱函數(shù)求導(dǎo)問題只考慮一個(gè)方程的情形。2重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元函數(shù)的極值與最值3典型例題與習(xí)題 （1）§7-1 例題5-7 習(xí)題1-8 （2）§7-2 例題1-7 習(xí)題2-6 （3）§7-3 例題1-3 習(xí)題1-2 （4）§7-4 例題1-6 習(xí)題1-8 （5）§7-5 例題1-5 習(xí)題1-7 （6）§7-6 例題4-9 習(xí)題1，3，5，7 （7）§7-7 例題1-6 習(xí)題1，2，8，9 （8）綜合練習(xí)七：1-104典型方法（1）求二元函數(shù)的定義域的方法:例1 設(shè)，求其定義域（2）求二重極限的方法:例1 求下列二重

8、極限：（1）； （2）； （3）例2 證明二重極限：不存在。注：二重極限：存在（3）求偏導(dǎo)數(shù)的方法: 求二元函數(shù)在某一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù) 方法一：按定義，求相應(yīng)極限 方法二：先求偏導(dǎo)函數(shù)，再代值 方法三：由偏導(dǎo)數(shù)的定義知 ， 求二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 求多元函數(shù)對(duì)某個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)的基本方法是將其余變量視為常數(shù)，用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式與法則來求導(dǎo)即可。 求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，須記住“十六字方針”：同一路徑，偏導(dǎo)相乘；不同路徑，乘積相加。關(guān)鍵是要能畫出變量之間的關(guān)聯(lián)圖來。 求抽象二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)注：利用全微分不變式求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法不僅簡(jiǎn)捷，更重要的是在此過程中不必區(qū)分自變量與中間變量，因而不易出錯(cuò)例

9、1 設(shè)，求例2 證明二元函數(shù)在的鄰域內(nèi)連續(xù)且有偏導(dǎo)數(shù)和例3 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和 （1）； （2）； （3）例4 設(shè)，求和例5 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 （4）求全微分的方法: 方法一：先求偏導(dǎo)數(shù)和，再用公式：來求全微分； 方法二：全微分不變式：來求全微分；例1 求下列函數(shù)的全微分 （1）； （2）； （3）例2 求函數(shù)在點(diǎn)處的全微分例3 設(shè)為某一函數(shù)的全微分，則常數(shù)（ ） （A）； （B） （C） （D）提示：由和都連續(xù)，從而，可求出之值（5）求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法: 方法一：公式法方法二：全微分不變式法例1 設(shè)函數(shù)是由方程：確定的隱函數(shù)，求和。例2 設(shè)函數(shù)是由方程：確定的隱函數(shù)，驗(yàn)證

10、例3 設(shè)函數(shù)，其中是由方程：確定的二元函數(shù)，且都是可微函數(shù)，連續(xù)，求（6）討論二元函數(shù)的極值與最值主要掌握極值和最值的概念，極值的必要條件和充分條件，條件極值與Lagrange乘數(shù)法1求函數(shù)極值的步驟（）求偏導(dǎo)數(shù)（）解方程組求駐點(diǎn)；（）判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)（用充分條件）；2求閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值求出函數(shù)在端點(diǎn)、駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值，并比較各值的大小，其中最大者為最大值，最小者為最小值3條件極值問題可考慮將其轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，或用Lagrange乘數(shù)法來求。4求根據(jù)應(yīng)用問題建立的函數(shù)關(guān)系的最值的步驟（1）建立函數(shù)關(guān)系；（2）求駐點(diǎn)；（3）判定駐點(diǎn)是否為最值點(diǎn)（用唯一極值點(diǎn)法或?qū)嶋H問題法

11、）：唯一極值點(diǎn)法：若在區(qū)間（有限或無限、開或閉）內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極值點(diǎn)，則它必為最值點(diǎn)實(shí)際問題法：若在所討論的問題的有效范圍內(nèi)部有唯一的駐點(diǎn)，且通過對(duì)問題的分析，其最值在區(qū)間內(nèi)部取得，則此唯一的駐點(diǎn)處的函數(shù)值必為所求的最大（?。┲道? 設(shè)函數(shù)在處取得極值，試求常數(shù)，并確定極值的類型。例2 設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值。例3 求函數(shù)在條件（其中）下的極大值。例4 設(shè)某工廠生產(chǎn)和兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為和（單位：千件），利潤(rùn)函數(shù)為已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每千件產(chǎn)品均消耗某種原料2000kg，現(xiàn)有該原料12000kg，問如何安排生產(chǎn)才能使總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？第八章： 二重積分1主要內(nèi)

12、容：（1）理解二重積分的概念和性質(zhì)，理解二重積分的估值定理和中值定理。知道二重積分存在的必要條件和充分條件。理解二重積分的幾何意義。熟練掌握二重積分的性質(zhì)。（2）熟練掌握二重積分（直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系）的計(jì)算方法。（3）掌握積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性與函數(shù)的奇、偶性在二重積分計(jì)算中的運(yùn)用。2重點(diǎn)：二重積分（直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系）的計(jì)算3典型例題與習(xí)題 （1）§8-1 習(xí)題1-4 （2）§8-2 例題1-10 習(xí)題1-9 （3）綜合練習(xí)八：1-104典型方法（1）求二重積分的方法：方法一：利用幾何意義當(dāng)時(shí)，是以為高、為底的曲頂柱的體積。例1 利用二重積分的幾何意義，求下列二重

13、積分的值abxyoD （1），其中 （2），其中【解】方法二：利用直角坐標(biāo)系來計(jì)算-型積分區(qū)域：cdDyxo -型積分區(qū)域： 先判斷積分區(qū)域的型，再確定外積分的上下限，最后確定內(nèi)積分的上下限。若是-型積分區(qū)域，則外積分的下限是最小的值，上限是最大的值；在之間任取一點(diǎn)，作軸的平行線，穿過積分區(qū)域，則穿進(jìn)的值為內(nèi)積分的下限，而穿出的值為內(nèi)積分的上限若是-型積分區(qū)域，方法與上述相仿。例2 計(jì)算下列二重積分 （1），其中 （2），其中是曲線和在第一象限所圍成的區(qū)域方法三：利用極坐標(biāo)系來計(jì)算當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形區(qū)域或被積函數(shù)含有時(shí)，要利用極坐標(biāo)系來計(jì)算。積分區(qū)域： 先確定外積分的上下限，然后確定內(nèi)積分的上下

14、限。外積分的下限是最小的極角，上限是最大的極角；在之間任取一點(diǎn)，作射線穿過積分區(qū)域，則穿進(jìn)的極徑值為內(nèi)積分的下限，而穿出的值為內(nèi)積分的上限例3 計(jì)算下列二重積分 （1），其中 （2），其中二次積分重積分二次積分畫積分區(qū)域圖交換積分順序（2）交換二重積分的積分順序的方法例4 交換下列二次積分的積分順序 （1）； （2）第九章： 無窮級(jí)數(shù)1主要內(nèi)容（1）理解無窮級(jí)數(shù)的基本概念，理解無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)。理解正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件，理解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。理解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲審斂法。理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂的概念及其關(guān)系。（2）熟練掌握若干正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂的方法。熟練

15、運(yùn)用一般項(xiàng)不趨于零的條件判別級(jí)數(shù)發(fā)散的方法。熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散的審斂方法。（3）理解冪級(jí)數(shù)及其收斂的概念，理解冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域的概念。熟練掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、區(qū)間、區(qū)域的求法。（4）理解冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)。熟練掌握冪級(jí)數(shù)的微分、積分運(yùn)算。能夠熟練運(yùn)用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和微分、積分運(yùn)算求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)等問題。（5）理解泰勒公式，知道函數(shù)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。熟練掌握泰勒級(jí)數(shù)的展開方法，特別是間接展開方法。熟練運(yùn)用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式。注意：分部積分的遞推公式形式、積分表不做要求。2重點(diǎn)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法；冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域；求冪級(jí)數(shù)

16、的和函數(shù)；將函數(shù)在某點(diǎn)展開成冪級(jí)數(shù)。3典型例題與習(xí)題： （1）§9-1 例題1，3-5 習(xí)題2-4 （2）§9-2 例題1-7 習(xí)題1-4 （3）§9-3 例題1，2 習(xí)題1-4 （4）§9-4 例題1-7 習(xí)題1-2 （5）§9-5 例題2-6 習(xí)題1-6 （6）綜合練習(xí)九：一-七4典型方法（1）判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的方法：定義法:正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法：基本定理；比較判別法；比值判別法；根值判別法。交錯(cuò)級(jí)數(shù)判斂法：Leibniz判別法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必收斂例1 判別下列級(jí)數(shù)是否收斂：（1）； （2） （3）例2 判別下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果

17、收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？（1）； （2）； （3）例3 若級(jí)數(shù)收斂，問是否收斂？是絕對(duì)收斂還是條件收斂？例4 設(shè)級(jí)數(shù)，都收斂，且，證明也收斂。例5 下列命題正確的是（A）若收斂，則也收斂；（B）若收斂，則也收斂；（C）若收斂，則； （D）若收斂且，則未必收斂。（2）判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散的方法：定義法: 必要條件法：若，則發(fā)散。性質(zhì)法：發(fā)散，收斂，則發(fā)散。比值或根值法：若或，則發(fā)散。例1 判別下列級(jí)數(shù)是否收斂：（1）； （2）（3）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的方法： 公式法: 對(duì)于不缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)即，則。比值法：對(duì)于缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)或一般冪級(jí)數(shù)，先求極限，再解不等式，求出收斂區(qū)間，該區(qū)間的長(zhǎng)度

18、的一半即為收斂半徑。例1 若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則該級(jí)數(shù)在處（ ）（A）絕對(duì)收斂； （B）條件收斂； （C）發(fā)散； （D）斂散性不能確定。例2 若冪級(jí)數(shù)在處收斂，試討論該級(jí)數(shù)在和處的斂散性。例3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域：（1）； （2）； （3）例4 設(shè)冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，則其收斂半徑為 。（4）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的方法： 第一步：求收斂半徑 第二步：將收斂區(qū)間的端點(diǎn)代入原級(jí)數(shù)，判斷其收斂性，繼而求出收斂域 第三步：設(shè)和函數(shù)為，先在收斂區(qū)間內(nèi)通過恒等變形、求導(dǎo)或求積求的表達(dá)式，最后通過連續(xù)性，求在其收斂域內(nèi)的表達(dá)式。例1 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：（1）； （2）； （3）（5）將函數(shù)

19、展開冪級(jí)數(shù)的方法： 直接法步驟：（1）求； （2）求； （3）寫出麥克勞林級(jí)數(shù)，并求收斂域； （4）在收斂域內(nèi)，求若，則間接法根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性，利用常用函數(shù)的展開式，通過變量代換、逐項(xiàng)求導(dǎo)、積分等將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。常用函數(shù)的展開式：（1）（2）（3）（4）（5）例1 將下列函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)（變量代換）（1）； （2） （3）例2 將下列函數(shù)展開成麥克勞林級(jí)數(shù)（逐項(xiàng)求導(dǎo)、積分）（1）； （2）； （3）例3 將展開成的冪級(jí)數(shù)。第十章： 微分方程與差分方程1主要內(nèi)容（1）理解微分方程的基本概念，如方程的通解、特解，解的幾何意義，能夠準(zhǔn)確判別方程的類型，理解一階線性微分方程的常數(shù)變易法。理解差分方程的基本概念和基本性質(zhì)（2）熟練掌握可分離變量方程、齊次方程、一階線性方程、貝努力方程的解法。熟練掌握三種可降階的高階微分方程的解法。（3）熟練掌握二階常系數(shù)線性微分方程的解法。熟練掌握一階常系數(shù)線性差分方程的解法。2重點(diǎn)：求一階與二階可解微分方程的解的方法3典型例題與習(xí)題 （1）§1-2 例題1-4，6-9 習(xí)題1-5 （2）§1-3 例題1-6 習(xí)題1-5 （3）§1-4 例題1-5 習(xí)題1-3 （4）§1-5 例題1-10 習(xí)題1-5 （5）§1-7 例題1-6 習(xí)題