高等數(shù)學(xué)B第十二章

1、講授內(nèi)容 §12.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)教學(xué)目的與要求：1、理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念.2、掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì).教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散概念.難點(diǎn)用級(jí)數(shù)斂散性的定義及基本性質(zhì)判別一些級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題.教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：1、從數(shù)列出發(fā)，引出級(jí)數(shù)的概念；2、重點(diǎn)講清收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì).學(xué)時(shí)：1學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程我們?cè)谥袑W(xué)里已經(jīng)遇到過(guò)級(jí)數(shù)等差數(shù)列與等比數(shù)列，它們都屬于項(xiàng)數(shù)為有限的級(jí)數(shù)的特殊情形.下面我們來(lái)學(xué)習(xí)項(xiàng)數(shù)為無(wú)限的級(jí)數(shù)，稱為無(wú)窮級(jí)數(shù).一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1定義: 設(shè)有數(shù)列u1,u2,un, 稱 un = u1+u2+un +為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 其中un稱為級(jí)數(shù)

2、的通項(xiàng)(或一般項(xiàng)或第n項(xiàng));sn= u1+u2+un稱為級(jí)數(shù)的部分和(或前n項(xiàng)和);sn稱為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列.由部分和數(shù)列sn的斂散性有:1 / 792定義:若sn=s存在,稱級(jí)數(shù)un收斂,s稱為此級(jí)數(shù)的和,記為:s= u1+u2+un+否則稱此級(jí)數(shù)發(fā)散(或此級(jí)數(shù)不存在和).當(dāng)級(jí)數(shù)收斂于和s時(shí),稱rn= ssn=un+1+un+2+ 為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).稱|rn|為用sn代替s所產(chǎn)生的誤差.例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))aqn=a+aq+aq2+aqn+(a0)的斂散性.解:當(dāng)q1時(shí),sn= a+aq+aq2+aqn-1=當(dāng)時(shí), sn=,所以級(jí)數(shù)收斂,其和為s=;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)q=1時(shí),sn=n

3、 a,級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)q=1時(shí),由于s2n=0,s2n+1=a(0),所以級(jí)數(shù)發(fā)散.綜合得:aqn =例2判別級(jí)數(shù)=+的斂散性.解:由于un=-,所以,sn=11于是級(jí)數(shù)收斂于和1.例3 討論調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性.解:假設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和s,則有,s,s,(n),從而:0,(n)又:=+=所以0(n)于是級(jí)數(shù)發(fā)散.二、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)un=s,則kun=ks(k為常數(shù))證明:設(shè)un和kun的部分和分別為sn和n,則n=ksn.由sns,得n=ksnks(n)又當(dāng)k0時(shí),若sn不存在極限,則sn也不存在極限.由此得到:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)不為零的常數(shù)后,它的斂散性不變.性質(zhì)2.若un=s,vn=,

4、則(un±vn )=s±.證明:設(shè)un 、vn和(un± vn )的部分和分別為sn、n和n,則n=sn±ns±(n).從而得到:兩個(gè)收斂的級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加和逐項(xiàng)相減.發(fā)散的級(jí)數(shù)不滿足此條性質(zhì),例如當(dāng)a0時(shí),級(jí)數(shù)a和(a)都發(fā)散,但a+(a)=0.性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)中去掉、加上、或改變有限項(xiàng),級(jí)數(shù)的斂散性不變.證明:只需證明“在級(jí)數(shù)的前面部分去掉或加上有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性”,其它情形(即在級(jí)數(shù)中任意去掉、加上或改變有限項(xiàng)的情形)都可以看成在級(jí)數(shù)的前面部分先去掉有限項(xiàng),然后再加上有限項(xiàng)的結(jié)果.將級(jí)數(shù)u1+u2+uk+ uk+1+uk+2+uk

5、+n+的前k項(xiàng)去掉,得新級(jí)數(shù):uk+1+uk+2+uk+n+設(shè)un的部分和為sn,則新級(jí)數(shù)的部分和為n=uk+1+uk+2+uk+n=sn+ksk由于sk為常數(shù),所以n和sn+k同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.同樣可以證明在級(jí)數(shù)的前面加上有限項(xiàng),也不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.如果級(jí)數(shù)un=u1+u2+un+收斂,則對(duì)此級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)(u1+u2+)+(+1+)+(+1+)+仍收斂,且其和不變.證明:設(shè)un的部分和為sn,加括號(hào)后的新級(jí)數(shù)的部分和(前k項(xiàng)和)為Ak,則A1= u1+u2+=;A2=(u1+u2+)+(+1+)=;.Ak=(u1+u2+)+(+1+)+(+1+)=由此可知:Ak為

6、sn的子列,由于sn收斂則Ak必定收斂,且收斂值不變.注意:若加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)收斂,則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂.例如(11)+(11)+(11)+收斂且等于0,但11+11+ 是發(fā)散的.由此得到:如果加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)發(fā)散,則原來(lái)的級(jí)數(shù)必定發(fā)散.因此對(duì)級(jí)數(shù)一般不能任意加括號(hào)或去括號(hào).性質(zhì)5.(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)若級(jí)數(shù)un收斂,則有un0(n)證明:設(shè)un的部分和為sn,且sns(n),則un=snsn1ss=0(n)由此可知,若un0(n),則級(jí)數(shù)un必定發(fā)散.注意:當(dāng)un0(n),級(jí)數(shù)un也不一定收斂.例如,但是發(fā)散的.例4.已知級(jí)數(shù)的部分和為sn=arctann,試求此級(jí)數(shù)并求和.

7、解:由于u1=arctan1=/4,n=tansn,un=snsn1所以tanun=tan(snsn1)=于是un=arctan,即有= arctan又sn=arctann/2(n),所以和為s=/2.例5.判別級(jí)數(shù):sin/6+ sin2/6+ sink/6+的斂散性.解:由于 =(k=1,2,n)所以:sn= (-)+(-)+(- )=-又當(dāng)n時(shí),是振蕩的,其極限不存在,所以sn的極限不存在.即所給級(jí)數(shù)發(fā)散.作業(yè)：P267 3(1)(2)教學(xué)后記：復(fù)習(xí)思考題：判定下列級(jí)數(shù)的斂散性： 講授內(nèi)容 §12.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法教學(xué)目的與要求：掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)

8、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法和比值判別法.難點(diǎn)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法.教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：1、重點(diǎn)講清正項(xiàng)級(jí)數(shù)的三種審斂方法； 2、通過(guò)實(shí)例，講透絕對(duì)收斂與條件收斂的概念.學(xué)時(shí)：3學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:若級(jí)數(shù)un滿足un0,則稱此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定理1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件為其部分和數(shù)列sn有界.證明:設(shè)un(un0)的部分和數(shù)列為sn,則顯然sn單調(diào)上升即有:s1s2sn.若sn有界,則由單調(diào)有界數(shù)列必有極限可知,sn必定有極限,從而un收斂;若un收斂,則sn必定有極限,由收斂數(shù)列必有界可知,數(shù)列sn有界.注:若正項(xiàng)級(jí)數(shù)un發(fā)散,則必定有:sn,（n）定

9、理2.（比較審斂法）設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且unvn（n=1,2,）.1)若級(jí)數(shù)vn收斂,則級(jí)數(shù)un也收斂;2)若級(jí)數(shù)un發(fā)散,則級(jí)數(shù)vn也發(fā)散.證明:設(shè)un和vn的部分和分別為sn和n.由unvn（n=1,2,）可知:sn=u1+u2+unn=v1+v2+vn,1)若級(jí)數(shù)vn收斂,則n有界,從而sn有界,所以級(jí)數(shù)un收斂;2） 級(jí)數(shù)un發(fā)散,則級(jí)數(shù)vn也發(fā)散.因?yàn)槿艏?jí)數(shù)vn收斂,則級(jí)數(shù)un也收斂;與假設(shè)矛盾.推論1.設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù):1) 若級(jí)數(shù)vn收斂,且存在自然數(shù)N,使當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0)成立,則級(jí)數(shù)un收斂;2) 若級(jí)數(shù)vn發(fā)散,且當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k&

10、gt;0)成立,則級(jí)數(shù)un發(fā)散.例1.討論p級(jí)數(shù)的斂散性,其中常數(shù)p>0.解:當(dāng)p1時(shí),由于1/np1/n,而發(fā)散,所以發(fā)散;當(dāng)p>1時(shí),因?yàn)楫?dāng)n1xn時(shí),有,所以=(n=2,3,)但正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和為:sn=+=1-®1(n®)所以收斂.即當(dāng)p1時(shí),發(fā)散;當(dāng)p>1時(shí),收斂.由此得到與p級(jí)數(shù)相比較的:推論2. 設(shè)un是正項(xiàng)級(jí)數(shù):1)若有p>1,使un1/np(n=1,2,)則un收斂;2)若有p1,使un1/np(n=1,2,)則un發(fā)散.例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:1)解:由于< =,而收斂,所以原級(jí)數(shù)收斂.2) 解:由于<<=,

11、而收斂,所以原級(jí)數(shù)收斂.3)解:由于:>=(n2)而發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.定理3.（比較審斂法的極限形式）設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),若=（0<<+）則級(jí)數(shù)un和級(jí)數(shù)vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.證明:設(shè)= /2,由= 可知:存在自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)有: -<< +,Þvn<un< vn由比較法的推論1可知:級(jí)數(shù)un和級(jí)數(shù)vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.注:（特殊情形）1)當(dāng)=0時(shí),若級(jí)數(shù)vn收斂,則級(jí)數(shù)un收斂;2)當(dāng)=+時(shí),若級(jí)數(shù)vn發(fā)散,則級(jí)數(shù)un發(fā)散;例3.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性1）解:因?yàn)?1所以與具有相同的斂散性.又當(dāng)p>0時(shí)收斂,當(dāng)p0是發(fā)散

12、,所以當(dāng)p>0時(shí)收斂,當(dāng)p0是發(fā)散.2）解:因?yàn)?1所以原級(jí)數(shù)收斂.3）解:因?yàn)?所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.或=<=<2.所以>定理4.(比值判別法,達(dá)朗貝爾(DAlembert)判別法)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)un的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于,即:=,則1)當(dāng)1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;2)當(dāng)1(或=+)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;3)當(dāng)=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明:1)當(dāng)1時(shí),取正數(shù),使+=r1,由=知:存在正數(shù)N,當(dāng)nN時(shí),有+=r,即un+1run,從而:uN+1ruN,uN+2ruN+1r2uN,unrn-NuN,由于等比級(jí)數(shù):ruN+r2uN+rn-NuN+收斂(|r|<1)所以由比較法可知級(jí)

13、數(shù)uN+1+uN+2+un+收斂.從而un收斂.2）當(dāng)>1時(shí),取正數(shù),使-=l>1,由=知:存在正數(shù)N,當(dāng)nN時(shí),有>-=l,即un+1>lun>un從而當(dāng)nN時(shí)un單調(diào)增加.所以u(píng)n0,(n)事實(shí)上un,當(dāng)n于是級(jí)數(shù)un發(fā)散.3）當(dāng)=1時(shí),un可能收斂,也可能發(fā)散.例如:p級(jí)數(shù):對(duì)于"p,有:,但當(dāng)p>1時(shí)級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.注意:當(dāng)用比值判別法判斷級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),由定理的證明中可以看出,級(jí)數(shù)通項(xiàng)un®,n®.例4.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:1）解:=<1,級(jí)數(shù)收斂.2）解:=+,級(jí)數(shù)發(fā)散.3）(a0,b0)解:=當(dāng)ab

14、時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)ab時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)a=b時(shí),有un=1,級(jí)數(shù)發(fā)散.4）解:由于=1,所以不能用比值法判斷.級(jí)數(shù)收斂.定理5.(根值判別法,柯西(Cauchy)判別法)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)un的一般項(xiàng)un的n次方根極限等于,即:=,則1)當(dāng)1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;2)當(dāng)1（或=+）時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;3)當(dāng)=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明:1）當(dāng)<1時(shí),取正數(shù),使+=r<1,由=知:存在正數(shù)N,當(dāng)nN時(shí),有<+=r,即un<rn,從而由等比級(jí)數(shù)rn收斂可知,級(jí)數(shù)un收斂.2）當(dāng)>1時(shí),取正數(shù),使-=l>1,由=知:存在正數(shù)N,當(dāng)nN時(shí),有>-=l,即un1.所以u(píng)n0,(

15、n®),從而級(jí)數(shù)發(fā)散.3）當(dāng)=1時(shí),un可能收斂,也可能發(fā)散.例如:p級(jí)數(shù)對(duì)于"p,有:=1.但當(dāng)p>1時(shí)級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.例5.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:1）(為任意實(shí)數(shù),0為實(shí)數(shù))解:由于=, 所以當(dāng)0<1,為任意實(shí)數(shù)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)1,為任意實(shí)數(shù)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)=1時(shí),級(jí)數(shù)為=為p級(jí)數(shù),其中p=-.所以:當(dāng)=1,<-1時(shí),級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)=1,-1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.2）解:由于=<1,所以原級(jí)數(shù)收斂.注:=不能用比值法判斷.例6.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性1)解: =由于=1=;=又<<(n>1).所以: =1從而: =<1,即

16、級(jí)數(shù)收斂.總結(jié)定理1定理5,有:Sn有界 Û un收斂(比較法)ß存在正數(shù)N,當(dāng)nN時(shí),unkvn (k0)若vn收斂,則un收斂;若un發(fā)散,則vn發(fā)散;(比較法的極限形式)ß若=l(0<l<+),則un和vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散; 特別, 當(dāng)l=0時(shí), 若級(jí)數(shù)vn收斂,則級(jí)數(shù)un收斂; 當(dāng)l=+時(shí),若級(jí)數(shù)vn發(fā)散,則級(jí)數(shù)un發(fā)散;(比較法)ß (同等比級(jí)數(shù)相比較) ß (根值法)若=,則當(dāng)1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)1（或=+）時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.若=,則當(dāng)1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)1(或=+)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)=1時(shí),級(jí)

17、數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. ß當(dāng)1,都有0作業(yè)：P267 5(1)(5)(6),6,7(1)(2)教學(xué)后記：復(fù)習(xí)思考題：判斷級(jí)數(shù)的斂散性.講授內(nèi)容 §12.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法教學(xué)目的與要求：1、理解條件收斂與絕對(duì)收斂的概念. 2、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法. 教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法，絕對(duì)收斂難點(diǎn)收斂與絕對(duì)收斂教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：講清一般級(jí)數(shù)斂散性的判斷方法.學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程前面討論過(guò)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，現(xiàn)在來(lái)學(xué)習(xí)更一般的級(jí)數(shù).一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 1. 定義:稱=u1-u2+u3-u4+(-1)n-1un+(un0)或=-u1+u2-u3+u4-+(-1)nun

18、+(un0)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6.(萊布尼茨(Leibniz)定理)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:1)unun+1(n=1,2,);2)=0則級(jí)數(shù)收斂,且其和su1,其余項(xiàng)的絕對(duì)值滿足:|rn|un+1.證明:設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為sn,則s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+(u2n1-u2n)（1）s2n= u1-(u2-u3)-(u2n2-u2n1)-u2n（2）由條件1）可知:（1）、（2）兩式中括號(hào)內(nèi)兩數(shù)的差都是非負(fù)的,于是由（1）知:s2n單調(diào)上升,且s2n0;由（2）知:s2nu1;根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限可知數(shù)列s2n存在極限,記為s.且顯然su1.又由于s2n+1= s2n+ u2n+1,

19、而u2n+1®0,(n®)所以:s2n+1= s2n+ u2n+1®s,(n®)由于:s2n+1®s, s2n®s,(n®),所以:sn®s(n®).即交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,且其和su1.又由于此時(shí)余項(xiàng):rn=±(un+1-un+2+un+3-un+4+)所以:|rn|= un+1-un+2+un+3-un+4+也是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),且滿足交錯(cuò)級(jí)數(shù)的條件,從而和應(yīng)小于級(jí)數(shù)的第一項(xiàng),即有:|rn|un+1.例1.判斷級(jí)數(shù)的斂散性.解:由于un=1/n1/(n+1)= un+1,且un®0,(n

20、74;),所以級(jí)數(shù)收斂.且知其和s1,以sn=1-+-+代替s產(chǎn)生的誤差rn滿足|rn|1/(n+1).例2.判斷級(jí)數(shù)的斂散性.解:級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),由于=0,所以=0;設(shè)f(x)=,則有,故當(dāng)x3時(shí),有0,從而當(dāng)x3時(shí),f(x)單調(diào)上升,于是當(dāng)n3時(shí),有un=lnn/nln(n+1)/(n+1)= un+1.所以該級(jí)數(shù)收斂.二、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:對(duì)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)un,若:1)|un|收斂,則稱級(jí)數(shù)un絕對(duì)收斂;2)un收斂,但|un|發(fā)散,則稱un條件收斂.例如:是絕對(duì)收斂 ; 是條件收斂定理7若un絕對(duì)收斂,則un必定收斂.證明:設(shè)un絕對(duì)收斂,即|un|收斂.記:Wn=(|un|+un

21、),Vn=(|un|-un).顯然:0Wn,Vn|un|,由于|un|收斂,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)Wn和Vn收斂.因?yàn)?un= Wn-Vn,由級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知:級(jí)數(shù)un收斂.注:1）上述定理的逆不成立;例如:收斂,但發(fā)散.2）對(duì)un斂散性的判斷,可以轉(zhuǎn)化為對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)|un|的斂散性的判斷;3）當(dāng)|un|發(fā)散時(shí),不能斷定un發(fā)散,但當(dāng)用比值法或根值法得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)|un|發(fā)散時(shí),則可斷定級(jí)數(shù)un發(fā)散.(此時(shí)有|un|0,n®),從而un0,(n®)例3.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,并指明是絕對(duì)收斂還是條件收斂1）解:因?yàn)?e/21,所以|un|0,n®,從而un0,n®,因此

22、原級(jí)數(shù)發(fā)散.2）解:=1/21,|un|收斂,從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.3）解:因?yàn)?而級(jí)數(shù)發(fā)散,所以=發(fā)散.由于=0,且un=>=un+1,所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足收斂條件,從而原級(jí)數(shù)為條件收斂.4）解:由于=|sin|所以當(dāng)|sin|1,即2k±/2時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)sin=1,即=2k+/2時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)sin=-1,即=2k-/2時(shí),級(jí)數(shù)收斂.5) 解:由于|un|=>>>>1所以,|un|0,從而,un0.即原級(jí)數(shù)發(fā)散.作業(yè)：P267 8教學(xué)后記：思考題：判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？ 講授內(nèi)容 §12.4函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)教

23、學(xué)目的與要求：理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念.教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).難點(diǎn)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：講清函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的概念.學(xué)時(shí)：1學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1. 定義:如果給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)列u1(x),u2(x),u3(x),un(x),則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式:u1(x)+u2(x)+u3(x)+un(x)+ (1)稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù).對(duì)于每一個(gè)確定的值x0ÎI,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+un(x0)+ (2)這個(gè)級(jí)數(shù)(2)可能收斂也可能發(fā)散.如果(2)收斂,稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1

24、)的收斂點(diǎn);函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域.如果(2)發(fā)散,稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的發(fā)散點(diǎn).函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域.對(duì)于收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)x,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一收斂的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),因而有一確定的和s.這樣,在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)s(x),通常稱s(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù),函數(shù)s(x)的定義域就是級(jí)數(shù)(1)的收斂域,并寫成s(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+un(x)+.稱sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+un(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的前n項(xiàng)的部分和,在收斂域上有:sn(x)=s(x)稱rn(x)=s(

25、x)-sn(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)(只有x在收斂點(diǎn)處rn(x)才有意義),于是有:rn(x)=0.例1 判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性，并求其收斂域與和函數(shù).（1）; （2）（x0）.解：（1） 此級(jí)數(shù)為幾何級(jí)數(shù)（即等比級(jí)數(shù)），由第一節(jié)例1知|x|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，|x|1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.故其收斂域?yàn)椋?1,1），和函數(shù)為 （-1<x<1）.（2） 此級(jí)數(shù)也為幾何級(jí)數(shù)，公比為,由（1）知|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，其收斂域?yàn)椋?,-1）（1,+）,和函數(shù)為s（x）=/(1-)=（|x|>1）.作業(yè)：P268 9(2)(4)教學(xué)后記：思考題：判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂，是

26、絕對(duì)收斂還是條件收斂？ 講授內(nèi)容 §12.5 冪級(jí)數(shù)教學(xué)目的與要求：1、了解冪級(jí)數(shù)的收斂域的構(gòu)造及求法.2、掌握利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求和函數(shù)及利用和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)數(shù)收斂域的求法，求和函數(shù)難點(diǎn)級(jí)數(shù)的和函數(shù).教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：講清冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì).學(xué)時(shí)：1學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程一、 冪級(jí)數(shù)及其收斂性1. 冪級(jí)數(shù)的定義:稱形如a0+a1x+a2x2+anxn+¼¼(3)或a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+an(x-x0)n+¼¼(4)的級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù).其中常數(shù)a0,a1,a2,an,叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù).級(jí)數(shù)(4)作代換t=x

27、-x0可變?yōu)榧?jí)數(shù)(3)的形式,因此只討論級(jí)數(shù)(3).例如:1+x+x2+xn+, 1+x+x2+xn+都是冪級(jí)數(shù).2. 冪級(jí)數(shù)的收斂域與發(fā)散域x取數(shù)軸上哪些點(diǎn)時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂,取哪些點(diǎn)時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散?這就是冪級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題.例2.考察冪級(jí)數(shù)1+x+x2+xn+解:當(dāng)|x|<1時(shí),這級(jí)數(shù)收斂于和;當(dāng)|x|1時(shí),這級(jí)數(shù)發(fā)散.因此,這冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是開區(qū)間(-1,1),發(fā)散域是(-,-1)及1,+.如果x在區(qū)間(-1,1)內(nèi)取值,則=1+x+x2+xn+在這個(gè)例子中這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂域是一個(gè)區(qū)間,事實(shí)上,對(duì)于一般的冪級(jí)數(shù)如下定理:定理1(阿貝爾定理):如果級(jí)數(shù)anxn當(dāng)x=x0(x00)時(shí)收斂,則

28、適合不等式|x|<|x0|的一切x,這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,反之.如果級(jí)數(shù)anxn當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散,則適合不等式|x|>|x0|的一切x這冪級(jí)數(shù)發(fā)散.證明:設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)(3)的收斂點(diǎn),即級(jí)數(shù)a0+a1x0+a2x02+anx0n+收斂.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件,有anx0n=0,于是存在一個(gè)常數(shù)M,使得|anx0n|M (n=0,1,2,).這樣級(jí)數(shù)(3)的一般項(xiàng)的絕對(duì)值| anxn|=|anx0n|= |anx0n|nM|n因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時(shí),等比級(jí)數(shù)M|n收斂(公比|<1),所以級(jí)數(shù)|anxn|收斂,即級(jí)數(shù)anxn絕對(duì)收斂.定理的第二部分可用反證法證明：倘若冪級(jí)(3

29、)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散,而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂,這與假設(shè)矛盾,定理得證.由定理1可知:如冪級(jí)數(shù)在x=x0處收斂,則對(duì)開區(qū)間(-|x0|,|x0|)內(nèi)的任何x,冪級(jí)數(shù)都收斂;如冪級(jí)數(shù)在x=x0處發(fā)散,則對(duì)區(qū)間-|x0|,|x0|外的任何x,冪級(jí)數(shù)都發(fā)散.設(shè)已給冪級(jí)數(shù)在數(shù)軸上既有收斂點(diǎn)(不僅是原點(diǎn))也有發(fā)散點(diǎn).現(xiàn)在從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右方走,最初只遇到收斂點(diǎn),然后就只遇到發(fā)散點(diǎn),這兩部分的界點(diǎn)可能是收斂點(diǎn)也可能是發(fā)散點(diǎn),從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向左方走也是如此,兩個(gè)界點(diǎn)p與p在原點(diǎn)的兩側(cè),由定理1可知它們到原點(diǎn)的距離相等.從上面的幾何說(shuō)明,我們就得到重要的推論:推論

30、:如果冪級(jí)數(shù)anxn不是僅在x=0一點(diǎn)收斂,也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)確定的正數(shù)R存在,使得:當(dāng)|x|<R是時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)|x|>R時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)x=R與x=-R時(shí),冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.正數(shù)R通常叫做冪級(jí)數(shù)(3)的收斂半徑.由冪級(jí)數(shù)在x=±R處的收斂性可以決定它在區(qū)間(-R,R),-R,R),(-R,R或-R,R上收斂,這區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)(3)的收斂區(qū)間.如果冪級(jí)數(shù)(3)只在x=0處收斂,這時(shí)收斂域只有一點(diǎn)x=0,規(guī)定收斂半徑R=0,并說(shuō)收斂區(qū)間只有一點(diǎn)x=0;如果冪級(jí)數(shù)(3)對(duì)一切x收斂 ,則規(guī)定收斂半徑R=+,收斂區(qū)間是(-,+).定理2:如

31、果|=,其中an,an+1是冪級(jí)數(shù)anxn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù),則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:R=證明:考察冪級(jí)數(shù)(3)的各項(xiàng)取絕對(duì)值所成的級(jí)數(shù)|a0|+|a1x|+|a2x2|+|anxn|+ (5)這級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比為:=|x|.1)如果|= (0)存在,根據(jù)比值審斂法,則:當(dāng)|x|<1即|x|<時(shí),級(jí)數(shù)(4)收斂,從而級(jí)數(shù)(3)絕對(duì)收斂;當(dāng)|x|>1即|x|>時(shí),級(jí)數(shù)(4)發(fā)散,并且從某一個(gè)n開始|an+1xn+1|>|anxn|,因此一般項(xiàng)|anxn|0所以anxn0從而級(jí)數(shù)(3)發(fā)散,于是收斂半徑R=.2)如果=0,則對(duì)任何x0,有®0(n®),所

32、以級(jí)數(shù)(5)收斂,從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,于是R=+.3)如果=+,則對(duì)于除x=0外的一切x值,級(jí)數(shù)(3)必發(fā)散,否則由定理1知道將有 點(diǎn)x0使級(jí)數(shù)(5)收斂,于是R=0.定理3. 如果=,則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:R=證明:對(duì)于冪級(jí)數(shù)|anxn|,由于=|x|.因此由根值法可知:當(dāng)|x|<1即|x|<時(shí),級(jí)數(shù)(4)收斂,從而級(jí)數(shù)(3)絕對(duì)收斂;當(dāng)|x|>1即|x|>時(shí),級(jí)數(shù)(4)發(fā)散,并且|anxn|®+,因此一般項(xiàng)|anxn|0所 以anxn0,從而級(jí)數(shù)(3)發(fā)散,于是收斂半徑R=.當(dāng)=0時(shí),對(duì)任意的x,級(jí)數(shù)收斂,且R=+.例1. 求冪級(jí)數(shù)x-+-+(-1)n-1+的

33、收斂半徑與收斂區(qū)間.解:因?yàn)?|=1,所以收斂半徑R=1.對(duì)于端點(diǎn)x=1,級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù)1-+-+(-1)n-1+,收斂;對(duì)于端點(diǎn)x=-1,級(jí)數(shù)成為-1-,發(fā)散;因此,收斂區(qū)間是(-1,1.例2. 求冪級(jí)數(shù)1+x+x2+xn+,的收斂區(qū)間.解:因?yàn)?=|=0,所以收斂半徑R=,從而收斂區(qū)間是(-,+).例3. 求冪級(jí)數(shù)xn的收斂半徑(記號(hào)0!=1).解:因?yàn)?|=+,所以收斂半徑R=0,即級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂.例4. 求冪級(jí)數(shù)x2n的收斂半徑.解:級(jí)數(shù)缺奇次冪的項(xiàng),定理2不能直接應(yīng)用,根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑:=4|x|2.當(dāng)4|x|2<1即|x|<時(shí)級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)4|x|2&g

34、t;1即|x|>時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,所以收斂半徑R=.例5. 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.解:令t=x-1,則級(jí)數(shù)變?yōu)?因?yàn)?|=,所以收斂半徑R=2.當(dāng)t=2時(shí),級(jí)數(shù)這級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=-2時(shí),級(jí)數(shù),這級(jí)數(shù)收斂,因此收斂區(qū)間為:-2t<2,即-2x-1<2,或-1x<3,所以原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為-1,3).例6. 求冪級(jí)數(shù)xn的收斂區(qū)間.解:由于=e,因此R=1/e.當(dāng)|x|=1/e時(shí),由于=e-1/20因此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(-1/e,1/e).二、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1. 設(shè)冪級(jí)數(shù):a0+a1x+a2x2+anxn+及b0+b1x+b2x2+bnxn+分別在區(qū)間(-R,R)及(-R,R)內(nèi)收斂

35、,對(duì) 于這兩個(gè)冪級(jí)數(shù),可以進(jìn)行下列四則運(yùn)算:加法: (a0+a1x+a2x2+anxn+)+(b0+b1x+b2x2+bnxn+) =(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+(an+bn)xn+.減法: (a0+a1x+a2x2+anxn+)- (b0+b1x+b2x2+bnxn+) =(a0-b0)+(a1-b1)x+(a2-b2)x2+(an-bn)xn+.根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),上面兩式在(-R,R)與(-R,R)中較小的區(qū)間內(nèi)成立.乘法: (a0+a1x+a2x2+anxn+)(b0+b1x+b2x2+bnxn+) =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a0b

36、2+a2b0)x2+(a0bn+a1bn-1+ an-1b1+anb0)xn+這是兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的柯西乘積,可以證明上式在(-R,R)與(-R,R)中較小的區(qū)間內(nèi)成立.除法:=c0+c1x+c2x2+cnxn+,假設(shè)b00.為了決定系數(shù)c0,c1,c2,cn,可以將級(jí)數(shù)與相乘,并令乘積中各項(xiàng)系數(shù)分別等于級(jí)數(shù)中同次冪的系數(shù),即得:a 0=b0c0,a1=b1c0+b0c1,a2=b2c0+b1c1+b0c2,¼¼¼¼¼¼¼由這些方程就可以順序地求出c0,c1,c2,cn,.相除后所得冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間可能比原來(lái)兩級(jí)數(shù)收斂區(qū)間小得多.

37、2.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)性質(zhì):性質(zhì)1:設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R(R>0),則其和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)連續(xù),如果冪級(jí)數(shù)在x=R(或x=-R)也收斂,則和函數(shù)s(x)在(-R,R)(或-R,R連續(xù).性質(zhì)2:設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R(R>0),則其和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)是可導(dǎo)的,且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式:s(x)=()= 其中|x|<R,逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3:設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R(R>0),則其和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)是可積的,且有逐項(xiàng)積分公式:s(x)dx=dx=anxndx=xn+1.其中|x|<R,逐項(xiàng)積分后得到

38、的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.例7. 求級(jí)數(shù)的和函數(shù).解:此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(-1,1).設(shè)和函數(shù)為s(x)=,則有s(0)=1,從而: xs(x)= 于是xs(x)=()=xn= -1<x<1.所以:xs(x)=dx=-ln(1-x)從而:s(x)=作業(yè)：P268 11,12教學(xué)后記：復(fù)習(xí)思考題：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間： 講授內(nèi)容 § 12.6開成冪級(jí)數(shù) 教學(xué)目的與要求：1、理解函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的充要條件. 2、掌握如何將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)基本初等函數(shù)的展開式，將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)難點(diǎn)展開成冪級(jí)數(shù)的間接方法.教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：講清冪級(jí)數(shù)的充要條

39、件.學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程一、 泰勒級(jí)數(shù)1. 定義:給定函數(shù)f(x),若存在一個(gè)冪級(jí)數(shù),在某區(qū)間內(nèi)收斂,且收斂的和函數(shù)為f(x),則稱函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)f(x)的n階泰勒公式為:f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)+Rn(x) ¼ (1)其中Rn(x) =(x-x0)n+1(x0-x)為拉格朗日型余項(xiàng). 在該鄰域內(nèi)f(x)可以用n次多項(xiàng)式:(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)n來(lái)近似表達(dá),并且誤差等于余項(xiàng)的絕對(duì)值|Rn(

40、x)|.顯然,如果|Rn(x)|隨著n的增大而減小,則可以用增加多項(xiàng)式pn(x)的項(xiàng)數(shù)來(lái)提高精確度.如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x),f(x),f(n)(x),且假設(shè)多項(xiàng)式(x)的項(xiàng)數(shù)趨向無(wú)窮,則有冪級(jí)數(shù):f(x0)+f(x0)(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)+ 稱此冪級(jí)數(shù)為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù).顯然,當(dāng)x=x0時(shí),f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0),但除了x=x0外,它是否一定收斂?如果它收斂,它是否一定收斂于f(x)?關(guān)于這些問(wèn)題,有下列定理.定理:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f

41、(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)滿足:Rn(x)=0 (xÎU(x0).證明:(必要性)設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù),即對(duì)"xÎU(x0),有:f(x)=f(x0)+f(x0(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)n+ 將f(x)的n階泰勒公式寫成:f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 其中sn+1(x)是f(x)泰勒級(jí)數(shù)的前(n+1)項(xiàng)和,由于f(x)為泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù),即有:sn+1(x)=f(x),所以Rn(x)=f(x)-sn+1(x)=f(x)-f(x)=0.(充分性)設(shè)Rn(x)=0對(duì)一切xÎU(x0)成立,由f(x)的n階

42、泰勒公式有:sn+1(x)=f(x)-Rn(x),令n®,得sn+1(x)=f(x)-Rn(x)=f(x),即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)有U(x0)內(nèi)收斂,并且收斂于f(x).在(3)式中取x0=0,得:f(0)+f(0)x+x2+xn+, 稱此級(jí)數(shù)為函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).定理:函數(shù)f(x)的麥克勞林展開式是唯一的.證明:如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R,R)內(nèi)能展開成x的級(jí)數(shù),即"xÎ(-R,R),有:f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn+那末在收斂區(qū)間內(nèi)由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)有:f(x)=a1+2a2x+3a3x2+nanxn-1+f(x)=2!a2+3&#

43、215;2a3x+n(n-1)anxn-2+f(x)=3!a3+n(n-1)(n-2)anxn+¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼f(n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1)2an+1x+將x=0代入得:a0=f(0);a1=f(0);a2=;an=二、 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1. 直接法將函數(shù)f(x)展開成x的冪級(jí)數(shù)的方法為:1) 求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù): f(x),f(x),¼,f(n)(x),¼如果在x=0處的某階導(dǎo)數(shù)不存在,則停止.表明

44、此函數(shù)不能展成x的冪級(jí)數(shù);2) 計(jì)算:f(0),f(0),¼,f(n)(0),¼3) 寫出冪級(jí)數(shù): f(0)+f(0)x+x2+xn+,求出收斂半徑R.4) "xÎ(-R,R),討論余項(xiàng)Rn(x)= xn+1 (0-x)是否收斂到零.如果有: Rn(x)=xn+1=0,則:f(x)= f(0)+f(0)x+x2+xn+xÎ(-R,R)注意:對(duì)端點(diǎn)x=±R要另外討論.例1. 將函數(shù)f(x)=ex展成x的冪級(jí)數(shù).解:所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為:f(n)(x)=ex(n=1,2,),因此:f(n)(0)=1(n=0,1,2,),這里記號(hào)f(0)(

45、0)=f(0).于是得級(jí)數(shù):1+x+,它的收斂半徑R=+.對(duì)于任何有限的數(shù)x、,(0-x),余項(xiàng)的絕對(duì)值為:|Rn(x)|=<e|x|因?yàn)閑|x|有限,而是收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),所以當(dāng)n®時(shí),e|x|®0,即當(dāng)n®時(shí),有|Rn(x)|®0,于是得展開式:ex=1+x+(-<x<+). 例2. 將函數(shù)f(x)=sin x展開成x的冪級(jí)數(shù).解:給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(n)(x)=sin(x+n)(n=1,2,¼).f(n)(0)順序循環(huán)地取0,1,0,-1,(n=0,1,2,3,),于是得級(jí)數(shù)x-+-+(-1)n-1+,收斂半徑R=+.

46、對(duì)于任何有限的數(shù)x,(在0與x之間),由于:|Rn(x)|=®0(n®).因此得展開式sin x= x-+-+(-1)n-1+ (-<x<+).例3. 將函數(shù)f(x)=(1+x)m展開成x的冪級(jí)數(shù).其中m為任意常數(shù).解:f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為:f(x)=m(1+x)m-1,f(x)=m(m-1)(1+x)m-2,f(n)(x)=m(m-1)(m-2)(m-n+1)(1+x)m-n,f(0)=1,f(0)=m,f(0)=m(m-1),f(n)(0)=m(m-1)(m-n+1), 于是得級(jí)數(shù):1+mx+x2+xn+.由于:®1(n®),因此,對(duì)于任

47、意常數(shù)m這級(jí)數(shù)在開區(qū)間(-1,1),內(nèi)收斂.為了避免直接研究余項(xiàng),設(shè)這級(jí)數(shù)在開區(qū)間(-1,1)內(nèi)收斂到函數(shù)F(x):F(x)=1+mx+x2+xn+(-1<x<1),我們來(lái)證明F(x)=(1+x)m(-1<x<1)逐項(xiàng)求導(dǎo),得F(x)=m1+x+xn-1+,兩邊各乘以(1+x),并把含有xn(n=1,2,)的兩項(xiàng)合并起來(lái),根據(jù)恒等式+=(n=1,2,),有(1+x)F(x)=1+mx+x2+xn+=mF(x)(-1<x<1).現(xiàn)在令(x)=,于是(0)=F(0)=1,且(x)=0,所以(x)=c(常數(shù)),但是(0)=1,從而(x)=1,即F(x)=(1+x)

48、m.因此在區(qū)間(-1,1)內(nèi),我們有展開式(1+x)m=1+mx+x2+xn+(-1<x<1). 在區(qū)間的端點(diǎn),展開式是否成立要看m的數(shù)值而定.此公式叫做二項(xiàng)展開式,特殊地,當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),即為二項(xiàng)式定理.對(duì)應(yīng)于m=,-的二項(xiàng)展開式分別為=1+x-x2+x3-x4+ (-1x1),=1-x+x2-x3+x4- (-1<x1).關(guān)于 ,ex ,sin x ,cosx, ln(1+x)和(1+x)m冪級(jí)數(shù)展開式可以直接引用.2.間接法:例4. 將函數(shù)cosx展開成x的冪級(jí)數(shù).解:逐項(xiàng)求導(dǎo):cos x=sinx=1-+-+(-1)n+ (-<x<+).例5. 將函數(shù)展開

49、成x的冪級(jí)數(shù).解:因?yàn)?1-x+x2-+(-1)nxn+(-1<x<1),把x換成x2,得=1-x2+x4-+(-1)nx2n+(-1<x<1)必須指出,假定函數(shù)f(x)在開區(qū)間(-R,R)內(nèi)的展開式f(x)=nxn (-R<x<R)已經(jīng)得到,如果上式的冪級(jí)數(shù)在該區(qū)間的端點(diǎn)x=R(或x=-R)仍收斂,而函數(shù)f(x)在x=R(或x=-R)處有定義且連續(xù),那末根據(jù)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性,該展開式對(duì)x=R(或x=-R)也成立.例6. 將函數(shù)f(x)=ln(1+x)展開成x的冪級(jí)數(shù).解:f(x)=1-x+x2-x3+(-1)nxn+(-1<x<1),所以

50、將上式從0到x逐項(xiàng)積分,得:ln(1+x)=x-+-+(-1)n+(-1<x<1). 由于右端的冪級(jí)數(shù)當(dāng)x=1時(shí)收斂,而ln(1+x)在x=1處有定義且連續(xù).因此展開式對(duì)x=1也成立,即有: ln(1+x)=x-+-+(-1)n+(-1<x1).例7. 將函數(shù)sin x展開成(x-)的冪級(jí)數(shù).解:因?yàn)閟in x=sin+(x-)=sincos(x-)+cossin(x-)=cos(x-)+sin(x-),cos(x-)=1-+- (-<x<+),sin(x-)=(x-)-+- (-<x<+),sin x= 1+(x-)-+ (-<x<+).三、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開式的應(yīng)用例8. 利用麥克勞林級(jí)數(shù)計(jì)算之值解 令原式=，則，即原式例9.計(jì)算極限作業(yè)：P268 13(15),14教學(xué)后記：思考題： 將函數(shù)f(x)=展開成的冪級(jí)數(shù).，并指出展開式成立的區(qū)間.講授內(nèi)容 12.7傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)目的與要求： 1、理解函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的概念. 2、掌握求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式的方法.3、理解非周期函數(shù)的周期延拓.4、 掌握將上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù).5、掌握一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù).教學(xué)