高等數(shù)學(xué)性質(zhì)定理

1、高等數(shù)學(xué)性質(zhì)定理多元函數(shù)微分性質(zhì)一L(有界性和最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.性質(zhì)二L(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值.性質(zhì)三L(一致連續(xù)性定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)定理 如果函數(shù)z=f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。 （即二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下的求導(dǎo)與次序無關(guān)）全微分的定義 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x,y）全增量z=f(x+x,y+y)-f(x,y)可表示為其中A.B不依賴于，而僅與x.y有關(guān)

2、，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，而稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x,y）的全微分，記作dz，即dz=2 / 12定理（全微分必要條件）如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)，必定存在，且函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分為 dz=定理（全微分充分條件）如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1. 復(fù)合函數(shù)的中間便量均為一元函數(shù)的情形定理一 如果函數(shù)u=(t)及v=（t）都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)（u,v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f(t),(t)在點(diǎn)t可導(dǎo)，

3、且有2. 復(fù)合函數(shù)的中間便量均為多元函數(shù)的情形定理二 如果函數(shù)u=(x,y)及v=（x,y）都在點(diǎn)(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)（u,v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f(x,y),(x,y)在點(diǎn)(x,y)可導(dǎo)，且有3. 復(fù)合函數(shù)的中間便量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形定理三 如果函數(shù)u=(x,y)在點(diǎn)(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v=（y）在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)（u,v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f(x,y),(y)在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有，全微分形勢不變性 設(shè)函數(shù)z=f(u，v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分dz=如果

4、u、v又是x、y的函數(shù)數(shù)u=(x,y)及v=（x,y），且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f(x,y),(x,y)的全微分為dz=隱函數(shù)存在定理一 設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P（）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F（）=0，F(xiàn)（）0，則方程F（x,y）=0在點(diǎn)（）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足條件，并有隱函數(shù)存在定理二 設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P（）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F（）=0，F(xiàn)（）0，則方程F（x,y,z）=0在點(diǎn)（）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x,y),它滿足條件，并有,隱函數(shù)存在定理三 設(shè)函

5、數(shù)F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在點(diǎn)P（）的某一鄰域內(nèi)具有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F（）=0，G（）=0，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）；則點(diǎn)P（）不等于零，則方程組F(x,y,u,v)=0、G(x,y,u,v)=0在點(diǎn)（）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u（x,y）,v=v(x,y),它滿足條件，并有,重積分二重積分定義 設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n各校閉區(qū)域其中表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)（），作乘積f（）(i=1,2,3,n)并作和，如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大

6、值趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作，即二重積分的性質(zhì)性質(zhì)一 設(shè)為常數(shù)，則性質(zhì)二 如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在個(gè)部分閉區(qū)域上的二重積分的和。（其中）性質(zhì)三 如果在D上，f(x,y)=1,為D的面積，則性質(zhì)四 如果在D上， ，則有特殊地，由于，又有性質(zhì)五 設(shè)M、m分別是f（x,y）在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，是D的面積，則有性質(zhì)六(二重積分中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)使得三重積分定義 設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)。將任意分成n個(gè)小閉區(qū)域其中表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積。在每個(gè)上任取一點(diǎn)，作乘積f（i=1,2,3,n）,并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值趨于零時(shí)這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域上的三重積分，記作，即其中dv叫做體積元素三重積分的計(jì)算1、 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分2、 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 =常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面，=常數(shù)，即過z軸的半平面，z=常數(shù)，即與xOy面平行的平面3、 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分