高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見(jiàn)題型蘇教版知識(shí)精講

1、高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見(jiàn)題型蘇教版【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：三角函數(shù)常見(jiàn)題型二、高考要求：了解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解同角關(guān)系；掌握三角函數(shù)的兩角和（差）的正弦、余弦和正切；理解正余弦定理并會(huì)應(yīng)用【典型例題】I、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來(lái)本節(jié)主要幫助考生掌握?qǐng)D象和性質(zhì)并會(huì)靈活運(yùn)用例1、函數(shù)的圖象為，如下結(jié)論中正確的是 （寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）圖象關(guān)于直線對(duì)稱；圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象答案：例2、下面有五個(gè)命題：函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是終邊

2、在y軸上的角的集合是a|a=|在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)把函數(shù)函數(shù)其中真命題的序號(hào)是 （寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）解析：，正確；錯(cuò)誤；，和在第一象限無(wú)交點(diǎn)，錯(cuò)誤；正確；錯(cuò)誤故選例3、設(shè)z1=m+（2m2）i，z2=cos+（+sin）i，其中m，R，已知z1=2z2，求的取值范圍命題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問(wèn)題的能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用知識(shí)依托：主要依據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題來(lái)解決錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法來(lái)解決問(wèn)題技巧與方法：對(duì)于解法一，主要運(yùn)用消參和分離變量的方法把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函

3、數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題；對(duì)于解法二，主要運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題解法一：z1=2z2，m+（2m2）i=2cos+（2+2sin）i，=12cos2sin=2sin2sin1=2（sin）2當(dāng)sin=時(shí)，取最小值，當(dāng)sin=1時(shí)，取最大值2解法二：z1=2z2 ，=1m4（34）m2+428=0，設(shè)t=m2，則0t4，令f（t）=t2（34）t+428，則或f（0）·f（4）00或02的取值范圍是，2例4、如下圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（x+）+b（1）求這段時(shí)間的最大溫差（2）寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解

4、析式命題意圖：本題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點(diǎn)題型，要求考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)分析、思考，充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則知識(shí)依托：依據(jù)圖象正確寫(xiě)出解析式錯(cuò)解分析：不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個(gè)特定系數(shù)和字母技巧與方法：數(shù)形結(jié)合的思想，以及運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式解：（1）由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是3010=20（）；（2）圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin（x+）+b的半個(gè)周期的圖象=146，解得=，由圖示A=（3010）=10，b=（30+10）=20，這時(shí)y=10sin（x+）+20，將x=6，y=10代入上式可取=綜上所求的解析式為y

5、=10sin（x+）+20，x6，14例5、已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）sin2x+sinxcosx（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識(shí)，還考查計(jì)算變形能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力知識(shí)依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識(shí)錯(cuò)解分析：在求f-1（1）的值時(shí)易走彎路技巧與方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化，逆向思維解：（1）f（x）=2cosxsin（x+）sin2x+sinxcosx=2cosx（sinxcos+cosxsin）sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2

6、x=2sin（2x+）f（x）的最小正周期T=（2）當(dāng)2x+=2k，即x=k （kZ）時(shí)，f（x）取得最小值2方法歸納：本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題及解決的方法主要有：1、考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用2、三角函數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng)3、三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的綜合應(yīng)用此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用II、三角函數(shù)的式值例6、下列各式中，值為的是（）（A）（B）

7、（C）（D）答案：B例7、不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高知識(shí)依托：熟知三角公式并能靈活應(yīng)用錯(cuò)解分析：公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò)技巧與方法：解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，使解法更簡(jiǎn)單更精妙，需認(rèn)真體會(huì)解法一：sin220°+cos280°+sin20°cos80°= （1cos40°）+ （1+cos160°）+ sin20°cos80°=1co

8、s40°+cos160°+sin20°cos（60°+20°）=1cos40°+ （cos120°cos40°sin120°sin40°）+sin20°（cos60°cos20°sin60°sin20°）=1cos40°cos40°sin40°+sin40°sin220°=1cos40°（1cos40°）= 解法二：設(shè)x=sin220°+cos280°+si

9、n20°cos80°y=cos220°+sin280°cos20°sin80°，則x+y=1+1sin60°=，xy=cos40°+cos160°+sin100°=2sin100°sin60°+sin100°=0x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=例8、已知<<<，（I）求的值（II）求分析：本題考查三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號(hào)，已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算

10、能力解：（I）由，得，于是（II）由，得又，由得：所以例9、設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x2acosx（2a+1）的最小值為f（a），試確定滿足f（a）=的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值命題意圖：本題主要考查最值問(wèn)題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力知識(shí)依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題錯(cuò)解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對(duì)區(qū)間的分類易出錯(cuò)技巧與方法：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問(wèn)題化歸為二次函數(shù)問(wèn)題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等解：由y=2（cosx）2及cosx1，1得：f（a）=f（a）=，14a=a=2，+故2a1=，解得：a=1，此時(shí)，y=2（cosx+）2+，當(dāng)c

11、osx=1時(shí)，即x=2k，kZ，ymax=5方法歸納：本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題以及解決的方法主要有：1、求值問(wèn)題的基本類型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式求值，4°求函數(shù)式的最值或值域，5°化簡(jiǎn)求值2、技巧與方法：1°要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用3°對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，很難入手的問(wèn)題，可利用分析法4°求最值問(wèn)題，常用配方法、換元法來(lái)解決III、三角函數(shù)的綜合運(yùn)用

12、三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧例10、在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60°西、俯角為30°的C處（1）求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；（2）又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問(wèn)此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力知識(shí)依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)

13、系錯(cuò)解分析：考生對(duì)方位角識(shí)別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò)技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來(lái)解決問(wèn)題解：（1）在RtPAB中，APB=60° PA=1，AB= （千米）在RtPAC中，APC=30°，AC= （千米）在ACB中，CAB=30°+60°=90°（2）DAC=90°60°=30°sinDCA=sin（180°ACB）=sinACB=sinCDA=sin（ACB30°）=sinACB·cos30°cosACB·sin30°在ACD中，據(jù)正

14、弦定理得，答：此時(shí)船距島A為千米例11、解不等式分析：本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，含絕對(duì)值不等式的解法，考查基本運(yùn)算能力解：因?yàn)閷?duì)任意，所以原不等式等價(jià)于即，故解為所以原不等式的解集為例12、設(shè)函數(shù)，其中，將的最小值記為（I）求的表達(dá)式；（II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值分析：本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析解決多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值與最值等問(wèn)題的綜合能力本小題滿分14分解：（I）我們有 由于，故當(dāng)時(shí)，達(dá)到其最小值，即（II）我們有列表如下：極大值極小值由此可見(jiàn)，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，

15、極小值為，極大值為例13、已知為的最小正周期，且a·b求的值分析：本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運(yùn)算能力和推理能力本小題滿分12分解：因?yàn)闉榈淖钚≌芷冢室?，又故由于，所以?4、已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力解：（） 又，即，（），且，即的取值范圍是例15、如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，且該函數(shù)的最小正周期為（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值解：（1）將，代入

16、函數(shù)中得，因?yàn)?，所以由已知，且，得?）因?yàn)辄c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，且，所以，從而得或，即或【模擬試題】1、是第四象限角，則 2、給出四個(gè)命題：（1）若sin2A=sin2B，則ABC為等腰三角形；（2）若sinA=cosB，則ABC為直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C2，則ABC為鈍角三角形；（4）若cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，則ABC為正三角形以上正確命題的個(gè)數(shù)是 3、在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_(kāi)4、函數(shù)f（x）=（）cosx在，上的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)5、設(shè)0，若函數(shù)f（x）=2sinx在上單調(diào)遞增，則的取值范

17、圍是_6、已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值_7、在ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos（2A+C）=，sinB=，則cos2（B+C）=_8、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積9、函數(shù)的最小正周期和最大值分別為 ， 10、在中，已知，（）求的值；（）求的值11、已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值12、已知、為銳角，且x（+）0，試證不等式f（x）=x2對(duì)一切非零實(shí)數(shù)都成立13、是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，

18、求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說(shuō)明理由14、設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，cR），已知不論、為何實(shí)數(shù)恒有f（sin）0和f（2+cos）0（1）求證：b+c=1；（2）求證c3；（3）若函數(shù)f（sin）的最大值為8，求b，c的值試題答案1、答案：2、答案：2解析：其中（3）（4）正確3、解析：A+B+C=，A+C=2B，答案：4、答案：解：在，上，y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是，0及，而f（x）依cosx取值的遞增而遞減，故，0及，為f（x）的遞減區(qū)間5、解：由x，得f（x）的遞增區(qū)間為，由題設(shè)得6、解法一：，0+，sin（）=sin2=sin（）+（+）=sin（）cos（+）+cos

19、（）sin（+）解法二：sin（）=，cos（+）=，sin2+sin2=2sin（+）cos（）=sin2sin2=2cos（+）sin（）=sin2=7、解析：A為最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180°cos（2A+C）=，sin（2A+C）=C為最大角，B為銳角，又sinB=故cosB=即sin（A+C）=，cos（A+C）=cos（B+C）=cosA=cos（2A+C）（A+C）=，cos2（B+C）=2cos2（B+C）1=答案：8、解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：S=SABD+SCDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinCA+C=180°，sinA=sinC故S=（AB·AD+BC·CD）sinA=（2×4+6×4）sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22AB·AD·cosA=2016cosA在CDB中，BD2=C