題型分類匯編二計(jì)算題

1、題型三、計(jì)算題：注意：計(jì)算題部分是整個(gè)高等數(shù)學(xué)(經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué))占分最重的一部分，希望大家好好鞏固、做到舉一反三.(一) 求數(shù)列、函數(shù)的極限：1. 求數(shù)列的極限：思路點(diǎn)撥：數(shù)列極限的典型特征便是無限項(xiàng)的加和，所以無法運(yùn)用極限的四則運(yùn)算，此時(shí)求解的方法是充分運(yùn)用高中階段數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，主要方法有：拆項(xiàng)求和（等差數(shù)列與等比數(shù)列的加減）、公式法（適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列）、裂項(xiàng)相消法（適用于分母為相鄰幾項(xiàng)的乘積）、倒序相加法、錯(cuò)位相減法（適用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合）. 其中以公式法和裂項(xiàng)相消法為掌握的重點(diǎn).(1) 公式法等差數(shù)列、等比數(shù)列求和：已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn=na

2、1+n(n-1)d/2; （d為公差）Sn=An2+Bn；A=d/2，B=a1-(d/2)Sn=2a1+(n-1)d n/2 已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則(2) 分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. (3) 倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.(4) 錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.(5)

3、通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和.(6) 裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 常用裂項(xiàng)形式有：；，； ；.例題1. 求極限.例題2. 求極限.例題3. 求數(shù)列極限例題4. 求極限.2. 求函數(shù)的極限：思路點(diǎn)撥：常見的求極限問題歸納為八類主要題型，現(xiàn)總結(jié)如下;模型一 型方法：上下同除以的最高次冪例題5. 求極限例題6. 求極限例題7. 求函數(shù)極限例題8. 求極限例題9. 求極限 模型二：型原式=例題10. 求極限例題11. 求極限例題12. 求極限例題13. 求極限模型三：若，有界例題14. 求極

4、限例題15. 求極限例題16. 求極限模型四：(0/0型) ：適用于含有三角函數(shù)的函數(shù)求極限，實(shí)際運(yùn)用時(shí)經(jīng)常是它的變量替換形式，即當(dāng)limxx0（x）=0時(shí)，limxx0sin（x）/ （x）=1例題17. 求極限例題18. 求極限例題19. 求極限例題20. 求極限例題21. 求極限模型五：(型)識(shí)別此類題型尤為重要，主要特征為未定式步驟如下：這種模型適用于分式函數(shù)冪的模型，常用到分離常數(shù)法和湊配法.通常運(yùn)用它的變量替換形式，即當(dāng)limxx0=時(shí)，有l(wèi)im xx01+1/（x） （x）=e成立. 若是一元一次分式函數(shù)，則采用分離常數(shù)法；若是一元二次分式函數(shù)，則采用湊配法，即運(yùn)用完全平方法或平

5、方差法.例題22. 求極限例題23. 求極限例題24. 求極限例題25. 求極限例題26. 求極限模型六： 等價(jià)無窮小替換：替換公式： 替換原則：乘除可換，加減忌換.例題27. 求極限例題28. 求極限例題29. 求極限例題30. 求極限例題31. 求極限例題32. 求極限例題33. 求極限例題34. 求極限模型七：洛必達(dá)法則：洛必達(dá)法則：若且在的鄰域附近可導(dǎo). 如果成立則. 注：洛必達(dá)法則處理的形式必須是未定式。對(duì)于,，等必須變形為形式. 方法是對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)，再代入檢驗(yàn)，一直到極限不再是如上所述的不定式為止.洛必達(dá)法則是一個(gè)充分性的法則，若不存在，則說明此方法失效.洛必達(dá)法則只要前提正

6、確，可重復(fù)使用.一般而言，洛必達(dá)法則和求極限模型五配合使用效果會(huì)更佳.注意其和連續(xù)，可導(dǎo)概念結(jié)合的綜合題.對(duì)于衍生不定式的處理方式現(xiàn)總結(jié)如下：0型：設(shè)f（x）g（x）為0型不定式，則lim f（x）g（x）=limf（x）/1 /g（x）是0/0型（或lim g（x）/1/f（x）是/型）；型：設(shè)f（x）g（x）為型不定式，則limf（x）g（x）=lim（1/1/f（x）1/1/g(x) ）=lim1/g（x）1/f（x）/1/f（x）1/g（x）是0/0型（即通分）；冪指形式的不定式（如00型、1型、0型）：設(shè)limf（x）g（x）為冪指形式的不定式，則limf（x）g（x）=limeg（

7、x）f（x）=elimg（x）f（x），而limg（x）f（x）為0型不定式，可將其化為0/0型或/型不定式，進(jìn)而利用洛必達(dá)法則求解.例題35. 求極限例題36. 求極限例題37. 求極限例題38. 求極限例題39. 求極限例題40. 求極限例題41. 求極限例題42. 求極限例題43. 求極限例題44. 求極限模型八：變上限積分有關(guān)積分：變上限積分是函數(shù)的另一種重要形式。求導(dǎo)公式（其中）是一個(gè)非常重要的公式，它提供了利用導(dǎo)數(shù)來研究它的工具更一般的結(jié)論是：例題45. 求極限例題46. 求極限(二) 函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)之間的關(guān)系：思路點(diǎn)撥：函數(shù)的極限存在、連續(xù)、可導(dǎo)、可微四者之間的關(guān)系是：(1) 可

8、微與可導(dǎo)之間的關(guān)系: 函數(shù)在x處可微在x處可導(dǎo).(2) 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)x處連續(xù)，但函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo).(3) 導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：存在.(4) 函數(shù)在某一點(diǎn)處存在極限未必在該點(diǎn)處連續(xù)，但函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，在該點(diǎn)處也一定存在極限.(5) ,其中分別表示左、右極限.例題1. ，若在處連續(xù)，求.例題2. ，若在處連續(xù)，求.例題3. 討論函數(shù),在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.(三) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分：思路點(diǎn)撥：1. 復(fù)合函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要弄清楚是哪個(gè)函數(shù)與哪個(gè)函數(shù)的復(fù)合，可參照基本初等函數(shù)即可分辨出被復(fù)合的部分.因此我們將求導(dǎo)的所謂“鏈?zhǔn)揭?guī)則”等價(jià)轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)“口訣”：“外

9、及里；號(hào)變號(hào)；則用則；層間乘”. 注意：導(dǎo)數(shù)符號(hào)“”在不同位置表示對(duì)不同變量求導(dǎo)數(shù)，這就要求一定要看清楚導(dǎo)數(shù)符號(hào)的位置.例如f（arcsinx）表示對(duì)arcsinx求導(dǎo)，即f（arcsinx）=df（arcsinx）/d（arcsinx），而f（arcsinx）表示對(duì)x求導(dǎo)，即f（arcsinx）=d f（arcsinx）/d（arcsinx）d（arcsinx）/d（x）= f（arcsinx）（arcsinx）= f（arcsinx）1/（1-x2）1/2（-1x1）.分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，必須驗(yàn)證在分界點(diǎn)處的可導(dǎo)性；若不存在可導(dǎo)性，則分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)無意義，最后所求得的導(dǎo)函數(shù)中不包括分

10、界點(diǎn)；若在分界點(diǎn)處可導(dǎo)，則分段函數(shù)中的各個(gè)部分才可采用求導(dǎo)法則以及求導(dǎo)公式，并且最后所求得的導(dǎo)函數(shù)中包含分界點(diǎn).驗(yàn)證可導(dǎo)性時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)的定義判斷.2. 求復(fù)合函數(shù)的微分：在可導(dǎo)可微，且.可作為微分求解公式.例題1. 已知函數(shù)，求.例題2. 已知函數(shù)，求.例題3. 已知函數(shù)，求.例題4. 已知函數(shù)，求.例題5. 已知函數(shù)，求.例題6. 已知函數(shù)，求例題7. 已知函數(shù).（1）求；（2）試判斷在處的連續(xù)性.例題8. 已知函數(shù)，求.例題9. 已知函數(shù)，求.例題10. 已知函數(shù)，求.(四) 求隱函數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1. 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：思路點(diǎn)撥：隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法一般有三種方法：(1) 直

11、接求導(dǎo)法：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，要記住是的函數(shù)，則的函數(shù)是的復(fù)合函數(shù). 例如，等均是的復(fù)合函數(shù). 對(duì)求導(dǎo)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)連鎖法則做.(2) 公式法. 由知 其中，分別表示對(duì)和的偏導(dǎo)數(shù).(3) 利用微分形式不變性. 在方程兩邊求微分，然后解出.(4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)、多因子乘冪型函數(shù)求導(dǎo)，方法如下： 將函數(shù)y=f（x）兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得到y(tǒng)=f（x）； 利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法進(jìn)行求導(dǎo)，得到y(tǒng)的一個(gè)表達(dá)式； 將y用原式y(tǒng)=f（x）代換，此時(shí)新得到的表達(dá)式即為y的最終表達(dá)式.(5) 底數(shù)求導(dǎo)法：底數(shù)求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法一樣，都是適用于冪指函數(shù)、多因子乘冪型函數(shù)求導(dǎo)，具體方法如下： 將函數(shù)

12、y=f（x）g（x）取自然底數(shù)，得到y(tǒng)=eg（x）f（x）； 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）進(jìn)行求導(dǎo)； 將含有自然底數(shù)的函數(shù)表達(dá)式還原為f（x）.例題1. 由確定隱函數(shù)，求.例題2. 由方程確定隱函數(shù), 求.例題3. 已知由方程確定，求.2. 求由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)：思路點(diǎn)撥： 已知，求,.求導(dǎo)公式： =，=.例題4. 已知 求,.例題5. 已知，求，并給出時(shí)的切線和法線方程.例題6. 已知由確定，求.(五) 導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用求切線方程、法線方程：思路點(diǎn)撥：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：.

13、若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為. 下面將列舉四種常見的類型及解法.：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程.方法總結(jié)：此類題較為簡單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可.例如：曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D. ：已知斜率，求曲線的切線方程.方法總結(jié)：此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決.例如：與直線的平行的拋物線的切線方程是（）A. B. C. D. ：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程.方法總結(jié)：過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法.例如：求過曲線上的點(diǎn)的切線方程.：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程.方法

14、總結(jié)：此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解.例如：求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.例如：已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程.例如：曲線在點(diǎn)處的法線方程為_ .例題1. 已知函數(shù)，求過的切線方程.例題2. 過點(diǎn)引拋物線=的切線，求切線方程.例題3. 已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式，其中是當(dāng)時(shí)比的高階無窮小，且 在處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(六) 一元函數(shù)的不定積分（有理分式函數(shù)、三角函數(shù)、無理根式函數(shù)）思路點(diǎn)撥：求不定積分的四種基本方法：1. 直接積分法：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分！例題1. 求不定積分 例題2. 求不定積分

15、例題3. 求不定積分 例題4. 求不定積分 例題5. 求不定積分例題6. 求不定積分 例題7. 求不定積分 例題8. 求不定積分 例題9. 求不定積分 例題10. 求不定積分 例題11. 求不定積分 例題12. 求不定積分 例題13. 求不定積分 例題14. 求不定積分 例題15. 求不定積分 例題16. 求不定積分 例題17. 求不定積分 例題18. 求不定積分 例題19. 求不定積分 例題20. 求不定積分例題21. 設(shè)，求.例題22. 一曲線通過點(diǎn)，且在任意點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的方程.2. 第一換元法(湊微分法)：做數(shù)學(xué)題首先需要審題，審題看看是否需要湊微分

16、. 直白的講，湊微分其實(shí)就是看看積分表達(dá)式中，有沒有成塊的形式作為一個(gè)整體變量，這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對(duì)微積分基本公式的熟練掌握.基本原理：.一些常見的固定類型 等等.?？寄Ｐ停河欣矸质胶瘮?shù)、三角函數(shù)、無理根式函數(shù)的不定積分.有理分式函數(shù)：被積函數(shù)為有理函數(shù)的形式時(shí)，要區(qū)分被積函數(shù)為有理真分式還是有理假分式，若是假分式，通常將被積函數(shù)分解為一個(gè)整式加上一個(gè)真分式的形式，然后再具體問題具體分析. 也可以采用待定系數(shù)法解決有理分式函數(shù)的不定積分.四中典型的有理分式函數(shù)的不定積分：變分子為，再分項(xiàng)積分.變分子為，再分項(xiàng)積分.求R(x)dx的步驟：1. 將 Q(x) 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次式和

17、二次質(zhì)因式的乘積 .2. 將R(x)=P(x)/Q(x)拆成若干個(gè)部分分式之和. (分解后的部分分式必須是最簡分式).3. 求出各部分分式的原函數(shù) , 即可求得R(x)dx利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和，從而利用有理真分式的積分法求解.注意：若被積函數(shù)為(hx+e)/(ax2+bx+c)型，則他可分為(2ax+b)/(ax2+bx+c)與1/(ax2+bx+c)之和，前一式可用第一換元法，后一式分三種情況討論：、當(dāng)= b2-4ac0時(shí)，將ax2+bx+c因式分解，被積函數(shù)分項(xiàng)后，結(jié)合裂項(xiàng)相消用第一換元法即可，所利用的公式為= b2-4ac=0時(shí)，將ax2+bx+c寫

18、成(Ax2+B)，再用第一換元法，所利用的公式為xu+1/u+1+C（u-1）= b2-4ac0時(shí)，配方得ax2+bx+c=(x+A)2+B，再利用第一換元法，所利用的公式為=三角函數(shù)： 三角函數(shù)的不定積分可以利用就近原則巧妙使用湊微分法求解不定積分.無理根式函數(shù)：可以采用第一換元法(湊微分法)，也可以采用第二換元法(變量替換法)去解決相關(guān)不定積分的問題，具體詳見2.例題23. 求不定積分 例題24. 求不定積分 例題25. 求不定積分 例題26. 求不定積分 例題27.求不定積分 例題28. 求不定積分 例題29. 求不定積分 例題30. 求不定積分例題31. 求不定積分例題32. 求不定積

19、分例題33. 求不定積分例題34. 求不定積分例題35. 求不定積分 例題36. 求不定積分 例題37. 求不定積分 例題38. 求不定積分 例題39. 求不定積分 例題40. 求不定積分例題41. 求不定積分例題42. 求不定積分 例題43. 求不定積分例題44. 求不定積分 例題45. 求不定積分 例題46. 求不定積分例題47. 求不定積分 例題48. 求不定積分 例題49. 求不定積分 例題50. 求不定積分 例題51. 求不定積分 例題52. 求不定積分例題53. 求不定積分 例題54. 求不定積分 例題55. 求不定積分例題56. 求不定積分例題57. 求不定積分例題58. 求不定

20、積分 例題59. 求不定積分例題60. 求不定積分例題61. 求不定積分 例題62. 求不定積分 例題63. 求不定積分 例題64. 求不定積分 例題65. 求不定積分 例題66. 求不定積分 例題67. 求不定積分 例題68. 求不定積分 例題69. 求不定積分 例題70. 求不定積分例題71. 求不定積分3. 第二換元法(變量替換法)：常用的變量替換：三角替換、冪函數(shù)替換、指數(shù)函數(shù)替換、倒代換下面具體介紹這些方法.根式代換無理一次根式，設(shè)：；三角函數(shù)代換無理二次根式：被積函數(shù)含根式所作代換三角形示意圖倒代換被積函數(shù)的分母為xn(x2a2) 或xn(a2-x2) 形式時(shí)，?？赏ㄟ^倒代換t=1

21、/x，消去分母中的xn的因子，當(dāng)有理函數(shù)的分母比分子至少高一次冪時(shí)，倒代換通常有效.指數(shù)替換被積函數(shù)含ex時(shí)，由t=ex，設(shè)x=t；被積函數(shù)含(ex+a) 或(ex-a) 時(shí)，由(ex+a) 或(ex-a) =t，設(shè)x=(t2-a)或(t2+a).(1)根式代換：題型.方法：令，則.例題72. 求不定積分例題73. 求不定積分例題74. 求不定積分例題75. 求不定積分(2)三角換元法：題型 變換 變換 變換例題76. 求不定積分例題77. 求不定積分例題78. 求不定積分例題79. 求不定積分例題80. 求不定積分(3)倒代換：例題81. 求不定積分(4)指數(shù)代換：例題82. 求不定積分4.

22、 分部積分法適用于特定函數(shù)相乘時(shí)的積分公式：(1)模型：選取u=Pm(x)，v(x)=ex例題83. 求不定積分例題84. 求不定積分例題85. 求不定積分(2)或模型：選取u=Pm(x)，v(x)=cosx或sinx例題86. 求不定積分例題87. 求不定積分例題88. 求不定積分例題89. 求不定積分(3)或模型：可以選取u=ex，也可以選取cosx或sinx，最后利用解方程思想求解即可.例題90. 求不定積分(4)模型：選取u=(ax+b)或arcsin(cx+d)、arctan(mx+n)，v(x)= Pm(x)例題91. 求不定積分例題92. 求不定積分例題93. 求不定積分例題94

23、. 求不定積分例題95. 求不定積分補(bǔ)充內(nèi)容：5. 含有絕對(duì)值的函數(shù)的積分：例題96. 求不定積分例題97. 求不定積分6. 分段函數(shù)的積分：例題98. 已知函數(shù)，求.7. 遞推關(guān)系：例題99. 求不定積分8. 特殊的變換：例題100. 求不定積分9. 特殊的積分：例題101. 求不定積分例題102. 求不定積分例題103. 求不定積分10. 三角有理函數(shù)的積分萬能代換公式：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式.一般記為 R(sin x , cos x) ，則萬能代換公式：則：注意：三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段, 不得已才用萬能代換. 通常含有sin2x、cos2

24、x及sinxcosx的有理式的積分時(shí)，用代換u=tanx往往更方便.例題104. 求不定積分例題105. 求不定積分例題106. 求不定積分(七) 一元函數(shù)的定積分有理分式函數(shù)、三角函數(shù)、無理根式函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)（分段函數(shù)）：思路點(diǎn)撥：1. 定積分的計(jì)算：定積分計(jì)算的主要依據(jù)是牛頓萊伯尼茲公式：設(shè)，則.其主要計(jì)算方法與不定積分的計(jì)算方法是類似的，也有三個(gè)主要方法，但需要指出的是對(duì)于第類直接交換法，注意積分限的變化：.例題1. 計(jì)算定積分例題2. 計(jì)算定積分例題3. 計(jì)算定積分 2. 特殊類函數(shù)的定積分計(jì)算：(1)含有絕對(duì)值函數(shù)的定積分計(jì)算：利用函數(shù)的可拆分性質(zhì)，插入使絕對(duì)值為0的點(diǎn)，去掉絕對(duì)值

25、，直接積分即可.例題4. 計(jì)算定積分例題5. 計(jì)算定積分(2)分段函數(shù)的定積分計(jì)算：原理如同絕對(duì)值函數(shù)定積分的計(jì)算.例題6. 已知函數(shù)，求.例題7. 已知函數(shù)，求.(3)奇函數(shù)的定積分計(jì)算：如果 為定義在的奇函數(shù)，則，這是一個(gè)很重要考點(diǎn).(4)偶函數(shù)的定積分計(jì)算：如果 為定義在的偶函數(shù)，則偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分等于在區(qū)間0,a上的定積分的兩倍. 這也是一個(gè)很重要的考點(diǎn).3. 一些特殊的含有特定技巧的積分：例題8. 計(jì)算定積分例題9. 計(jì)算定積分例題10. 計(jì)算定積分4. 定積分的綜合運(yùn)用：例題11. 求.例題12. 計(jì)算定積分例題13. 設(shè)，在上連續(xù)，且，求例題14. 求, 其中為自然數(shù).

26、例題15. 求例題16. 已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同，其中，試求該切線的方程并求極限.例題17. 試求正數(shù)與，使等式成立.例題18. 設(shè)，求, 并討論的連續(xù)性.5. 廣義積分的斂散性：定義：存在有限基本結(jié)論： （其中）復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)著重掌握通過直接計(jì)算來研究廣義積分的斂散性.例題19. 討論的斂散性.例題20. 當(dāng)為何值時(shí)，廣義積分收斂？當(dāng)為何值時(shí)，這個(gè)廣義積分發(fā)散？又當(dāng)為何值時(shí)，廣義積分取得最小值？(八) 定積分的幾何應(yīng)用1. 求曲邊圖形的面積：思路點(diǎn)撥：(1) 曲線及軸所圍圖形，如下圖，面積微元，面積.(2) 由上、下兩條曲線及所圍成的圖形，如下頁右圖，面積微元，面積.(3)由左右兩條曲線及所

27、圍成圖形（圖見下頁）面積微元（注意，這時(shí)就應(yīng)取橫條矩形 ，即取 為積分變量），面積.例題1. 求由與直線所圍圖形面積. 例題2. 求由軸所圍圖形面積.例題3. 求由所圍圖形面積.例題4. 求由過拋物線y=上點(diǎn)的切線與拋物線本身及軸所圍圖形的面積.例題5. 過作拋物線兩切線，求兩切線與拋物線本身所圍圖形的面積.例題6. 由直線及拋物線圍成一個(gè)曲邊三角形，在曲邊上求一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線的圍成的三角形面積最大.2. 求在直角坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)體的體積：思路點(diǎn)撥：設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), 上連續(xù), 則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為.例題7. 計(jì)算由和軸所圍成的平面

28、圖形繞軸，軸分別旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.例題8. 已知拋物線(1)拋物線上哪一點(diǎn)處切線平行于軸？寫出切線方程？(2)求由拋物線與其水平切線及軸所圍平面圖形的面積.(3)求該平面圖繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.(九) 求解一階線性微分方程：1. 一階齊次線性常微分方程的解法分離變量：思路點(diǎn)撥：一階齊次線性常微分方程的基本型：基本解法： 分離變量：(原則:y與dy扎堆，x與dx扎堆或者是各找各爹，各找各媽)等式兩邊同時(shí)取不定積分例題1. 求解微分方程.例題2. 求解微分方程.例題3. 求解微分方程.例題4. 已知滿足，求.2. 一階線性常微分方程的解法公式法：思路點(diǎn)撥：基本模型(標(biāo)準(zhǔn)形)：.公式：

29、應(yīng)用此公式要注意： 微分方程必須化為標(biāo)準(zhǔn)形式； 不定積分不帶C.例題5. 求解微分方程.例題6. 求解微分方程.(十) 求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分以及隱函數(shù)的求導(dǎo)：思路點(diǎn)撥：多元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算主要有下面問題：(1) 顯式函數(shù)一階偏導(dǎo)；(2) 復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)；(3) 隱函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù).1. 顯函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法：函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)求一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，分母是哪個(gè)變量就把另外一個(gè)變量看做是常數(shù).2. 顯函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法：始終如一型：三心二意型(二階混合偏導(dǎo)數(shù))：求二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，分母中哪個(gè)變量在前就說明先對(duì)誰求的一階偏導(dǎo)數(shù).結(jié)論：在連續(xù)條件下.例題1. 已知

30、二元函數(shù)，求.例題2. 已知二元函數(shù)，求.例題3. 已知二元函數(shù)，求.3. 二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)連鎖法則：我們用具體的例子來說明復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)的解題步驟。例如，其中為已知可微三元函數(shù)，求.第一步：變量的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖其中1，2，3分別表示第二步：尋找與對(duì)應(yīng)的路徑，計(jì)算的過程可以總結(jié)為“路中用乘，路間用加”同理，尋找與對(duì)應(yīng)的路徑，.例題4. 已知二元復(fù)合函數(shù)，求.例題5. 已知二元復(fù)合函數(shù)求.4. 隱函數(shù)一階偏導(dǎo)：由方程決定隱函數(shù)。求偏導(dǎo)公式為：，注意：這里的Fx指的是隱函數(shù)方程中將y和z看做是常數(shù)，僅僅對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；同理，F(xiàn)y指的是隱函數(shù)方程中將x和z看做是常數(shù)，僅僅對(duì)y求導(dǎo)數(shù)、Fz指的是隱函數(shù)方程

31、中將x和y看做是常數(shù)，僅僅對(duì)z求導(dǎo)數(shù).例題6. 已知隱函數(shù)方程由方程決定，求.例題7. 已知隱函數(shù)方程，求.5. 全微分：，全微分，全微分例題8. 已知二元函數(shù)，求.例題9. 已知二元函數(shù)，求.例題10. 已知二元函數(shù)，求.(十一) 多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分的計(jì)算：1. 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算：思路點(diǎn)撥：總口訣：(陳氏穿線法)后積先定常數(shù)限，先積方向正直穿；相交必須同一線，否則域內(nèi)要分拆；隱含邊界須周全，6類對(duì)稱掛耳邊；極坐標(biāo)逆弧線， 多種邊界同園拆。型區(qū)域圖示8.1型區(qū)域圖示8.2上述型，型區(qū)域的定限方法非常重要，將直角坐標(biāo)下二重積分轉(zhuǎn)換為累次積分，更復(fù)雜的區(qū)域可以看成（拆分）為若干型，

32、型區(qū)域組合而成.例題1. 已知由在第一象限所圍的區(qū)域，計(jì)算.例題2. 已知由曲線軸所圍的區(qū)域，計(jì)算.例題3. 已知由曲線在（1，1）點(diǎn)處切線，本身，軸所圍的區(qū)域，計(jì)算.例題4. 已知為從，連線PQ，正方形，去除右上角剩余部分，計(jì)算.2. 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算：思路點(diǎn)撥：極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算公式為：如下圖所示：能否使用極坐標(biāo)主要由被積函數(shù)的特點(diǎn)決定，而不是由區(qū)域特點(diǎn)所決定；使用極坐標(biāo)方式有兩種：原位法：平移法：.選擇的原則是使被積函數(shù)容易積出，一般來說，被積函數(shù)具有或形式時(shí)，使用極坐標(biāo)會(huì)大大簡化計(jì)算. 如果選擇不當(dāng)會(huì)使積分求解復(fù)雜.常用結(jié)論： 例題5. 已知為計(jì)算.例題6. 已知為且，計(jì)

33、算.例題7. 已知且，計(jì)算例題8. 已知為圓周與軸在第一象限所圍部分，求.(十二) 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域：思路點(diǎn)撥：(1)標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑 R，再討論x=R處的斂散性. (2)非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù):通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法設(shè)liman+1/an=，則：當(dāng)0時(shí)，R=1/=c（c為非零常數(shù)）；當(dāng)=0時(shí)，R=1/=+；當(dāng)=+時(shí)，R=1/=0.例題1. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：(1) (2) (3)例題2. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：(1)(2)例題3. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：(1)(2)(十三)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：思路點(diǎn)撥：1. 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法：若對(duì)冪級(jí)數(shù)中的每一個(gè)都有

34、，則稱為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).冪級(jí)數(shù)的部分和記為且部分和有如下性質(zhì) （1）定義法對(duì)于冪級(jí)數(shù)，若前項(xiàng)和函數(shù)列有極限，即 存在，則此冪級(jí)數(shù)收斂，且.例如：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，其中，.（2）分項(xiàng)組合法我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)有些冪級(jí)數(shù)具有某些明顯的特征，比如可以將已知級(jí)數(shù)的通項(xiàng)拆項(xiàng)組合，再計(jì)算所拆得各項(xiàng)的和函數(shù)，從而求得該級(jí)數(shù)的和函數(shù)。例如：求的和函數(shù).（3）逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分法 若冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，可考慮用“先積分，再求導(dǎo)”的做法；若冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù)，可考慮用“先求導(dǎo)，再積分”的做法。定理：設(shè)冪級(jí)數(shù)在內(nèi)的和函數(shù)為，則1.在內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的

35、，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式：求導(dǎo)后的冪級(jí)數(shù)與原冪級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。2. 在內(nèi)可以積分，且有逐項(xiàng)積分公式：其中是內(nèi)任意一點(diǎn)，積分后的冪級(jí)數(shù)與原冪級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的前提下，對(duì)其進(jìn)行逐項(xiàng)微分或積分。通過逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分將給定的冪級(jí)數(shù)化為已知和函數(shù)的級(jí)數(shù)形式，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；將得到的和函數(shù)做與之前相反的分析運(yùn)算，便得到所求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。例如：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).例如：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).（4）代數(shù)方程法此種方法目的在于建立以所求冪級(jí)數(shù)的和為變量的代數(shù)方程，并解之，從而得到原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。例如：設(shè)有等差數(shù)列 ： 等比數(shù)列 ： 則各項(xiàng)為等差數(shù)列、等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積所構(gòu)成的

36、級(jí)數(shù)為求其和函數(shù),其中為常數(shù).例如：求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)，其中 為 的 次多項(xiàng)式。（5）微分方程法在冪級(jí)數(shù)中，有一類含有階乘運(yùn)算的冪級(jí)數(shù)，這種冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，在現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中涉及的不多，因此成為很多同學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)盲點(diǎn)。此方法將通過實(shí)例介紹這類冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法，把冪級(jí)數(shù)求和問題劃歸為求解微分方程的問題，也就是把冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)微分后，再與原來冪級(jí)數(shù)作某種運(yùn)算，得到一個(gè)含有冪級(jí)數(shù)和函數(shù)以及和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函數(shù)。例如：求冪級(jí)數(shù) 在下列情況下的和函數(shù)：，即公差為的等差數(shù)列，其中為常數(shù)；，即公比為的等比數(shù)列，其中為常數(shù).（6）柯西方法如果級(jí)數(shù) 與 都絕對(duì)收斂，作這兩個(gè)級(jí)數(shù)的乘積，其中，則也絕對(duì)收斂，且必有。例如:求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（7）差分算子求和法此方法適用于通項(xiàng)系數(shù)是以為自變量的有限次多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)求和問題。若為任意實(shí)函數(shù)，為差分算子，則定義函數(shù)的一階差分為 階差分為 定理：設(shè)為次多項(xiàng)式，則當(dāng)時(shí)收斂，而且其和函數(shù) 例如：求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù).2. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式：常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式：(1)(2)例題1. 求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)(1) (2) (3)例