高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)拋物線及其性質(zhì)

1、第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì)考綱解讀 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形和及其簡單幾何性質(zhì).命題趨勢探究 拋物線是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查拋物線的方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)，題形上，選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，以考查學(xué)生的運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合和分析能力為主. 預(yù)測2019年高考主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)的應(yīng)用，焦點(diǎn)弦是重點(diǎn)考查的內(nèi)容.知識(shí)點(diǎn)精講一、拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線. 注 若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn).二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，其中一次項(xiàng)與對

2、稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向（如表10-3所示）表10-3標(biāo)準(zhǔn)方程yxOFlyxOFlFyxOl圖形yxOFl對稱軸軸軸頂點(diǎn)原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程三、拋物線中常用的結(jié)論1. 點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2. 焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3. 的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大.4. 焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，則有以下結(jié)論：（1）.（2）.（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為.焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為

3、直線與對稱軸的夾角）.5.拋物線的弦若AB為拋物線 的任意一條弦， ，弦的中點(diǎn)為 ，則（1） 弦長公式： （2） 直線AB的方程為 （3） 線段AB的垂直平分線方程為 6求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法） （1） 焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 (2) 焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 如，即，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線方程為7參數(shù)方程 的參數(shù)方程為 （參數(shù)）8切線方程和切點(diǎn)弦方程 拋物線的切線方程為為切點(diǎn) 切點(diǎn)弦方程為點(diǎn)在拋物線外 與中點(diǎn)弦平行的直線為此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果。題型歸納及思路提示題型143；拋物線的定義與方程思路提示求

4、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：(1) 先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：(2) 根據(jù)題目條件列出P的方程(3) 解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程 已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切,求的值為（ ）A B C 2 D4解析；拋物線的準(zhǔn)線為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，由與圓相切，知，解得，故選C評(píng)注 準(zhǔn)線 是拋物線的重要性質(zhì)，要熟記準(zhǔn)線方程。變式1 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是（ ）A B C D變式2 設(shè) 為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是（ ）A B C D 若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小 ，則點(diǎn)的軌跡為（ ）A圓 B橢圓

5、C雙曲線 D拋物線解析 解法一：（直接法）設(shè) 依題意有 ，當(dāng) 時(shí)， ，整理得 當(dāng) 時(shí)， ，顯然不成立，故點(diǎn)的軌跡方程為解法二：（定義法）由題意可知，點(diǎn)只能在的右側(cè)，點(diǎn)到直線 的距離等于它到點(diǎn)的距離，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡是拋物線，故選D變式1 設(shè)圓 與圓 外切，與直線 相切，則的圓心軌跡為（ ）A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓變式2 動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線 的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（ ）A拋物線 B直線 C線段 D射線 設(shè)拋物線上一點(diǎn) 到 軸的距離是 ，則點(diǎn)拋物線焦點(diǎn)的距離是（ ）A4 B6 C8 D12解析 由焦半徑公式 知點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，故選B變式1 （2012四川理8）已知拋

6、物線關(guān)于 軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn) ，若點(diǎn) 到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則（ ）A B C4 D 變式2 已知是拋物線的焦點(diǎn)， 是該拋物線上的兩點(diǎn)， 則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（ ）A B C D 變式3 設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)， 為該拋物線上三點(diǎn)，若 ，則（ ）A9 B6 C4 D3 過拋物線 的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn) 在軸上方），則 解析 如圖10-10所示，由題意得準(zhǔn)線，作 于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則 ， ，因?yàn)樵谌切沃?，所?，即 ，得變式 1 已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于 兩點(diǎn)，設(shè)，則與的比值等于 變式2 已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，射線與拋物線相交于

7、點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn) ，則（ ）A B C D題型144 與拋物線有關(guān)的距離和最值問題 思路提示 拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題或點(diǎn)到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點(diǎn)到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解。已知直線 和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn) 到直線和的距離之和的最小值是（ ）A B3 C D分析 畫出圖形，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化，將距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離。解析 作輔助線如圖10-11所示，連接 拋物線方程為，為其準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為 ，由

8、拋物線的定義可如 ，故選A評(píng)注 本題考查拋物線的定義及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想變式 1 已知點(diǎn)是拋物線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)與到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ）A B3 C D變式2 已知點(diǎn)在拋物線上，那么當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A B C D變式3 動(dòng)圓滿足過定點(diǎn) ，且與定直線相切，直線 與動(dòng)圓有公共點(diǎn)，則動(dòng)圓的面積最小值為 題型145 拋物線中三角形，四邊形的面積問題思路提示 解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計(jì)算其面積或面積之比。例10.28（2012北京理12）在

9、直角坐標(biāo)系中，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方，若直線的傾斜角為，則的面積為 解析 解法一：直線的方程為 沒，代入得 解得 得 解法二： 如圖10-12所示，由題意得拋物線的準(zhǔn)線，過作于，于，連接，則，又，故三角形為正三角形，因?yàn)?，所以 ，所以 評(píng)注 解法一求出了交點(diǎn) 的坐標(biāo)，從而求得 的面積；解法二利用了拋物線的定義及三角形的性質(zhì)，得出中邊 的高，計(jì)算量較小，方法更簡捷變式1 （2012安徽理9）過拋物線 的焦點(diǎn)的直線交拋物線于 兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A B C D例10.29 拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為 ，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相

10、交于點(diǎn)，垂足為，則的面積是（ ）A B C D分析 作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想，在圖中找到三角形的底和高從而使問題得以解決。解析 解法一：如圖10-13所示，由題意可知，準(zhǔn)線方程為，由 ，解得 ，故，因?yàn)橹本€的斜率，所以，則，又，則為正三角形，的底為 ，高為，所以 解法二： 由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，因?yàn)橹本€的斜率為 ，所以，則，又，則為正三角形，則，則 ，所以，選C變式1 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在 上且，則的面積為（ ）A B C D變式2 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn) ，則 等于（ ）A B C D 最有效訓(xùn)練題44（限時(shí)45分鐘

11、）1拋物線上有一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是3,它到焦點(diǎn)的距離是5,則拋物線的方程為( )A B C D2.若點(diǎn)到直線 的距離比它到點(diǎn) 的距離大1,則點(diǎn)的軌跡為( )A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 3.已知拋物線 ,以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是( )A相離 B相切 C相交 D不能確定4. 已知雙曲線的離心率為2,若拋物線 的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2,則拋物線 的方程為( )A B C D5. 等軸雙曲線 的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 軸上, 與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn), ,則的實(shí)軸長為( )A B C D6. 已知 為拋物線 上兩點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,過分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn) ,則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為( )A B C D7. 已知以為焦點(diǎn)的拋物線 上的兩點(diǎn) 滿足，則弦 的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 8若點(diǎn)是拋物線的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則 9已知點(diǎn) ，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 10已知拋物線的焦點(diǎn)是，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（1）若有點(diǎn)，求的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小