高斯定理在電磁學中的應用畢業(yè)論文

1、目 錄1 高斯定理的表述1.1數(shù)學上的高斯公式1.2靜電場的高斯定理 1.3磁場的高斯定理 2高斯定理的證明方法靜電場的高斯定理磁場的高斯定理2.2高斯定理的直接證明2.3高斯定理的另一種證明 2.4對稱性原理及其在電磁學中的應用3理解和使用高斯定理應注意的若干問題的討論與總結 (a)定理中的 E是指空間某處的總電場強度 (b)注意中 E和 dS的矢量性 (c)正確理解定理中的 (d)不能只從數(shù)學的角度理解 (e)對高斯面的理解4 高斯定理的應用 4.1利用高斯定理求解無電介質時電場的強度 4.2利用高斯定理求解有電介質時電場的強度 5將高斯定理推廣到萬有引力場中5.1靜電場和萬有引力場中有關

2、量的類比5.2萬有引力場中的引力場強度矢量5.3萬有引力場中的高斯定理6結束語參考文獻高斯定理在電磁學中的應用楊梅（安慶師范學院物理與電氣工程學院 安徽 安慶 246011）指導教師：黃國棟摘要：高斯定理是電磁學的一條重要定理，它不僅在靜電場中有重要的應用，而且也是麥克斯韋電磁場理論中的一個重要方程。本文比較詳細的介紹了高斯定理，并提供了數(shù)學法、直接證明法等方法證明它，總結出應用高斯定理應注意的幾個問題，從中可以發(fā)現(xiàn)高斯定理在解決電磁學相關問題時的方便之處。最后把高斯定理推廣到萬有引力場中去。關鍵詞：高斯定理，應用，萬有引力場引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理學研究方面，應用非常廣泛，應

3、用高斯定理求曲面積分、靜電場、非靜電場或磁場非常方便，特別是求電場強度或者磁感應強度。雖然有時候應用高斯定理求解電磁學問題很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的運用高斯定理解決電磁學問題，我們首先應對高斯定理有一定的了解。1 高斯定理的表述1.1數(shù)學上的高斯公式 設空間區(qū)域由分片光滑的雙側封閉曲面所圍成，若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)函數(shù)偏導數(shù)，則 11其中的方向為外發(fā)向。11式稱為高斯公式1。1.2靜電場的高斯定理一半徑為的球面包圍一位于球心的點電荷，在這個球面上，場強的方向處處垂直于球面，且的大小相等,都是。通過這個球面的電通量為 其中是球面積分，等于。從此例中可以看出，通過球面的電通

4、量只與其中的電量有關，與高斯面的半徑無關。若將球面變?yōu)槿我忾]合曲面，由電場線的連續(xù)性可知，通過該閉合曲面的電通量認為。若閉合曲面內是負電荷，則的方向處處與面元取相反，可計算穿過面的電通量為。若電荷在閉合曲面之外，它的電場線就會穿入又穿出面，通過面的電通量為零2。如果閉合面內有若干個電荷，由場強疊加原理可知，通過面的電通量為此式表明，在真空中的靜電場內，通過任意一閉合曲面的電通量，等于包圍在該面內的所有電荷的代數(shù)和的分之一，這就是真空中的高斯定理。通常把閉合曲面稱為高斯面，對于連續(xù)分布的電荷，電荷體密度為，則上式可以表述為1.3磁場的高斯定理 由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面

5、的磁力線必定會從曲面內部出來，否則這條磁力線就不會閉合了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為零。這個規(guī)律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。用式子表示： 與靜電場中的高斯定理相比較，兩者有著本質上的區(qū)別。在靜電場中，由于自然界中存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內有凈余的正或者負電荷，穿過閉合面的電通量就不等于零，即靜電場是有源場；而在磁場中，由于自然界中沒有單獨的磁極存在，極和極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零，即磁場是無源場2

6、。 2 高斯定理的證明2.1高斯定理的數(shù)學證明2.1.1靜電場的高斯定理靜電場中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)點電荷在球面中心，點電荷的電場強度為球面的電通量為 21(b)點電荷在任意閉曲面外，閉曲面的通量為 22根據(jù)高斯公式 23并考慮到在內有連續(xù)一階偏導數(shù)，故22式可22式代入23式得(c)點電荷在任意閉曲面內在任意閉曲面內以點電荷為球心作一輔助球面，其法向朝內，根據(jù)21式可知點電荷在閉曲面的電通量為零，即： 24其中式24中和大小相等，法向相反。(d)點電荷系在閉曲面內外設閉曲面內的點電荷為；閉曲面外的點電荷為根據(jù)上述討論可得 這就是靜電場中的高斯定理3。2.1.2磁場的高斯定

7、理磁場中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)電流元在球面中心由磁通量的定義和畢奧薩法爾定律為了方便，把簡寫為，則可得電流元的磁感應強度對球面的磁通量為因為，所以(b)電流元在任意閉曲面外電流元的磁感應強度對閉曲面的磁通量為因為，并設，則代入原式得 根據(jù)高斯公式 同理可得 (c)電流元在任意閉曲面內以此類推，在閉曲面內，以電流元為球心作一輔助球面，因為所以 (d)電流元在閉曲面上由上述易知，所有的電流元在閉曲面上的磁通量也為零，即這正是磁場的高斯定理4。2.2高斯定理的直接證明圖1如圖1所示，電荷量為的帶電體中任一點處的電荷密度為,則由電場強度定義知該帶電體在空間點產(chǎn)生的電場強度為 25式中

8、為原點位矢，為原點到場點的位矢。將對任意閉合曲面求面積分，即得 26由25式可得由于算符是對的微分算符，與無關，故 27式中最后一步用到了函數(shù)的篩選性，將式27代入式25中得：(1)當電荷包含在閉合曲面內時，則 (2)當電荷的不包含在閉合曲面內時，則由此高斯定理得證。2.3高斯定理的另一種證明圖2如圖2所示，設有一電量為孤立的正點電荷，現(xiàn)以點電荷所在處為球心，任意為半徑作一球面為高斯面，球面上任意點的場強為方向沿徑向離開球心，和球面上該點的法線正方向相同。通過該閉合曲面的電通量為與半徑無關。這一結果根據(jù)電通量的定義表明, 電量為的正點荷發(fā)出條電場線, 由于電通量與半徑無關, 說明電場線是不間斷

9、的；若為負電荷, 則表明有條電場線匯集到這個負點電荷上, 同樣這些電場線也是不間斷的。由于電場線是不間斷的, 面外電荷不影響閉合曲面的電通量?，F(xiàn)在我們設想這個點電荷不位于球心而位于球面內任意點處,那么據(jù)以上分析同樣得穿過這個閉合球面的電通量亦為。現(xiàn)在我們進一步設想, 電量為的點電荷不是位于球面內而是位于任意的閉合曲面內, 則同樣得到結論, 通過這個閉合曲面的電通量。若一閉合曲面內包含個點電荷, 其中個是正的, 個是負的。設個正點電荷所帶的總電量為, 則這個點電荷發(fā)出條不間斷的電場線；個負點電荷所帶的總量為， 則這個負點電荷匯集條不間斷的電場線，據(jù)電通量的定義,發(fā)出的即穿出閉合曲面為正, 匯集的

10、即進人閉合曲面的為負, 所以通過閉合曲面的電通量為 即 這里有可能出現(xiàn)面內一些正電荷發(fā)出的電場線沒有穿出閉合曲面而直接匯集到負電荷上，也就是說，負電荷匯集的電場線不是由閉合曲面外來的，而是由閉合曲面內來的，這并不影響我們的結論。因此就一般情況而言，若任一閉合曲面內包圍的凈余電荷為，則穿過這個閉合曲面的電通量為 24對稱性原理在電磁學中的應用 日常生活中常說的對稱，是指物體或一個系統(tǒng)各部分之間比例適當、平衡、協(xié)調一致，從而產(chǎn)生一種簡單性和美感。這種美來源于幾何確定性，來源于群體與個體的有機結合。數(shù)學、物理中的對稱性是比具體事物的對稱性更深層次的對稱。物理學中的對稱性觀念可以概括為：如果某一現(xiàn)象或

11、系統(tǒng)在某一變換下不改變，則說該現(xiàn)象或系統(tǒng)具有改變換所對應的對稱性。因此物理定律中的對稱性又可以稱為不變性。所謂對稱性原理即為：（1）原因中的對稱性比反映在結果中，即結果中的對稱性至少有原因中的對稱性多樣性那樣多；（2）結果中的不對稱性必在原因中有所反映，即原因中的不對稱性至少有結果中的不對稱性那樣多；（3）在不存在唯一性的情況下，原因中的對稱性必反映在全部可能的結果的集合中，即全部可能的結果的集合中的對稱性至少有原因中的對稱性那樣多。這個原理是由皮埃爾·居里首先提出來的。這個原理指出，自然規(guī)律反映了事物之間的因果關系，即：“等價的原因”導致“等價的結果”。“對稱的原因”導致：“對稱的

12、結果”。例如：利用對稱性分析長直密繞載流螺線管內磁感應線的形狀。原因：螺線管對任意垂直于軸的平面鏡像對稱平行于軸的直線上的點具有平移對稱性，所以B只有垂直于鏡面的分量。結果：B是軸矢量。鏡像變換后垂直分量不變，平行分量反向。對稱性與守恒律是密切聯(lián)系的，在電磁學中對稱性有著廣泛的作用，以下將從幾個方面分述對稱性 在電磁學中的若干具體的應用：例1： 求一段長為2L，線電荷密度的帶電細棒在中心軸線處P 點所產(chǎn)生的場強.設P點與帶電細棒的垂直距離為l如圖1, 分析一般而言,場強是矢量。求場強需要解出每個分量的大小。不過此題有一個顯著的特點，就是帶電細棒關于其中垂線對稱，因此我們可以建立如圖所示坐標系。

13、得：其次，可以用對稱性結合靜電場高斯定理求解電場強度以及利用對稱性結合磁場的環(huán)路定理求解電場強度以及利用對稱性結合磁場的環(huán)路定理來求解磁場強度。 靜電場的高斯定理是電磁學中一個重要定理，雖然定理本身并不涉及場源（帶電體）的對稱性，但是用它來求解對稱分布的帶電體的場強卻是學生必須掌握的內容。在這一類題目中，仔細分析帶電體的對稱性是問題的關鍵，因為我們需要根據(jù)帶電體的對稱性選取適當高斯面。比如，對球對稱帶電體系一般選球形高斯面，對柱對稱帶電體一般選取柱形高斯面，對平面對稱帶電體（包括帶電薄板）一般選取封閉長方體形高斯面。例2 如圖2在一半徑為R1，帶電體密度為的均勻帶電球體內挖去一個半徑為R2的球

14、形空腔。設空腔中心O2與帶電球體的球心O1之間的距離為L，求空腔內任一點P處的場強。分析 對于球對稱體系的處理我們很熟悉，不過這里由于空腔的存在。體系不再具有“球對稱性”但是我們可以通過“補償法”將不對稱條件化為對稱條件，從而簡化問題。 先用體密度為半徑為R2的均勻帶電小球填充空腔，使球體變?yōu)橐煌暾膸щ娗颍ㄓ洖榍?）；再用體密度為，半徑為R2的均勻帶電小球（記為球2）置于空腔中,使得電荷分布與實際情況相同。這樣，腔中任何一點的場強可用球1，球2所產(chǎn)生的場強疊加來求解，即：設O1到P的位矢為r1由高斯定理得： 解得： 同理，設O2到P的位矢為r2。由高斯定理可以解得球2在P點產(chǎn)生的場強為磁場的

15、安培環(huán)路定理與靜電場高斯定理一樣，本身的內容不涉及電流體系的對稱性，但是具體到計算則必定與一定對稱分布的電流體系相聯(lián)系。綜述，由上面的一些應用舉例我們可以加深對對稱性概念的一些理解，事實上，對稱性已經(jīng)廣泛地應用物理學及相關學科的各個方面，它不僅是現(xiàn)代物理理論的重要組成部分，更是人們認識自然的一個重要理論工具。此，高斯定理得證5。 3正確理解高斯定理高斯定理是靜電學中的一個重要定理,它反映了靜電場的一個基本性質 ,即靜電場是有源場 ,其源即是電荷。可表述為:在靜電場中 ,通過任意閉合曲面的電通量 ,等于該閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的 倍 ,與閉合曲面外的電荷無關。它的表達式為： 是電磁學最基本

16、的定理之一。其中 ,E表示在閉合曲面上任一 dS面處的電場強度 ,而 E·dS則為通過面元dS的電場強度通量 ,就表示通過整個閉合曲面 S的電場強度通量 , 表示沿閉合曲面 S的積分 ,習慣上稱 S為高斯面， 高斯定理表明:靜電場是有源的、發(fā)散的 ,源頭在電荷所在處 ,由此確定的電場線起于正電荷 ,終于負電荷。對高斯定理的理解和應用不正確 ,常常會出現(xiàn)一些問題。 如 ,高斯面上的 E是否完全由高斯面內的電荷產(chǎn)生;如果 ，是否必有 E = 0 ;當E處處為零時 ,是否高斯面內一定無電荷;高斯定理是否在任何情況下都成立;哪些問題用高斯定理解決會簡便一些等等. 這就涉及是否對高斯定理理解正

17、確 ,對其數(shù)學表達式的理解是否存在數(shù)學負遷移情況.其實 ,只要對高斯定理注意掌握幾個要點， 就能對上面的問題有比較清醒的認識了. (a)定理中的 E是指空間某處的總電場強度空間中某處的電場強度為空間中所有電荷所激發(fā)的電場在該處場強的矢量和. 若任意作一個假想的閉合曲面(高斯面) 通過該處 ,用 E內、 E外 分別表示高斯面內、外的電荷在高斯面上產(chǎn)生的場 ,則在該處的總場強 E = E內 + E外.由高斯定理有: 而從電場線的角度看 ,電場線始于正電荷 ,終于負電荷 ,當電場中的閉合曲面內不含有電荷時 ,電場線僅穿過此閉合曲面 ,這些進入閉合曲面的電場線總條數(shù)與穿出閉合曲面的電場線總條數(shù)相等 ,

18、故通過整個閉合曲面的電場強度通量為零.所以 （E指外部場強）故 （E指內部場強）即:高斯定理對高斯面內的電荷產(chǎn)生的場而言 ,也成立.(b)注意中 E和 dS的矢量性在對高斯定理的理解上常常出現(xiàn)不注意物理量的矢量性問題. 有些人認為當時 ,由于,所以必有.實際上 , ,表明始于閉合曲面內正電荷的電場線與終于閉合曲面內負電荷的電場線數(shù)相等 ,則穿出閉合曲面的電場線數(shù)與進入閉合曲面的電場線數(shù)相等 ,即通過整個閉合面的電場強度通量為零.但這并不意味著閉合曲面上電場強度處處為零. 因為:(1) 高斯面上某處的場強是高斯面內、外電荷在該處產(chǎn)生的場強的矢量和 ,所以 ,即便高斯面內的,也無法完全確定 E =

19、 0 ;(2) 由于 E和dS在式中是矢量的標積關系 ,因此存在二者的方向問題 ,如果 E 0 ,而它與dS的方向垂直 ,仍有故不能由來判斷 E是否為零。 (c)正確理解定理中的是高斯面內正、負電荷電量的代數(shù)和. 當通過高斯面的電通量為零時 , 這個結論既可表明高斯面內有電量相等的正、負電荷 ,也可表明高斯面內無電荷. 因此 ,不能肯定高斯面內一定無電荷.(d)不能只從數(shù)學的角度理解有些人在對高斯定理的數(shù)學表達式的理解上常出現(xiàn)“數(shù)學負遷移”問題 ,得出這樣的錯誤結論:當閉合曲面上 E處處為零時 ,不一定有曲面內電量的代數(shù)和；（E1 指內部場強，E2指外部場強）當 E = 0 時 ,并不一定分別

20、有 E內 = 0和 E外 = 0.由于始終有,而 E內 不一定為零 ,所以 ：不一定為零 ,即當閉合曲面上的 E處處為零時 , 不一定為零.這顯然與高斯定理相悖. 因為當 E處處為零時必有,即通過整個高斯面的電通量為零 ,而高斯面外的電荷激發(fā)的電場通過整個高斯面的電通量為零:（E2指外部場強）,所以必有高斯面內電荷的電通量為零:（E1指內部場強），這里可以有兩種情況:一是 E內 = 0 ;二是 E內 0 ,但無論是哪種情況 ,都有。從數(shù)學上講:E = 0時或 E 0但,必有,而時 ,E不一定在高斯面上處處為零 ,即數(shù)學上描述的是 E通量而不是 E,它完全是由高斯面內的電荷代數(shù)和確定的. 從物理

21、上講 ,高斯面上各點的 E是由所有電荷(面內面外) 所激發(fā)的.(e)對高斯面的理解有些人提出這樣的問題:如果電荷既不在高斯面內 ,也不在高斯面外 ,而是在高斯面上 ,高斯面上的場強怎樣計算？實際上 ,高斯面是一個幾何面 ,它沒有厚薄之分 ,卻有內外之分 ,電荷要么在高斯面內(包括內表面) ,要么在高斯面外(包括外表面) .也就是說 ,必須把高斯面作為幾何面 ,而把點電荷的點視為物理上的點.6 高斯定理是平方反比定律的必然結果由于高斯定理是由點電荷間相互作用的平方反比定律(庫侖定律)得出的 ,所以高斯定理是點電荷作用力的平方反比定律的必然結果.如果庫侖定律中 ,r 的指數(shù)不是 2 ,而是 n ,

22、則點電荷的場強的大小應表示為:以點電荷為中心 ,作半徑為 r 的球面為高斯面 ,則:從而得不到高斯定理的結論：所以 ,只有在點電荷作用力服從平方反比定律的條件之下 ,高斯定理才成立 ,否則不成立. 但到目前為止 ,理論和實驗表明點電荷作用力的平方反比定律是相當精確的.4 高斯定理的應用 4.1利用高斯定理求解無電介質時的電場強度由于中的 E是 dS處的場強 ,而不是整個高斯面上的場強. 所以 ,一般來說高斯面上的場強并非一定處處相等 ,即 E并不一定是恒矢量 ,故無法從積分號內提出 ,因此難以用高斯定理計算出場強來. 但若選擇合適的高斯面 ,能使電場強度 E從積分號中提出來 ,就能用高斯定理求

23、解場強 E了.為此 ,作高斯面時應注意:(1) 需求場強的場點要在高斯面上;(2) 高斯面上各部分或者與場強 E垂直 ,或者與場強 E平行 ,或者與場強 E有恒定的夾角;(3) 各部分高斯面上垂直于高斯面的場強的大小應各自為一常值;(4) 高斯面的形狀應比較簡單.為此 ,當電場具有球對稱時 ,高斯面選為同心球面;具有很強的軸對稱時 ,選為同軸柱面;具有面對稱時 ,選為柱面 ,并使兩底與 E垂直 ,側面與 E平行.由于作高斯面有如上限制 ,因此用高斯定理只能求某些對稱分布電場的場強. 用高斯定理求場強的步驟可歸納為：（1) 分析帶電體所產(chǎn)生的電場是否具有對稱分布的特點;(2) 選取合適的高斯面;

24、(3) 再由高斯定理求電場的場強分布.高斯定理的微分形式從嚴格意義上 ,高斯定理表為僅為場強對閉合曲面 S通量的積累效應 ,為凈余通數(shù)學上稱積分形式 ,不能算作方程. 因此 ,在理解它所描述的靜電性質上有一定難度. 如果我們將任面縮小 ,并讓它趨于零 ,即: ,s是以體積V 為邊界的閉合曲面 ,顯然上式描述的是電場中某點的電場特征 ,定義為某點電場強散度:divE =而:, 故: 這就是高斯定理的微分形式 ,在電場中是點點對應的關系. 在散度之處必有. 這就清楚地表明了靜電場的重要性質:靜電場是有源場 ,電力線總是起于正電荷而終止于負電荷. 高斯定理的一個重要應用，是用來計算帶電體周圍電場的電

25、場強度。雖然高斯定理的適用范圍很廣，但用它求帶電體的電場分布時有很大的局限性，只對那些電荷分布高度對稱的帶電體，才能使用高斯定理求場強。在選擇高斯面時，應注意：場強是面積元處的，隨的不同，也不同；場強是全部帶電體系中（無論在高斯面內還是在高斯面外）所有電荷產(chǎn)生的總場強，而只是對高斯面內的電荷求和，這是因為高斯面外的電荷對總通量沒有貢獻，但不是對場強沒有貢獻；高斯面內所包圍的電荷等于零時，不一定等于零，只說明通過高斯面的電通量等于零；高斯定理雖由庫侖定律引申而來，但它的適用范圍廣，而不論對靜止電荷還是運動電荷都適用，但應用時，必須在電場具有某種對稱性時（球、軸、面對稱），才有可能；在應用高斯定理

26、時，除應注意到場強具有對稱性外，對高斯面的選取還應注意到：所選高斯面應平行電場線或垂直電場線；當高斯面法向與電場線平行時，高斯面上的場強的大小應處處相等，這樣可提出積分號外，積分被簡化為對面元的取和。利用高斯定理求場強的一般步驟：（1）進行對稱性分析，即由電荷分布的對稱性，分析電場分布的對稱性，判斷能否用高斯定理來求電場強度的分布（常見的對稱性有球對稱性、軸對稱性、面對稱性等），這是解題的關鍵，也是解題的難點；（2）根據(jù)場強分布的特點，作適當?shù)母咚姑?，要求：待求場強的場點應在此高斯面上，穿過該高斯面的電通量容易計算；一般地，高斯面各面元的法線矢量與平行或垂直，與平行時，的大小要求處處相等，使得

27、能提到積分號外面；（3）計算電通量和高斯面內所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場強。應該指出，在某些情況下（對稱），應用高斯定理是比較簡單的，但一般情況下，以點電荷場強公式和疊加原理以相互補充，還有其它的方法，應根據(jù)具體情況選用。利用高斯定理，可簡捷地求得具有對稱性的帶電體場源（如球型、圓柱形、無限長和無限大平板型等）的空間場強分布。計算的關鍵在于選取合適的閉合曲面高斯面。高斯定理的應用舉例例一：求無限長均勻帶電直線的電場分布，已知線上線電荷密度為。圖3解法一：（利用庫侖定律求解） 如圖3所示，我們選擇電荷元為長度上所帶電量，即，在點產(chǎn)生的元場強的大小 為計算該積分，首先必須統(tǒng)一積分變量

28、。為便于計算，將變量 和統(tǒng)一用表達。由圖3可知，由又可以得，代入及后，可得對于每一個正 軸上的長度，一定存在另一個對稱的負軸上的，這兩個長度上的電荷元在點產(chǎn)生的場強分量相互抵消，因此求總場強時我們只需對積分。注意，積分限為和，則有圖4解法二：（利用高斯定理求解） 帶電直線的電場分布具有軸對稱性，考慮離直線距離為的一點處的場強（如圖4所示）。由于空間各向同性而帶電直線為無限長，且均勻帶電，所以電場分布具有軸對稱性，因而點的電場方向唯一的可能是垂直于帶電直線而沿徑向，并且和點在同一圓柱面（以帶電直線為軸）上的各點的場強大小也都相等，而且方向都沿徑向。作一個通過點，以帶電直線為軸，高為的圓筒形封閉面

29、為高斯面，通過面的電通量為 在面的上、下底面（和）上，場強方向與底面平行，因此，上式等號右側后面兩項等于零。而在側面（）上各點的方向與各該點的法線方向相同，所以有 此封閉面內包圍的電荷 由高斯定理得 由此得 由上所述，解法一與解法二的結果相同，由解法一和解法二比較可知，當條件允許時，利用高斯定理計算場強分布要簡便得多。 4.2利用高斯定理求解有電介質時的電場強度 在電介質中，由電場引起的極化電荷會激發(fā)附加電場，使原電場發(fā)生改變，反過來又會影響極化情況。如此相互影響，最終達到平衡。在直接計算空間場強時會遇到如下困難：要由電荷分布求場強，必須同時知道自由電荷及極化電荷的密度，而極化電荷密度取決于極

30、化強度【，】，又取決于（），這就似乎形成計算上的循環(huán)。高斯定理通過列出有關、的數(shù)量足夠的方程，然后聯(lián)立求解，同時引入一個新矢量場以消去和，方便求解。當空間有電介質時，只要把自由電荷和極化電荷同時考慮在內，可以得到有電介質的高斯定理其中.圖1如圖1所示，假設有一厚度為b的無限大均勻介質平板中有體密度為的均勻分布自由電荷，平板的相對介電常數(shù)為，兩側分別充滿相對介電常數(shù)為和的均勻介質.要求板內外的電場強度，首先分析介質平板中激發(fā)電場的電荷分布，因介質板內有自由電荷，在自由電荷處對應的極化電荷密度為總電荷體密度為OMD1D2OMb1b2Sxb圖2因此，平板中電荷為均勻分布.另外，在介質板兩側為不同的介

31、質，由于，故在兩界面上的極化電荷面密度.在板內存在一個電場強度的平面，不妨稱它為零電場面.此面的電位移矢量,如圖2.以面為基面,向兩側作底面積為,垂直面伸出平板外的柱體,柱體的表面為高斯面,根據(jù)對稱性,與的方向垂直介質板的表面,因此高斯面?zhèn)让娴碾娡繛?.兩個高斯面包圍的自由電荷的電荷量分別為和.根據(jù)介質中高斯定理,求得介質板兩側的電位移矢量為兩側的電場強度為單位矢的方向為背向介質板表面,如圖2所示,介質板兩側的電場的大小相等,即.因而因,求得零電場面的位置用表示方向向右的單位矢,則板外兩側介質的電場為同理,以零電場面為基面在板內作底面積為、長為的高斯面，求得介質板內電位移矢量為板內的電場強度

32、為式中為板內場點的坐標.5將高斯定理推廣到萬有引力場中5.1靜電場和萬有引力場中有關量的類比靜電學中的庫侖定律： 51牛頓萬有引力定律： 52 51、52兩式在數(shù)學形式上完全等同。比較兩式可得如下結論：電學中相當于力 學中的，為了記憶的方便，我們記為（下同）于是有 53上式中電學中電荷相當于力學中的質量，于是有 545.2萬有引力場中的引力場強度矢量 靜電場中點電荷在電場中受到的電場力為 55經(jīng)典力學中質點在引力場中受到的重力為 56和電場強度類似，在萬有引力場中定義一個引力場強度矢量（以下簡稱引力場強），則 57 且規(guī)定：試探質點在引力場中某點受到的力與其質量之比定義為引力場中該點的引力場強

33、 58如果已知引力場中某點的引力場強，則質點在該處受到的引力可由下式給出 595.3萬有引力場中的高斯定理一般說來，引力場中的某點的是該點位置的矢量函數(shù)，對于多個質點產(chǎn)生的引力場，引力場強滿足疊加原理。有了萬有引力場強的定義后，就可以仿照電通量的概念，在引力場中定義引力場強通量。對某面積微元的引力場強通量：。其中是引力場強與面積微元的夾角，因此，對某面的總引力場強通量為 510 有了引力場強通量的概念，就可以討論穿過閉合曲面引力場強通量的問題。仿照電場中高斯定理的證明過程可以證明引力場中的高斯定理。由53、54、57式，并考慮到閉合曲面面積微元的法線正方向定義后，不難得到穿過某閉合曲面的引力場

34、強通量應滿足 511上式稱為萬有引力場中的高斯定理，與靜電場中的高斯定理具有相似的形式。根據(jù)散度的定義，我們可以將411式寫成相應的微分形式 512此式說明萬有引力場是一種有源場，它的源可認為就是質量分布6。6 結束語根據(jù)上述分析可知，對于電電磁學中重要的基本定理之一的高斯定理，我們可以運用數(shù)學法、直接法等方法來證明，在電磁學中，當條件允許時，利用高斯定理可以很方便的解決相關的問題。參考文獻1 高等數(shù)學第二冊（第三版）M.北京：高等教育出版社，1996年第3版：234235。2 張丹海、宏小達.簡明大學物理（第二版）M.北京：科學出版社，2008年第2版：173176 196200。3 籍延坤.大連鐵道學院學報J.2004年9月第25卷第3期：1315。4 梁燦彬、秦光戎等.電磁學（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004年第二版：1424 182185。5 陳國云.駱成洪等.南昌大學學報J.2008年12月第30卷第4期：354358。6 程敦華. 高斯定理教學中的幾點體會J. 連云港化工高等?？茖W校學報 , 1995,(03) 。7 楊燕. 使用高斯定理應注意的若干問題J. 文山師范高等?？茖W校學